1、高三下学期理数月考试卷高三下学期理数月考试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） AP BQ CZ D 2若，则（ ） A B10 C D 3命题，则为（ ） A B C D 4若函数满足，则可以是（ ） A B C D 5如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E 为的中点，则在原几何体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B C D 6展开式中常数项为（ ） A-15 B0 C15 D80 7已知，且，则（ ） A B C D 8从装有 3 个白球 m 个红球 n 个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为 X，若，
2、取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ） A B C D 9函数的图象过点，距离 y 轴最近的最高点是，则下列说法正确的是（ ） A B函数在区间内单调递增 C函数关于点对称 D若函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则是奇函数 10当时，过点均可以作曲线的两条切线，则 b 的取值范围是（ ） A B C D 11过点 P 作抛物线的切线，切点分别为，若的重心坐标为，且P 在抛物线上，则 D 的焦点坐标为（ ） A B C D 12若，满足，则（ ） A98 B99 C100 D101 二、填空题二、填空题 13已知向量，若，则 . 14在中，点 D 在线段上，且，则 . 15如图，
3、在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是 . 16已知分别为双曲线的两个焦点，曲线上的点 P 到原点的距离为b，且，则该双曲线的离心率为 . 三、解答题三、解答题 17已知数列的前 n 项和为. （1）证明为等差数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前 n 项和. 18三棱锥中，为等腰直角三角形，平面平面. （1）求证：； （2）求和平面所成角的正弦值. 19山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品，王过酥梨含有多种对人体有益的钙、铁、磷等微量营养元素，食后清火润肺，止咳化痰，能起到祛病养生之效，一致被人们作为逢年过节走亲访友，馈赠待客及日常生活的必备佳品.某水果批发商小李从事酥
4、梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在内的数量 x（单位：箱）绘制成下表： 采购数 x（单位：箱） 客户数 5 10 15 15 5 （1）根据表中的数据，补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在 168 箱以上（含168 箱）的客户数； （2）若去年年底采购在内的酥梨数量约占小李去年年底酥梨总销售量的，估算小李去年年底总销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （3）在（2）的条件下，由于酥梨受到人们的青睐，小李做了一份市场调查以决定今年年底是否在网上出售酥梨，若没有在网上出售酥梨，则按去年的价格出售，每箱利润为 14 元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售酥梨，则需
5、把每箱售价下调 1 至 5 元（网上、网下均下调） ，且每下调m 元销售量可增加箱，试预计小李在今年年底销售酥梨总利润 Y（单位：元）的最大值. 20已知函数. （1）证明：； （2）若有两个不相等的实数根，求证：. 21已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为为坐标原点，点Q 在椭圆 C 上，且满足. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）P 为椭圆 C 的右顶点，设直线 与椭圆 C 交于异于点 P 的两点，且，求的最大值. 22在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为，曲线 C 的极坐标方程为. （1）写出直线 和曲线 C 的直角坐标方程；
6、（2）已知点，若直线 与画线 C 交于两点，求的值. 23已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对于任意实数 x，不等式成立，求实数 a 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】对于集合，有， 对应集合 ， ： 当 为偶数时 ，此时 元素相同； 当 为奇数时 ，此时 中元素不在 内， 中元素也不在 内； 综上， . 故答案为：B 【分析】在集合 P 中讨论 k 的奇偶性，判断集合 P,Q 中元素的关系，即可确定答案。 【解析】【解答】，则 故答案为：C 【分析】 根据复数的基本运算法则进行化简，再运用向量模长公式，即可求解出答案. 【解析】【解答】由特称命题的否定是全称
7、命题，命题， 所以 故答案为：D 【分析】由特称命题的否定是全称命题可得答案。 【解析】【解答】因为， 所以函数的周期为 . A：因为 ， 所以 ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意； B：因为 ， 所以 ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意； C：该函数的最小正周期为： ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意； D：该函数的最小正周期为： ，因此本选项符合题意， 故答案为：D 【分析】 根据题意，易得 f (x)是周期为 2 的周期函数，由周期性的定义依次分析选项，即可得答案. 【解析】【解答】因几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，于是得原几何体是正
