1、导入新课讲授新课当堂练习课堂小结4.2 直线、射线、线段.第四章 几何图形初步.第2课时 线段长短的比较与运算.学习目标1. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两 条线段的长短. (重点)2. 理解线段等分点的意义.3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的 长度. (重点、难点)4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段 最短”的线段性质，并学会运用. (难点)导入新课导入新课情境引入观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段 a 和 b 的长短吗？三组图形中，线段a与b的长度均相等很多时候，眼见未必为实. 准确比较线段的长短还需
2、要更加严谨的办法. (1)(2)(3)abaabb讲授新课讲授新课线段长短的比较一合作探究 做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们常采用以上办法. 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画一条与它相等的线段？思考：小提示：在可打开角度的最大范围内，圆规可截取任意长度，相当于可以移动的“小木棍”.作一条线段等于已知线段已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a.第一步：用直尺画射线 AF；第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a. 线段 AB 为所求.aA FaB 在数学中，我
3、们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图 你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？讨论：160cm170cm比较两个同学高矮的方法：叠合法.让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮 用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较. 度量法.DCB试比较线段AB，CD的长短.(1) 度量法；(2) 叠合法 将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.(A)C DA B尺规作图CD1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在C，D之间，那么
4、 AB CD.(A)B 叠合法结论：CDABB(A)2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与 点 D ，那么 AB = CD.3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 CD 的延长线上，那么 AB CD.重合BABACD(A)(B)线段的和、差、倍、分二 在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线上画线段 BC=b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC= . 如果在 AB 上画线段 BD=b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作AD= . ABCDa+ba-babb画一画aba+baba-b1. 如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=_； ADCD=_；BC _ _=
5、_ _.ABCDACACACABBDCD做一做2. 如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2ab.abAB2ab2ab 在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ABMABM 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.线段的三等分点线段的四等分点.AaaMBM 是线段 AB 的中点几何语言： M 是线段 AB 的中点 AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 MB )12反之也成立： AM = MB = AB ( 或 AB =
6、2 AM = 2 AB ) M 是线段 AB 的中点12点 M , N 是线段 AB 的三等分点：13AM = MN = NB = _ AB(或 AB = _AM = _ MN = _NB)333NMBA例1 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少?解： C 是线段 AB 的中点， D 是线段 CB 的中点，典例精析 AC = CB = AB = 6= 3 (cm).1212 CD = CB = 3=1.5 (cm).1212 AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).A C BD例2 如图，B、C是线
7、段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长FECBDA解析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨设AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.FECBDA解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，因为E、F分别是AB、CD的中点，所以13,22BEABx15,22CFCDx所以EF=BE+BC+CF=3526 .22xxxx因为EF=24，所以6x=24,解得x=4.所以AB=3x=12，
8、BC=2x=8，CD=5x=20.方法总结：求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.变式训练：如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB= CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长1314FEBDCA解析：根据已知条件，不妨设BD=xcm，则AB=3xcm,CD=4xcm,易得AC=6xcm.在由线段中点的定义及线段的和差关系，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可.解：设BD=xcm,则AB=3xcm，CD=4xcm，AC =6xcm，因为E、F分别是AB、CD的中点，所以13cm,
9、22AEABx12 cm,2CFCDx所以EF=AC-AE-CF=3562(cm).22xxxx所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm.FEBDCA因为EF=10，所以 x=10,解得x=4.52例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（）A1cm B9cmC1cm或9cm D以上答案都不对解析：分以下两种情况进行讨论：当点C在AB之间上，故AC=AB-BC=1cm；当点C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cmC方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：点在某一线段上；点在该线段的延长线.变式训练：已知
10、A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（）A21cm或4cm B20.5cmC4.5cm D20.5cm或4.5cmD1. 如图，点C 是线段AB 的中点，若 AB = 8 cm， 则 AC = cm.ABC4C练一练ACB2. 如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的 中点的是 ( ) A. AC = CB B. AB = 2 AC C. AC + CB = AB D. CB = AB ACB213. 如图，线段 AB =4 cm，BC = 6 cm，若点D 为 线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求 线
11、段 DE 的长.A D B E C答案：DE 的长为 5 cm. 如图：从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.有关线段的基本事实三AB议一议 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.AB你能举出这条性质在生活中的应用吗？ 简单说成：两点之间，线段最短.两点之间线段最短1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程 改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何 设计线路？请在图中画出，并说明理由.想一想.BA.2.
12、把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长 度有什么变化？ABA，B 两地间的河道长度变短.1. 如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+ AC BC (填“”“”或“=”). 其中蕴含的数学道理是 .两点之间线段最短练一练ABC2. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄， 如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽 车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中 画出汽车站的位置.CABl1. 下列说法正确的是 ( ) A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段 B. 两点之间的距离是指两点之间的直线 C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距
13、离是两点之间的直线的长度2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为_.当堂练习当堂练习CA C D B ADBC3.已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长为_.CAD B15 cm4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_11或15. 如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线段 AC 的中点求线段 OB 的长度ABCO解： AC = AB + BC = 4+3=7 (cm)， 点O 为线段 AC 的中点， OC = AC= 7 = 3.5 (cm)， OB = OCBC = 3.53 = 0.5 (cm)12126.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长D AC BM AD=10 x=20 解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x,所以AD=AB+BC+CD=10 x.因为M是AD的中点，所以AM=MD=5x，所以BM=AM-AB=3x.因为BM=6，即3x=6，所以x=2. 故CM=MD-CD=2x=4，课堂小结课堂小结线段长短的比较与运算线段长短的比较基本事实线段的和差度量法叠合法中点两点间的距离思想方法方程思想分类思想. 基本作图
