1、2.4积化和差与和差化积公式必备知识必备知识自主学习自主学习导导思思1.1.积化和差公式与两角和差公积化和差公式与两角和差公式有怎样的关系式有怎样的关系? ?2.2.和差化积公式与积化和差公和差化积公式与积化和差公式有怎样的关系式有怎样的关系? ?积化和差、和差化积公式积化和差、和差化积公式(1)(1)积化和差公式积化和差公式sin cos = sin(+)+sin(-),sin cos = sin(+)+sin(-),cos sin = sin(+)-sin(-),cos sin = sin(+)-sin(-),cos cos = cos(+)+cos(-),cos cos = cos(+)
2、+cos(-),sin sin =- cos(+)-cos(-).sin sin =- cos(+)-cos(-).12121212(2)(2)和差化积公式和差化积公式sin x+sin y=2sin cos ,sin x+sin y=2sin cos ,sin x-sin y=2cos sin ,sin x-sin y=2cos sin ,cos x+cos y=2cos cos ,cos x+cos y=2cos cos ,cos x-cos y=-2sin sin .cos x-cos y=-2sin sin .xy2xy2xy2xy2xy2xy2xy2xy2【思考思考】(1)(1)积化
3、和差公式是由什么公式推导出来的积化和差公式是由什么公式推导出来的? ?提示提示: :两角和与差的正弦、余弦公式两角和与差的正弦、余弦公式. .(2)(2)和差化积公式是如何推导出来的和差化积公式是如何推导出来的? ?提示提示: :如果令如果令x=+,y=- ,x=+,y=- ,则则= ,= ,= ,= ,从而可以由积化和差从而可以由积化和差公式得到和差化积公式公式得到和差化积公式. .xy2xy2【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)sin xsin y= cos(x-y)-cos(x+y).(1)sin xsin y= cos
4、(x-y)-cos(x+y).() )(2)cos (2)cos +cos +cos =2cos cos .(=2cos cos .() )(3)(3)已知已知- -= ,cos = ,cos +cos +cos = ,= ,则则cos = .(cos = .() )12222315315提示提示: :(1).(1).积化和差公式积化和差公式. .(2).(2).和差化积公式和差化积公式. .(3).(3).因为因为-= ,cos +cos =2cos cos =2cos cos -= ,cos +cos =2cos cos =2cos cos = ,= ,所以所以cos = .cos = .
5、231531522622.2.若若cos xcos y+sin xsin y= ,sin 2x+sin 2y= ,cos xcos y+sin xsin y= ,sin 2x+sin 2y= ,则则sin(x+y)=(sin(x+y)=() )A. A. B. B. C. C. D. D. 122312133223【解析解析】选选D.D.因为因为cos xcos y+sin xsin y= ,cos xcos y+sin xsin y= ,所以所以cos(x-y)= ,cos(x-y)= ,因为因为sin 2x+sin 2y= ,sin 2x+sin 2y= ,所以所以2sin(x+y)cos
6、(x-y)= ,2sin(x+y)cos(x-y)= ,所以所以2sin(x+y)2sin(x+y) = , = ,所以所以sin(x+y)= .sin(x+y)= .121223231223233.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) =_.) =_.【解析解析】原式原式= = 答案答案: : sin 35sin 25cos 35cos 25352535252sincos322tan 30.3525352532coscos22 33关键能力关键能力合作学习合作学习类型一利用积化和差、和差化积公式化简、求值、证明类型一利用积化和差、和差化积公式化简、求值、证明( (数学运算
7、、逻辑推数学运算、逻辑推理理) )角度角度1 1利用积化和差、和差化积公式化简求值利用积化和差、和差化积公式化简求值【典例典例】求下列各式的值求下列各式的值: :(1)sin +sin ;(1)sin +sin ;(2)cos -cos ;(2)cos -cos ;(3)cos(3)cos2 27373+cos+cos2 24747+cos 73+cos 73cos 47cos 47; ;(4)2cos cos +cos +cos .(4)2cos cos +cos +cos .()3()3()4()491313513313【思路导引思路导引】(1)(1)利用和差化积公式利用和差化积公式, ,
