1、3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第1课时函数的概念(一)第2课时函数的概念(二) P363.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法 P76第2课时分段函数 P1183.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性 P154第2课时函数的最大(小)值 P1823.2.2奇偶性 P2233.3幂函数 P2713.4函数的应用(一) P314第三章 函数概念与性质知识点知识点1函数的概念函数的概念基础知识基础知识定义设A、B是非空的_，如果对于集合A中的_，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y
2、f(x)，xA三要素对应关系 yf(x)，xA定义域_的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合f(x)|xA实数集任意一个数x唯一确定x思考1：(1)对应关系f一定是解析式吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)不一定对应关系f可以是解析式、图象、表格，或文字描述等形式(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值知识点知识点2区间及有关概念区间及有关概念a，b(a，b)a，b)(a，b(2)特殊区间的表示定义Rx|xax|xax|xax|xa符号_
3、(，)a，) (a，) (，a (，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“”是数吗？以“”或“”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合0就不能用区间表示(2)“”读作“无穷大”，是一个符号，不是数以“”或“”作为区间一端时，这一端必须是小括号基础自测基础自测1对的打“”，错的打“”(1)“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”()(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y()(3)在研究函数时，除用符号f(x)外，还用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数()解析(1)符号y
4、f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象(2)根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一的y与之对应(3)同一个题中，为了区别不同的函数，常采用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数2已知f(x)2x1，则f(5)()A3B7C11D25解析f(5)25111，故选CC1,74如图能表示函数关系的是_ 解析由于中的2与1和3同时对应，故不是函数关系题型探究题型探究题型一函数概念的理解 例 1B(2)设Mx|2x2，Ny|0y2，函数yf(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数yf(x)的图象的是() 分析(1)如何利用
5、函数定义对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系C归纳提升1判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应2函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”解析(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：xyx2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合
6、B的函数(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：xy0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数题型二求函数的定义域 例 2归纳提升求函数的定义域：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接C
7、题型三对应关系 (2021哈尔滨高一检测)德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵只要有一个法则，使得x在取值范围中的每一个值，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式，已知函数f(x)由表给出，例 3xx11x2x2f(x)123D归纳提升函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算、对应得到唯一的函数值yD(2)已知函数f(x)，g(x)分别由表给出则方程gf(x)3的解集为_解析(2)根据题意，若方程gf(x)3，必有f(x)1，
8、则有x1或3，即方程gf(x)3的解集为1,31,3x123f(x)131x123g(x)321题型四求函数值 例 4归纳提升求函数值的方法及关注点(1)方法：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；求fg(a)的值应遵循由里往外的原则(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义返回导航1下列图形中，不能确定y是x的函数的是()D解析由函数的定义知A，B，C是函数，故选D2对于函数f：AB，若aA，bA，则下列说法错误的是()Af(a)BBf(a)有且只有一个C若f(a)f(b)，则abD若ab，则f(a)f(b)解析函数的对应关系中，
9、可以多个不同的自变量对应同一个函数值故选CC3若函数yx22x5的定义域为1,0,2,3，则其值域为_6，5,3,104下列对应关系是集合P上的函数的是_PZ，QN*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；P1,1，2,2，Q1,4，对应关系f：xyx2，xP，yQ；P三角形，Qx|x0，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应解析对，0P，但|0| Q，所以对应关系f不能构成集合P上的函数对，xP，都有且只有唯一元素y在集合Q中与之对应，所以能构成集合P上的函数对，P中的元素不是数，而函数是数集到数集的对应关系故填3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念
10、第2课时函数的概念(二)知识点知识点1同一个函数同一个函数基础知识基础知识前提条件_相同_完全一致结论这两个函数是同一个函数定义域对应关系思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可知识点知识点2常见函数的定义域和值域常见函数的定义域和值域a0a0思考2：求二次函数yax2bxc(a0)的值域时为什么分a0和a0两种情况？基础自测基础自测2(2021江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数yf(x)的图象的是()解析由函数定义可知