8、三棱锥， 其中 两两垂直，且 ，取 BD 中点 F，连接 EF，AF，如图， 因 E 为 的中点，则有 ，因此， 是异面直线 与 所成角或其补角， 令 DB=2，则 ， 中， ， 正 中， ，于是有： ，即 ， ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 . 故答案为：A 【分析】将给定展开图还原成正三棱锥 ，取 BD 中点 F，借助几何法求出异面直线所成角的余弦值。 【解析】【解答】的通项为 当 时， ；当 时， 则 展开式中常数项为 故答案为：B 【分析】 的展开式的通项公式，分别令和，求出 r 的值，即可得出展开式中常数项 . 【解析】【解答】由题意可得，即 ，由 可得， 故答案为：D 【分
9、析】由倍角公式结合平方关系即可求出答案。 【解析】【解答】依题意，X 的可能值为 0，1，2，则有， 于是得 ，解得 ，袋中共有 10 个球， 因此，取出一白一红的概率为 ，解得 ，则 ， 所以取出一红一黄的概率为 . 故答案为：A 【分析】 由已知求出 X 的分布列，借助期望求出 m+n，再由给定概率求出 m, n，即可求出取出一红一黄的概率 . 【解析】【解答】由题设，且， 又 ， 且 是距离 y 轴最近的最高点，则 ， 所以 ， ，故 ，A 不符合题意； 综上， . 令 ， ，可得 ， ，则 时， 上递增，而 不是其子区间，B 不符合题意； ，故 关于点 对称，C 符合题意； ，显然不是
10、奇函数，D 不符合题意. 故答案为：C 【分析】由所过点及距离 y 轴最近的最高点坐标，结合正弦函数的性质得 ，进而写出 解析式，整体法求单调区间，代入法判断对称性，根据图像平移得到 的解析式，进而判断奇偶性。 【解析】【解答】设过点的切线与相切于， 则有 ，消去 n 得： . 因为过点 均可以作曲线 的两条切线， 所以关于 m 的方程 有两解. 即 有两解. 令 .只需 与 有两个交点. 对于 ，则 . 令 ，解得： ；令 ，解得： . 所以 在 上单调递减，在 单调递增. 作出 的草图如图所示： 要使 与 有两个交点，只需 . 记 ， . 令 ，解得 ；令 ，解得 ； 所以 在 上单调递增
11、，在 单调递增. 所以 的最大值为 ， 所以 . 故答案为：C 【分析】设过点 的切线与相切于，由题意转化为关于 m 的方程有两解，令，要使与有两个交点，只需，利用导数求出的最大值，即可求出 b 的取值范围 。 【解析】【解答】设，由可得 故 ，即 ，同理 联立可得 ，则 所以 ，即 ，解得 故 ，则 ，D 的焦点坐标为 故答案为：A 【分析】由已知设切点坐标为 ，利用导数写出切线 的方程，联立求出交点 P 的坐标 ，代入重心坐标公式，利用已知条件可求出 P 的坐标，再代入抛物线方程，求出 m，进而求出 D 的焦点坐标 。 【解析】【解答】构造函数，所以此函数是单调递增函数， 因此当 时， ，
12、于是有 ， 因为当 时， 成立， 所以一定有 ， 当 时， ，满足 ， 故答案为：B 【分析】通过构造函数，利用放缩法，结合已知进行求解即可得出答案。 【解析】【解答】因为， 所以 ， 解得 ， 故答案为：-3 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式和运算性质进行求解，即可求出 的值 。 【解析】【解答】因为， 所以 ， 在 中，由余弦定理可知： ，或 ， 故答案为：4 或 5 【分析】根据锐角三角函数定义，结合余弦定理进行求解，即可求出 BD 的值。 【解析】【解答】由题设，面，又面，面面， 所以 ，同理可证 ，故 ， 又 面 ，又 面 ，面 面 ， 所以 ，同理可
13、证 ，故 ， 故 为平行四边形，又 ，即 ，则 为矩形， 若 ，则 ，又 ， 所以 ， ，又 面积为 ， 所以 ，故当 时 . 故答案为：1. 【分析】由线面平行的性质可得 ，且，易得为平行四边形，结合得为矩形，若，由已知求 EN、EF 关于的表达式，即可得面积关于的函数，利用二次函数性质求最值即可得截面面积的最大值 。 【解析】【解答】设焦距为，因为，所以，又，所以 因为 ， 所以 ，结合 整理得 ，即 故答案为： 【分析】由等面积法结合定义得出 ，由结合余弦定理得出该双曲线的离心率。 【解析】【分析】 （1）先由， 结合定义证明为等差数列，并求的通项公式； （2）由 与 关系得出 ，再由错
14、位相减法求和即可得数列的前 n 项和. 【解析】【分析】 （1）由勾股定理及等腰三角形的性质可得，再由线面垂直的判定及性质即可证得； （2） 若是的中点 ， 过作 ，由等腰三角形、面面垂直的质证明 ，进而构建空间直角坐标系 ，并求 PC 的方向向量和平面 的法向量，利用向量法即可求出和平面所成角的正弦值 。 【解析】【分析】(1)由题意作出频率分布直方图，再利用频率与频数的关系求出采购数在 168 箱以上（含 168 箱）的客户数； (2)先求去年“大客户”所采购的螃蟹总数，再求出小李去年年底总销售量； (3)分类讨论求不同方案下的利润，从而比较大小求得总利润 Y 的最大值. 【解析】【分析】
15、 （1） 令，利用导数证明不等式； （2）先由 的单调性得出 ，再由 等价于，构造函数，由导数得出，即可证得. 【解析】【分析】 (1)根据离心率和椭圆定义求出 a,c,b，则椭圆方程可得； (2)由题可知直线 l 斜率不为 0，设 l 方程为(t2)， 联立直线和椭圆方程， 结合韦达定理可得， 化简，得 t 的值，直线 的方程，再计算|y1 - y2|，, 结合函数的单调性，即可得出答案. 【解析】【分析】 （1）由三角恒等变换结合得出直线 和曲线 C 的直角坐标方程； （2）由直线 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程联立，由其几何意义以及韦达定理进行求解即可得出的值. 【解析】【分析】(1)由题意可得，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求不等式的解集； (2)由题意可得 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求实数 a 的取值范围 .
