1、数学试题 (第 1页 共 13页)准考证号准考证号_姓名姓名_（在此卷上答题无效）2021-2022 年第年第二二学期福州市学期福州市高一期中高一期中质量质量抽测抽测数学试卷（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数1i的共轭复数为A1i B1i C1iD1i【答案】D【考查意图】本题考查共轭复数概念，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，涉及的核心素养是数学运算.满分 5 分.【解析】根据定义，求出复数1i的共轭复
2、数为1i，选择 D 选项.2.已知向量(1,1)ma，( ,2)mb，若ab，则实数m的值为A2B23C1D2【答案】B【考查意图】本题考查平面向量的垂直关系，向量坐标运算等，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，涉及的核心素养是数学运算、直观想象.满分 5 分.【解析】由ab得0 a b，即1(1)20mm，解得23m ，选择 B 选项.3.已知为锐角，且1sin42，则cos4A12B12C32D32【答案】C【考查意图】本题考查三角函数同角关系，三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算满分 5 分【解析】方法一：利用所求角和已知角之间的关系
3、,结合诱导公式进行化简即可求解.因为为锐角,所以444,而3coscos442,选择 C 选项.方法二：由条件得,46,即46,所以3coscoscos()444662.选择 C 选项.数学试题 (第 2页 共 13页)4.在四边形ABCD中，若=AB DC ，且ABADABAD ，则该四边形一定是A正方形B菱形C矩形D等腰梯形【答案】C【考查意图】本题考查平面向量等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是逻辑推理、直观想象.满分 5 分.【解析】由ABCD 0 ，得ABDC ，所以四边形ABCD为平行四边形，又由ABADABAD ，得DBAC ，所以AB
4、CD为矩形选择 C 选项.5.已知,baR，0b “”是复数i ab“为虚数”的A必要非充分条件B充分非必要条件C充要条件D既非充分条件也非必要条件【答案】C【考查意图】 本题考查复数概念等基础知识， 考查推理论证能力， 考查化归与转化思想，涉及的核心素养是逻辑推理.满分 5 分.【解析】0b 是复数i ( ,babaR)为虚数的充要条件.6.多项式2+2 +4xx在复数集中因式分解的结果是A(13i)(13i)xx B(13i)(13i)xx C(13i)(13i)xx D(13i)(13i)xx 【答案】A【考查意图】本题主要考查因式分解，复数的乘法运算，一元二次方程虚根求解等基础知识，考
5、查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算.满分 5 分.【解析】因为24416120bac ，所以2+2 +4=(13i)(13i)xxxx ，选择 A 选项.7.在边长为 2 的正方形ABCD中，点E为边BC上的动点，点F为边CD上的动点，且DFCE，则BF EF 的最小值为A3B5C1D0【答案】A【考查意图】本题考查二次函数的最值，数量积的坐标表示，向量在几何中的应用等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，涉及的核心素养是数学运算，逻辑推理、直观想象.满分 5 分.【解析】方法一：以A为原点建立直角坐标系，设DFx，则(2,0)B，(
6、2,2)Ex，( ,2)F x，故(2,2)BFx ，(2, )EFxx ，数学试题 (第 3页 共 13页)则222(2)224(1)3BF EFxxxxx ，选择 A 选项方法二：由图可以判断BF EF 为正数，故排除 C 和 D，取CD中点为F，则BC上的中点为E，此时=(1,2),( 1,1)BFEF ，得=3BF EF ，故选择 A 选项方法三：极化恒等式。8.已知23lg2,log 3,log 4abc，则, ,a b c的大小关系为AabcBabcCacbDcab【答案】C【考查意图】本题考查对数函数的图像与性质，不等式比较大小等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查数形结合
7、思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理.满分 5 分.【解析】方法一：lg2lg101a ，22log 3log 21b ，33log 4log 31c ，28939log 3log 27log 27log 4log 16bc，acb.故选择 C 选项方法二：2lg3log 3lg2b ，3lg4log 4lg3c ，2(lg3)lg2 lg4bc，2222lg2lg4lg8lg9lg2 lg4()()()(lg3)222，1bc，cb，acb.故选择 C 选项二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得