11、，任意作一条垂直于x轴的直线xa，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数DA4下表表示y是x的函数，则函数的值域是()Ay|1y1BRCy|2y3D1,0,1解析函数值只有1,0,1三个数值，故值域为1,0,1Dxx22x3x3y101题型探究题型探究题型一函数的值域 函数yx21，1x2的值域是()A(3,0B(3,1C0,1D1,5)分析首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系例 1B解析由yx21，x1,2)，可知当x2时，ymin413；当x0时，ymax1，因为x2，所以函数的值域为(3,1归纳提升二次函数yax2bxc(a0
12、)的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值解析A中x0，所以y0；B中x0，所以y0；C中x0，所以y0；D中xR，所以y1B题型二同一函数 分析判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可例 2归纳提升判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函
13、数(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数D题型三复合函数、抽象函数的定义域 (1)若函数f(x)的定义域为(1,2)，则函数f(2x1)的定义域为_(2)若函数f(2x1)的定义域为(1,2)，则函数f(x)的定义域为_(3)若函数f(2x1)的定义域为(1,2)，则函数f(x1)的定义域为_例 3(1,5)(0,6)分析(1)f(x)的定义域为(1,2)，即x的取值范围为(1,2)f(2x1)中x的取值范围(定义域)可由2x1(1,2)求得(2)f(2x1)的定义域为(1,2)，即x的取值范围为(1,2)，由此求得2x1的取值范围即为f(x)的定义域(3)先由f(2x1)的定义域
14、求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x1)的定义域归纳提升函数yfg(x)的定义域由yf(t)与tg(x)的定义域共同决定：(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数fg(x)的定义域由g(x)A解出(2)若已知函数fg(x)的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域【对点练习】 (1)已知函数f(x)的定义域为1,5，求函数f(x5)的定义域；(2)已知函数f(x1)的定义域是0,3，求函数f(x)的定义域解析(1)由1x55，得4x10，所以函数f(x5)的定义域是4,10(2)由0 x3，得1x12，所以函数f(x)的定义域是1,2函数概念理解有误设
15、集合Mx|0 x2，集合Ny|0y2，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是()A0B1C2D3B例 4误区警示误区警示错解函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D错因分析不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应正解图(1)定义域M中的(1,2部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2上任给一个元素，在值域(0,2上有两个元素和它对应，因此不唯一故只有图(2)正确答案为B方法点拨函数的定义
16、中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系求函数值域的方法转化与化归思想及数形结合思想的应用1分离常数法学科素养学科素养求函数值域的方法转化与化归思想及数形结合思想的应用1分离常数法学科素养学科素养例 52配方法求函数yx22x3(5x2)的值域分析这种题型，我们常利用配方法把它们化成ya(xb)2c的形式来求函数的值域解析yx22x3(x1)24，x5，2，其图象是开口向下，顶点为(1,4)，在x5，2上对应的抛物线上的一段弧根据x5，2时的抛物线上升，则当x5时，y取最小值，且ym
17、in12；当x2时，y取最大值，且ymax3故yx22x3(5x2)的值域是12,3例 6返回导航例 7归纳提升求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围1函数y2x1，xN*，且2x4，则函数的值域为()A(5,9)B5,9C5,7,9D5,6,7,8,9解析当2x4且xN*时，x2,3,4所以函数值域为5,7,9C解析选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数A3已知函数f(x)的定义域2,3，则函数f(x1)的定义域为_解析由题意得
18、2x13，3x2，故函数f(x1)的定义域为3,23,2(3)作出图象如图， 则f(x)的值域为(，0)(0，)，g(x)的值域为1，)3.1函数的概念及其表示3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法知识点知识点函数的表示法函数的表示法基础知识基础知识表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式图象法以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数yf(x)的图象，这种用_表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数
19、值，这种列出_来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法图象表格思考：三种表示法的优缺点分别是什么？提示：表示法优点缺点解析法简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式图象法能形象直观地表示变量的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值列表法不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值只能表示有限个数的自变量所对应的函数值基础自测基础自测解析因为2R，所以f(2)B2已知函数yf(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A(，1)(1，)BRC(，0)(0，)D(1,0)C解析由图象，知x0，即x(，0)(0，)3如图，函数
20、f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则ff(3)的值等于_2解析据图象，知f(3)1，所以ff(3)f(1)24已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则fg(1)的值为_；当gf(x)2时，x_x123f(x)211x123g(x)32111解析由g(x)对应表，知g(1)3，所以fg(1)f(3)由f(x)对应表，得f(3)1，所以fg(1)f(3)1由g(x)对应表，得当x2时，g(2)2，又gf(x)2，所以f(x)2又由f(x)对应表，得x1时，f(1)2所以x1题型探究题型探究题型一列表法表示函数 某商场新进了10台彩电，每
21、台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来分析函数的定义域是1,2,3，10，值域是3 000，6 000,9 000，30 000，可直接列表、画图表示分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域例 1解析(1)列表法：x(台)12345678910y(元) 3 000 6 000 9 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(2)图象法：如图所示： (3)解析法：y3 000 x，x1,2,3，10归纳提升列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数
