1、19.3 正方形第19章 矩形、菱形和正方形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.能理解正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形与菱形.2.能利用正方形的性质与判定定理，进行简单的几何推理与计算.学习目标学习目标活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？导入新课导入新课情境引入正方形的定义一活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？正方形讲授新课讲授新课合作探究活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？有一组邻边相等，并且有一个角
2、是直角的平行四边形是正方形. 正方形正方形的性质探究和证明二ABCD填一填：角： 边：对角线： 对称性： 四个角都是直角.四条边相等.对角线相等且互相垂直平分.aaaa轴对称图形（4条对称轴）. 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.定理已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：四边形ABCD是正方形.A=90, AB=AC . （正方形的定义）又正方形是平行四边形.正方形是矩形, （矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义)A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD.定理证明已知：如右
3、图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO请同学们动手完成以上证明？提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题.想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？ 矩形菱形正方形平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.归纳正方形对角线边边对角线对角线角对边平行且相等相互平分相等四个角相等都是90相互垂直且平分对角四边相等对称性轴对称图形（4条对称轴）归纳总结例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且C
4、E=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.典例精析解：BE=DF,且BEDF.理由如下：（1）四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE =90 .（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）DCF=180-BCE=180-90=90.ABDCFEABDFEBCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF.BE=DF.(2)延长BE交DE于点M,BCEDCF ,CBE =CDF.DCF =90 ,CDF +F =90.CBE+F=90 , BMF=90.BEDF.CM正方形判定定理三动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DCAB , BC
5、AD ,得四边形ABCD.AMNBDC问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？合作探究想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？（1）（2）（3）（4）菱形问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角对角线相等 1.对角线相等的菱形是正方形.2.对角线垂直的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.定理正方形判定的两条途径：正方形正方形+先判定菱形先判定矩形矩形条件菱形条件(1)(2)一个直角对角线相等一组邻边相等对角线垂直例2：如图,在矩形ABCD中, BE平分AB
6、C , CE平分DCB , BFCE , CFBE.求证：四边形BECF是正方形.典例精析FABECD解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；4545FABECD证明: BFCE,CFBE， 四边形BECF是平行四边形. 四边形ABCD是矩形, ABC = 90, DCB = 90, BE平分ABC, CE平分 DCB, EBC = 45, ECB = 45, EBC = ECB . EB=EC, BECF是菱形 . 在EBC中 EBC = 45,ECB = 45, BEC = 90, 菱形BECF是正方形.1在正方形ABC中,
7、ADB= ,DAC= , BOC= .2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是 .ADBCOADBCOE459022.5第1题第2题45当堂练习当堂练习3.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边ABE,连结DE 、 CE ,求DEC的度数. DAEBC解：ABE是等边三角形. AB =AE=BE, ABE=BEA=EAB =60. 又四边形ABCD是正方形. AD=BC=AE=BE, DAB=ABC=90. DAE=CBE=150. AED=EDA=CEB=BCE=15. DEC=AEB-AED-CEB=30.4.如图，在四边形ABCD中,
8、AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N. (1) 求证： ADB= CDB; (2) 若 ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.CABDPMN证明：（1）AB = BC,BD平分ABC. 1=2. ABDCBD (AAS). ADB=CDB.12CABDPMN（2）ADC=90; 又PMAD,PNCD; PMD=PND=90. 四边形NPMD是矩形. ADB=CDB; ADB=CDB=45. MPD=NPD=45. DM=PM,DN=PN. 四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形性质定义有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形课堂小结课堂小结见本课时练习课后作业课后作业