8、5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知函数10( )0010 xs xxx，则函数( )( )h xs xx的零点是A1B0C1D2【答案】ABC【考查意图】本题考查分段函数的图像与性质，函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、几何直观.满分 5 分.【解析】在同一个坐标系中作出( )yS x与yx的图象，易得交点个数为 3 个10. 已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，当0 x 时，2( )2f xxx，则A( )f x的最小值为1B( )f x在( 2,0)上单调递减C( )0f
9、x 的解集为(, 2)(2,) D存在实数x满足20f xfx【答案】ACD【考查意图】本题考查函数的图像，函数的单调性、奇偶性、对称性，解一元二次不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉数学试题 (第 4页 共 13页)及的核心素养是数学运算、逻辑推理、几何直观.满分 5 分.【解析】设0 x ，则0 x，所以22()()2()2( )fxxxxxf x ，综上，222 ,0,( )2 ,0.xx xf xxx x故( )f x的最小值为1，选项 A 正确；因此( )f x在( 2, 1)上单调递减，在( 1,0)上单调递增，选项 B 错误；作出
10、图像得到( )0f x 的解集为(, 2)(2,) ，选项 C 正确；存在实数2x 、0 x 使得20f xfx，选项 D 正确。11. 在直角坐标系xOy中， 已知点(1,1)A，(2,3)B，(3,2)C，OPmABnAC ，( ,)Rm n,则A若OPBC ，则0mnB若点P在BC上，则1mnC若PAPBPC 0 ，则0mnD若AP 在AC方向上的投影向量是(2,1)，则1mn【答案】AC【考查意图】本题考查平面向量基本定理，投影向量的坐标表示，向量的几何性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、直
11、观想象.满分 5 分.【解析】(1,2),(2,1)ABAC ，因为OPmABnAC ，所以(2 ,2)OPmnmn ，由(2 ,2)OPmnmn ，(1, 1)BC ，得0mn，选项 A 正确；若P在BC上，则APOPOA ，1111()()()()()3333APmABnACOAmABnACABACmABnAC ，所以11()()133mn，即53mn，选项 B 错误；由PAPBPC 0 ，解得(2,2)OP ，由22,22mnmn，得0mn，选项 C正确；对于选项 D，若AP 在AC方向上的投影向量是(2,1)，则APAC ，此时点P与点C重合,且53mn，解得13m .选项 D 错误.
12、12. 在ABC中，三个角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，1sinsinsin8ABC ，ABC的面积为2，则数学试题 (第 5页 共 13页)A16 2abc B若2a ，则3A CABC外接圆半径2 2R D21132sinsinsinBCA【答案】ACD【考查意图】本题考查三角恒等变换,正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，均值不等式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、直观想象.满分 5 分.【解析】由21sin2sinsinsin2SbcARBCA，得28R ，2 2R，故选项 C
13、 正确；由正弦定理2sinaRA，而24 2sin3所以选项 B 错误；所以38sinsinsin16 2abcRABC，故选项 A 正确；11118sinsinsin8 sinsinsinsinsinsinBsinsinB82 sinsinsinsin4 2 sinABCBCACAAABCCC所以21132sinsinsinBCA，故选项 D 正确.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知,a b R,i是虚数单位，若i1iab ,则2(i)ab_.【答案】-2i【考查意图】本题主要考查复数四则运算以及复数相等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉
14、及的核心素养是数学运算.满分 5 分.【解析】i1iab，则22(i)(1 i)2iab.14. 已知向量a，b的夹角为 60，22 3ab，=1b，则a_.【答案】2【考查意图】本题主要考查平面向量的运算法则，数量积，模及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，涉及的核心素养是数学运算、直观想象.满分 5 分.【解析】由22 3ab，得2(2 )12ab，224+412aba b ，设ax，则2280 xx，解得1=2x，24x ，2a.15. 在ABC中，三个角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若2,3aA则ABC周长的最数学试
15、题 (第 6页 共 13页)大值为_.【答案】6【考查意图】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，三角形周长及基本不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理满分 5 分【解析】由正弦定理得：sinsinsinabcABC，sin4 3sinsin3aBbBA，sin4 34 32sinsin()sin333aCcCBA，4 3213sinsin()4( cossin)4sin()33226bcBBBBB ，当62B，即6B时，bc取得最大值 4ABC周长的最大值42616. 如图，半圆O的半径为 1，A为直径所在直线上的一点，且2OA