22、可以用不同的方法表示在应用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法：必须注明函数的定义域(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征(3)图象法：是否连线【对点练习】 某种笔记本的单价是5元，买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要y元试用函数的三种表示法表示函数yf(x)解析这个函数的定义域是数集1,2,3,4,5用解析法可将函数yf(x)表示为y5x，x1,2,3,4,5用列表法可将函数yf(x)表示为用图象法可将函数yf(x)表示为如图题型二与函数图象有关的问题 分析(1)画函数的图象时首先要注意的是什么？(2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？例 2当x0,2时，图象
23、是直线的一部分，观察图象可知，其值域为1,5(3)列表画图象，图象是抛物线yx22x在2x2之间的部分由图可得函数的值域是1,8x21012y01038(2)作函数图象时应注意以下几点：在定义域内作图；图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等要分清这些关键点是实心点还是空心点 题型三求函数解析式 角度1待定系数法求解析式(1)(2020湖北部分重点中学高一联考)已知一次函数f(x)满足ff(x)4x6，则f(x)的解析式为_(2)已知二次函数f(x)满足f(0)1，f(1)2，f(2)5，则该二次函数的解析式为_分析已知
24、函数类型分别为一次函数和二次函数，设出函数解析式求出参数即可例 3f(x)2x2或f(x)2x6f(x)x21分析已知fg(x)求f(x)有两种思路：一是将g(x)视为一个整体，应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含g(x)的形式例 4f(x)x21(x1)f(x)x24x3(2)方法一(换元法)令x1t，则xt1，tR，所以f(t)(t1)22(t1)t24t3，即f(x)x24x3方法二(配凑法)因为x22x(x22x1)(4x4)3(x1)24(x1)3，所以f(x1)(x1)24(x1)3，即f(x)x24x3例 5返回导航1如图，函数f(x)的图象是折线段，其中
25、点A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则ff(2)()A0B2C4D6解析由图象可得ff(2)f(0)4C2函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为()A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3解析把x0,1,2,3分别代入yx22x中得y的值共三个为1,0,3，故值域为1,0,3A3学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的()A解析根据题意，易知A符合4一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为_5(1)已知f(x)是一次函数，且ff(x)1
26、6x25，求f(x)；(2)已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)3.1函数的概念及其表示3.1.2函数的表示法第2课时分段函数如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数而不是几个函数知识点知识点分段函数分段函数基础知识基础知识基础自测基础自测解析20，f(2)(2)2，又20，ff(2)f(2)224C2函数y|x|的图象是()B3题型探究题型探究题型一分段函数的求值问题 分析分段函数的解析式求函数值或已知函数值列方
27、程求字母的值例 1归纳提升求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现ff(x0)的形式时，应从内到外依次求值题型二分段函数的图象及应用 分析先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象例 2(2)函数f(x)的图象如图所示 (3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)归纳提升分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不
28、管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏解析(1)函数图象如图所示题型三分段函数的应用问题 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，APB的面积为y(1)求y关于x的函数关系式yf(x)；(2)画出yf(x)的图象；(3)若APB的面积不小于2，求x的取值范围分析(1)点P位置不同ABP的形状一样吗？(2)注意该函数的定义域例 3归纳提升利用分段函数求解实际应用题的策略(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型(3)思想
29、方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法图象如图所示错解x0时，f(x)x21，x0时， f(x)x，当x0时，f(x)的定义域为0，)，当x0时，f(x)的定义域为(，0)例 4误区警示误区警示正解函数f(x)的定义域为(，0)0，)，即(，)，函数f(x)的定义域为(，)建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题 学科素养学科素养数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式数学建模是应用数学解决实际问
30、题的基本手段，也是推动数学发展的动力在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识例 5分析总成本固定成本可变成本，本题中，固定成本为20 000元，可变成本为100 x元归纳提升求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值1函数f(x)|x1|的图象是()BDD解析作出yf(x)的图象，如图所示由图象知，f(x)的值域是0,23，故选D3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1
31、课时函数的单调性知识点知识点1函数的单调性函数的单调性x1，x2D基础知识基础知识结论f(x)在区间D上单调_ f(x)在区间D上单调_特殊情况当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是_当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是_递增递减增函数减函数思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？提示：不能，不能用特殊代替一般函数yf(x)在_上是单调递增或单调递减，则函数在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数的单调区间区间D知识点知识点2函数的单调性与单调区间函数的单调性与单调区间思考2：区间D一定是函数的定义域吗？提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性