8、进行化简所求表达式进行化简所求表达式. .(2)(2)利用和差化积公式利用和差化积公式, ,进行化简所求表达式进行化简所求表达式. .(3)(3)利用配方法利用配方法, ,结合积化和差公式结合积化和差公式, ,化简求得表达式的值化简求得表达式的值. .(4)(4)利用积化和差公式、诱导公式利用积化和差公式、诱导公式, ,化简求得表达式的值化简求得表达式的值. .【解析解析】(1)sin +sin =2sin cos (1)sin +sin =2sin cos = cos = cos . .(2)cos -cos =-2sin sin (2)cos -cos =-2sin sin =- sin
9、=- sin . .(3)cos(3)cos2 27373+cos+cos2 24747+cos 73+cos 73cos 47cos 47= -cos 73= -cos 73cos 47cos 47=4cos=4cos2 2 60 60coscos2 21313- - =cos=cos2 21313+ -cos+ -cos2 21313+ = .+ = .()3()3()4()433422(cos 73cos 47 )1(cos 120cos 26 )2141234 9534 2coscoscoscos131313139953cos()cos()coscos13131313131310853
10、coscoscoscos13131313108810coscoscos()cos()13131313108810coscoscoscos0.13131313【变式探究变式探究】本题考查三角函数式的化简求值问题本题考查三角函数式的化简求值问题, ,同时考查数学运算与逻辑推理的核心同时考查数学运算与逻辑推理的核心素养素养. .若把本例若把本例(3)(3)改为改为 试求其值试求其值. .【解析解析】1cos 80sin 40sin 80，1cos 802cos 40cos 80sin 40sin 802sin 40 cos 40sin 80cos 40(cos 40cos 80 )cos 402co
11、s 60 cos 20sin 80sin 80cos 40cos 202cos 30 cos 102cos 303.cos 10cos 10 角度角度2 2利用积化和差、和差化积公式证明恒等式利用积化和差、和差化积公式证明恒等式【典例典例】证明证明:(1) :(1) (2) (2) 【思路导引思路导引】(1)(1)利用和差化积公式证明左边式子等于右边式子即可利用和差化积公式证明左边式子等于右边式子即可; ;(2)(2)利用和差角公式展开利用和差角公式展开, ,之后再利用和差化积公式化简整理得到结果之后再利用和差化积公式化简整理得到结果. .sin A2sin 3Asin 5Asin 3Asin
12、 3A2sin 5Asin 7Asin 5A；cos Acos(120B)cos(120B)ABtan.sin Bsin(120A)sin(120A)2【证明证明】(1)(1)sin Asin 5A2sin 3Asin 3Asin 7A2sin 5A2sin 3Acos 2A2sin 3A2sin 5Acos 2A2sin 5A2sin 3A cos 2A12sin 5A cos 2A1sin 3A.sin 5A左边右边(2)(2)cos A2cos 120 cos Bsin B2cos 120 sin AABBA2sinsincos Acos B22ABBAsin Bsin A2cossin
13、22ABtan.2左边右边【解题策略解题策略】(1)(1)套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式, ,为了能够把三为了能够把三角函数式化为积的形式角函数式化为积的形式, ,有时需要把常数首先化为某个角的三角函数有时需要把常数首先化为某个角的三角函数, ,然后再化然后再化积积, ,有时函数不同名有时函数不同名, ,要先化为同名再化积要先化为同名再化积, ,化积的结果能求值则尽量求出值来化积的结果能求值则尽量求出值来. .(2)(2)在运用积化和差求值时在运用积化和差求值时, ,尽量出现特殊角尽量出现特殊角, ,同时注意互余角、互补角的三角同时注意互余角、互补
14、角的三角函数间的关系函数间的关系. .总之总之, ,在进行化简求值时要看角的形式在进行化简求值时要看角的形式, ,通过看角之间的差别与联系通过看角之间的差别与联系, ,把角进行把角进行合理的拆分合理的拆分, ,通过通过“凑角法凑角法”对对“已知角已知角”与与“未知角未知角”建立联系建立联系, ,合理选择和、合理选择和、差角差角, ,辅助角辅助角, ,积化和差与和差化积公式等方法进行积化和差与和差化积公式等方法进行. .【题组训练题组训练】1.1.已知已知coscos2 2-cos-cos2 2=a,=a,那么那么sin(+)sin(-)sin(+)sin(-)等于等于( () ) A.- A.