16、，B为半圆弧上的动点.将线段AB绕点A顺时针旋转2得到线段AC，则线段OC长度的最大值是_.【答案】3【考查意图】本题主要考查三角函数的简单应用等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、数学抽象满分 5 分【解析】解法一：以 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，设AOB，则cos ,sinB，2,0A，cos2,sinAB ，所以sin , 2cosAC，从而2sin , 2cosOC，222sin2cos54sin4OC，所以，当34时，线段OC的长取得最大值 3.解法二：由托勒密定理,得AB OCOA BCOB AC，且ABC为等腰直角三角形，,2ABAC BC
17、AB，2,1OAOB，所以3OA BCOB ACOCAB，此时135AOB ，5AC ，45AOC .四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （10 分）数学试题 (第 7页 共 13页)如图，在ABC中，已知2AB ，5AC ，o60BAC，BC、AC边上的中线AM、BN相交于点P.设AB a，AC b.（1）用a，b表示BN；（2）求AP .【考查意图】 本题主要考查平面向量基本定理， 平面向量的三角形法则， 平行四边形法则，向量的模等基础知识，考查向量方法解决平面几何问题的能力，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养是数学
18、运算、数学抽象满分 5 分【解析】（1）方法一：因为N是AC的中点，所以12BNANAB ba. 4 分方法二：因为BN是ABC边上的中线，所以11111()()22222BNBABCBAACABACAB ba. 4 分（2）方法一：APABBP ，5 分又22 112()33 233BPBN baba，6 分所以1211(3333AP aba)ab.7 分于是222201111213913()()(4252 2 5 cos60 )33999993AP abab +ab，9 分所以393AP ，故AP 的长为393.10 分方法二：121111333333APABANABAC ab. 7 分因
19、为23APAM ，又222211139()(2)2244AM abab + ab，所以392AM ，9 分数学试题 (第 8页 共 13页)所以393AP ，故AP 的长为393.10 分方法三： （坐标法）以点A为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则(0,0)A，(5,0)C，(1, 3)B， 6 分由重心性质，得点P的坐标为015 0303(,)(2,)333 ，7 分所以223392()33AP ，9 分故AP 的长为393.10 分方法四： （利用正余弦定理解三角形）在ABN中，已知2AB ，52AN ，o60BAC，由余弦定理得220212cos6
20、02BNABANAB AN，所以22121323BP，12121326PN ，由coscos0APBAPN，即22222cos2cos022PAPBPA PBAPBPAPNPA PNAPNPA PBPA PN，解得393AP ，故AP 的长为393.10 分18. （12 分）在复平面内，已知正方形ABCD的三个顶点A,B,C对应的复数分别是1i,23i,62i.（1）求点D对应的复数；（2）已知，求TATBTC 对应的复数.在以下、中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果、都做，则按给分点T是ABC的垂心.数学试题 (第 9页 共 13页)点T是ABC的外心.【考查意图】本题主要考
21、查复数加减运算及其几何意义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是直观想象、数学运算.满分 12 分.【解析】（1）方法一：方法一：设O为复平面内的原点，由题意(1,1),(2, 3),(6, 2)OAOBOC ，(4,1)BC ，设( , )ODx y， 2 分则( , )(1,1)(1,1)ADODOAx yxy ， 3 分由题意知BCAD ，4 分所以14,11.xy 解得5,2.xy5 分故点D对应的复数为52i.6 分方法二：方法二：依题意得，在复平面内，点A、B、C对应的坐标分别为(1,1),(2, 3),(6, 2)，所以AC的中点E的坐标是71(
22、,)22，2 分又由平行四边形对角线互相平分知，点E也是BD的中点， 3 分从而点D的坐标为71(22,2( 3)22 ，即为(5,2)，5 分故点D对应的复数为52i.6 分方法三方法三：依题意得，在复平面内，点A、B、C对应的坐标分别为(1,1),(2, 3),(6, 2)，设点D的坐标为( , )x y，则(2, 3)(1,1)(1, 4)AB ,( , )(1,1)(1,1)ADx yxy2 分由ABAD 且ADAB 得，2222(1)4(1)0,.(1)(1)1( 4)xyxy 4 分解得，5,2,xy 或3,0.xy 结合图形可知，点D的坐标为(5,2)，故点D对应的复数为52i.