32、是局部概念，不是整体概念基础自测基础自测1判断下列说法正误(1)因为f(1)f(2)，所以函数f(x)在1,2上单调递增()(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)f(1)()(3)若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增()(4)若函数yf(x)在定义域上有f(1)f(2)，则函数yf(x)是增函数()2函数yf(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2(a，b)，且x1x2，则有()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)D以上都有可能解析因为函数yf(x)在(a，b)上是减函数，且x1x2，所以f(x1)
33、f(x2)，故选BB解析分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有BBA题型探究题型探究题型一求函数的单调区间 如图为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的单调区间例 1分析(1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？解析函数的单调增区间为1.5,3)，5,6)，单调减区间为4，1.5)，3,5)，6,7(3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括
34、这些点【对点练习】 据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间 解析由图象(1)知此函数的增区间为(，2，4，)，减区间为2,4由图象(2)知，此函数的增区间为(，1，1，)，减区间为1,0)，(0,1题型二用定义法证明函数的单调性 分析利用单调性的定义证明函数单调性要遵循“取值、作差、变形、定号、判断”这个步骤例 2归纳提升函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的，用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值作差(或作商)变形定号判断”当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法解决带根号的问题，常用的方法就是分子、
35、分母有理化从形式上看是由“”变成“”题型三单调性的应用 已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a7)f(118a)，求实数a的取值范围分析根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小例 3归纳提升利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错【对点练习】 (1)若f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式f(x)f(2x8)的解集是_(2)已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)g(12t)，求实数t
36、的取值范围1函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是()A0,1B4，31,4C3,1D3,4解析结合图象分析可知，函数图象在区间3,1是上升的，故其增区间是3,1CA3(2020山东潍坊市高一期中测试)已知函数f(x)在(，)上是减函数，若aR，则()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a)Df(a21)f(a)D3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值知识点知识点函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值基础知识基础知识前提 设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)_(3)xI，都
37、有f(x)m；(4)x0I，使得f(x0)m结论M为函数yf(x)的最大值m为函数yf(x)的最小值x0I，使得f(x0)M思考：函数的最值与值域有怎样的关系？提示：联系：函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域区别：(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素(3)若单调函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值基础自测基础自测1在函数yf(x)的定义域中存在无数个实数x满足f(x)M，则()A函数yf(x)的最小值为MB函数yf(x)的最大值为MC函数yf(x)无最小值D不能确定
38、M是函数yf(x)的最小值解析根据函数最值的定义，易知选DD2函数y|x|在R上()A有最大值0，无最小值B无最大值，有最小值0C既无最大值，又无最小值D以上都不对解析函数y|x|在(，0上递增，在(0，)上递减，当x0时，y取最大值0，无最小值A3若定义在区间(0,3上的函数yf(x)是减函数，则它的最大值()A是f(0)B是f(3)C是0D不存在解析yf(x)在区间(0,3上是减函数，当x3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值故选DD题型探究题型探究题型一利用图象求最值 分析可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值例 1解析作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x1时，f(x)
39、取最小值1，无最大值归纳提升利用图象法求函数最值的一般步骤是：解析由题意知，当x1,2时，f(x)x23，为二次函数的一部分；当x(2,5时，f(x)x3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图象如图所示：题型二利用单调性求最值 分析利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值例 2归纳提升1利用函数单调性求最值的一般步骤：(1)判断函数的单调性(2)利用单调性写出最值2利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值(2)如果函数f(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b
40、，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)(3)如果函数f(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)题型三二次函数的最值 已知函数f(x)x2ax1，(1)求f(x)在0,1上的最大值；(2)当a1时，求f(x)在闭区间t，t1(tR)上的最小值例 3归纳提升1含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为ya(xh)2k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴xh得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值2对于含参数的二次函数的最值问题，一般
41、有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论【对点练习】 已知二次函数f(x)x22x3(1)当x2,0时，求f(x)的最值；(2)当x2,3时，求f(x)的最值；(3)当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t)解析f(x)x22x3(x1)22，其对称轴为x1，开口向上(1)当x2,0时，f(x)在2,0上是减函数，故当x2时，f(x)有最大值f(2)11；当x0时，f(x)有最小值f(0)3(2)当x2,3时，f(x)在2,3上先递