23、6 分（2）若选择，因为点T是三角形ABC的垂心，所以点T位于直角顶点B处，8 分则(1,1)(2, 3)(6, 2)(2, 3)(3,5)TATBTCBABC0 ，10 分故向量TATBTC 对应的复数是35i. 12 分若选择，因为点T是三角形ABC的外心，所以点T为直角三角形ABC斜边AC的中点，8 分数学试题 (第 10页 共 13页)点T坐标为71( ,)22，则7135()+(2, 3)( ,)(,)2222TATBTCTATCTBTB0 ，10 分故向量TATBTC 对应的复数是35i22.12 分19. （12 分）已知向量3(,cos(2)23xa，1(sin2 ,)2xb，
24、设( )f x a b.（1）求( )f x的单调递增区间；（2）若关于x的不等式( )0f xm在,12 2恒成立，求m的取值范围【考查意图】本题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数恒等变换，三角函数的图像与性质，不等式恒成立问题，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、直观想象.满分 12 分.【解析】31( )sin2cos(2)223f xa bxx 1 分31 13sin2( cos2sin2 )22 22xxx 2 分31sin2cos244xx3 分131(sin2cos2 )222xx1sin(2)26x. 4 分
25、（1）22T ；5 分由2 22 ,262kxkkZ，得,63kxkkZ，- 6 分所以( )f x的单调递增区间为 , ,()63kkkZ. 8 分（2）当,12 2x 时，52366x，9 分由不等式( )0f xm恒成立，得max( )mf x，10 分因为max1( )2f x，11 分所以12m .12 分数学试题 (第 11页 共 13页)20. （12 分）在锐角ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知2cos 222cos0ABC，2 15ab，且ABC的外接圆半径为2 3.（1）求角C；（2）求AB边上的高h.【考查意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理
26、，三角函数求值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、抽象概括、直观想象.满分 12 分.【解析】（1）由已知2cos 222cos0ABC，得22cos22coscos22cosABCCC22cos22cos4cos10CCC 3 分解得1cos2C ，4 分因为C为锐角，所以3C ；5 分（2）由正弦定理，得22 3sin63c7 分由余弦定理，得22222cos3363cabababab，又2 15ab，所以2363abab，即8ab 10 分所以11sin22SabCch，所以38sin2 3263abChc，即
27、ABC的边AB上的高2 33h .12 分21. （12 分）函数 f x的定义域为0,，且存在唯一常数0k ，使得对于任意的x总有 1f kxf xk成立.（1）若 10f，求 1f kfk的值；（2）求证函数 lng xx符合题设条件.【考查意图】本题主要考查函数相关新定义的理解，函数零点个数判断，函数图象的意数学试题 (第 12页 共 13页)义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想，涉及的核心素养是数学运算、数学抽象、逻辑推理等。【解析】（1）由条件，得 11f kfk，.1 分又 10f，所以 1f kk，.2 分而 1111ffkfk
28、kk，.3 分又 10f，所以11fkk .4 分所以， 10f kfk.5 分（2）易知 lng xx的定义域为0,，.6 分假设存在常数00k 满足001lnlnk xxk，等价于001lnkk，.8 分设 1lnp xxx，易知该函数为增函数，.9 分又 11ln1101p ， 11ln10p eeee ，.11 分所以，存在唯一的常数01,ke使函数 lng xx满足题设条件.12 分22.（12 分）在ABC中， 向量等式ACABBC 或ABBCCA 0 ， 沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性.（1）如图，ABC的三个角, ,
29、A B C的对边分别为, ,a b c.设e为ABC所在平面的一个单位向量，记向量e与AB的夹角为.现构造等式0ABBCCA e，请你探究0及2时得到的结论；（2）已知AD是ABC的平分线，请你用向量法证明：ABBDACDC.【考查意图】本题主要考查平面向量的三角形法则，平行四边形法则，向量的数量积运算等基础知识， 考查向量方法解决平面几何问题的能力， 考查运算求解能力， 推理论证能力、应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，涉及的核心素养是数学运算、逻辑推理、数学抽象满分 5 分【解析】（1）0,可得coscosaBbAc，.3 分数学试题 (第 13页 共 13页)2,可得s
30、insinabAB.6 分（2）方法一：取e与AD垂直， .7 分则ABABACCA eeADDBCDDA ee .9 分DBCD eeBDCD， .11 分所以ABBDACDC.12 分方法二：设BDDC，则()ADABACAD ，即111ADABAC . .7 分设1,11AEAB AFAC ，则ADAEAF ，所以四边形AEDF为平行四边形，.9 分而AD是BAC的平分线， 所以四边形AEDF为菱形.10 分所以AEAF，即111ABAC，所以ABAC， .11 分因此有ABBDACDC. .12 分方法三：设BDBC ，,1BDDCBCBC， .7 分故1ADACAB ，又()ABACADuABAC .9 分所以uAC，1uAB， .10 分结合得,BDuDCuBCAC BCAB， .11 分BDABDCAC. .12 分其他方法：只要有融合向量运算，都给足相应分数。