42、减后递增，故当x1时，f(x)有最小值f(1)2又|21|31|，f(x)的最大值为f(2)11(3)当t1时，f(x)在t，t1上是增函数，所以当xt时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t)t22t3当t1t1，即0t1时，f(x)在t，t1上先递减后递增，故当x1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(1)2混淆“单调区间”和“区间上单调”若函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间是(，4，则实数a的取值集合为_错解函数f(x)图象的对称轴为直线x1a，由于函数在区间(，4上单调递减，因此1a4，即a3故填a33例 4误区警示误区警示错因分析导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为
43、是“在区间上单调”正解因为函数的单调递减区间为(，4，所以1a4，即a3故实数a的取值集合是3方法点拨单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念学科素养学科素养例 5返回导航A解析利用函数的单调性可知，A正确2函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()Af(2)，0B0,2Cf(2)，2Df(2)，2解析由图象可知，当x2时，f(x)取最小值f(2)，当x1时，f(x)取最
44、大值f(1)2，故选CC3函数f(x)2x1(x2,2)的最小、最大值分别为()A3,5B3,5C1,5D5，3解析函数f(x)在2,2上单调递减，f(x)minf(2)3，f(x)maxf(2)5B2解析当1x2时，f(x)2x6，f(x)在1,2上单调递增，f(x)maxf(2)10当4x1时， f(x)7x，f(x)在4,1)上单调递减，f(x)maxf(4)11综上可知f(x)maxf(4)113.2函数的基本性质3.2.2奇偶性知识点知识点1函数的奇偶性函数的奇偶性基础知识基础知识前提 函数f(x)的定义域为I，xI，都有xI条件 f(x)_f(x)_结论 函数f(x)叫_函数f(x
45、)叫_f(x)f(x)偶函数奇函数思考1：(1)如果定义域内存在x0，满足f(x0)f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f(x)f(x)或f(x)f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？提示：(1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立(2)奇、偶函数的定义域关于原点对称(1)偶函数的图象关于_轴对称(2)奇函数的图象关于_对称思考2：奇函数图象一定过原点吗？提示：若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)0，图象经过原点；若奇函数f(x)在x0处无意义，图象就不经过原点y原点知识点知识点2图象特征图象特征基础自测基础自测1判断下列说
46、法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(1)f(1)，则f(x)一定是偶函数()(2)函数f(x)x2，x0，)是偶函数()(3)对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数()(4)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()(5)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数()2下列图象表示的函数具有奇偶性的是() B3下列函数是偶函数的是()Ay2x23Byx3Cyx2，x0,1Dyx解析对于A：f(x)2(x)232x23f(x)，所以f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备
47、奇偶性AB题型探究题型探究题型一函数奇偶性的判断 例 1分析(1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？解析(1)函数f(x)x1的定义域为实数集R，关于原点对称因为f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，即f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函数f(x)x1既不是奇函数又不是偶函数归纳提升判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择题、填空题中(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称当x0时，x0，f(x)x2x(xx2)f(x)，当x0
48、时，x0，f(x)xx2(x2x)f(x)，f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(4)由于f(x)0f(x)，且f(x)0f(x)，f(x)0既是奇函数，又是偶函数(5)函数f(x)2x1的定义域为R，关于原点对称f(1)3，f(1)1，f(1)3，f(1)f(1)，y2x1不是偶函数，又f(1)f(1)，y2x1不是奇函数，y2x1既不是奇函数，又不是偶函数(6)函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性题型二奇偶函数图象的应用 设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)0的解集分析利用奇函数图象的对称
49、性，画出函数f(x)在5,0上的图象，再根据图象写出不等式f(x)0的解集例 2解析因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在5，5上的图象关于原点对称根据f(x)在0,5上的图象画出在5,0上的图象，如图中虚线所示由图象知不等式f(x)0的解集为x|2x0或2x5归纳提升已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象，奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反【对点练习】 已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示(1)请补全完整函数yf(x)的图象；(2)根据图象写出函数yf(x)的增区
50、间分析函数f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数yf(x)在x0时的图象解析(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)题型三利用函数的奇偶性求解析式 已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3试求f(x)在R上的表达式分析(1)如何把(，0)上的未知解析式转移到(0，)上的已知解析式？(2)奇函数f(x)在x0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知yf(x)是奇函数利用奇函数性质可求得解析式例 3归纳提升(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化