15、- B. B. C.-aC.-aD.aD.aa2a2【解析解析】选选C.sin(+)sin(-)C.sin(+)sin(-)=(sin cos +cos sin )(sin cos -cos sin )=(sin cos +cos sin )(sin cos -cos sin )=sin=sin2 2coscos2 2-cos-cos2 2sinsin2 2=(1-cos=(1-cos2 2)cos)cos2 2-cos-cos2 2(1-cos(1-cos2 2) )=cos=cos2 2-cos-cos2 2=-a.=-a.2.2.证明证明: : 【证明证明】方法一方法一: :3xx2si
16、n xtantan.22cos xcos 2x3xxsinsin3xx22tantan3xx22coscos223xx3xxsincoscossin22223xxcoscos223xxsin()sinx2sin x22.3xx3xxcos xcos 2xcoscoscoscos2222方法二方法二: :3xxsin()2sin xsin x223xx3xxcos xcos 2xcoscoscoscos22223xx3xxsincoscossin22223xxcoscos223xxsinsin3xx22tantan.3xx22coscos22【补偿训练补偿训练】证明下列恒等式证明下列恒等式. .
17、 coscos1tan.sinsin21sinxy sin xsin y22.1sin xysinxy 2【证明证明】 2sinsincoscos221sinsin2sincos22sinsin22tan.2coscos22 xyxy2cossinsin xsin y222xyxysin xy2sincos221sinxy 2.1sinxy 2类型二利用积化和差、和差化积公式解决三角函数问题类型二利用积化和差、和差化积公式解决三角函数问题( (逻辑推理逻辑推理) )【典例典例】已知函数已知函数f(x)= f(x)= 与与g(x)=cosg(x)=cos2 2x+a(1+cos x)-cos x
18、-3x+a(1+cos x)-cos x-3的图象的图象在在(0,)(0,)内至少有一个公共点内至少有一个公共点, ,求求a a的取值范围的取值范围. .四四步步内容内容理理解解题题意意条件条件: :已知已知f(x)= ;f(x)= ;已知已知g(x)=cosg(x)=cos2 2x+a(1+cos x)-cos x-3;x+a(1+cos x)-cos x-3;f(x)f(x)与与g(x)g(x)的图象在的图象在(0,)(0,)内至少有一个公共点内至少有一个公共点. .结论结论: :求满足条件的求满足条件的a a的取值范围的取值范围. .5sinx12x22sin25sinx12x22sin
19、2四四步步内容内容思思路路探探求求由和差化积公式将由和差化积公式将sin -sin sin -sin 化简为化简为2cos sin x,2cos sin x,再利用和差角公式将再利用和差角公式将sin xsin x换成换成sin sin 展开化简展开化简, ,再利用积化和差化简再利用积化和差化简, ,最后最后, ,参变参变量分量分离出离出a a后利用基本不等式求解后利用基本不等式求解. .5x2x23x2xx()22四四步步内容内容书书写写表表达达因为函数因为函数f(x)= f(x)= 与与g(x)=cosg(x)=cos2 2x+a(1+cos x)-cos x-3x+a(1+cos x)-
20、cos x-3的图的图象在象在(0,)(0,)内至少有一个公共点内至少有一个公共点, ,所以所以 =cos=cos2 2x+a(1+cos x)-cos x-3x+a(1+cos x)-cos x-3在在(0,)(0,)内至少有一内至少有一个解个解, ,即即sin x-sin = sin x-sin = 所以所以 5sinx12x22sin25sinx12x22sin252x22x2sincos xa(1 cos x)cos x32，23x2cosxsin x2sincos xa(1 cos x)cos x322，四四步步内容内容书书写写表表达达2cos xcos =cos2cos xcos
21、=cos2 2x+a(1+cos x)-cos x-3,x+a(1+cos x)-cos x-3,cos 2x+cos x=coscos 2x+cos x=cos2 2x+a(1+cos x)-cos x-3,x+a(1+cos x)-cos x-3,所以所以a=(1+cos x)+ ,a=(1+cos x)+ ,令令1+cos x=t,t(0,2),1+cos x=t,t(0,2),所以所以a2,a2,当且仅当当且仅当x= x= 时等号成立时等号成立, ,所以所以a a的取值范围是的取值范围是2,+).2,+).注意书写的规范性注意书写的规范性: :注意换元后的新元的取值范围注意换元后的新元
22、的取值范围, ,这也是本题的易这也是本题的易错错之处之处. . 32x211 cosx2【解题策略解题策略】(1)(1)利用积化和差、和差化积公式利用积化和差、和差化积公式, ,一定要清楚这些公式的形式特征一定要清楚这些公式的形式特征, ,理解公式理解公式间的关系间的关系. .(2)(2)求解三角函数的值域求解三角函数的值域( (最值最值) )常见到的类型常见到的类型: :形如形如y=asin x+bcos x+cy=asin x+bcos x+c的三角函数化为的三角函数化为y=Asin(x+)+cy=Asin(x+)+c或或y=Acos(x+)+cy=Acos(x+)+c的形式的形式, ,再
23、求值域再求值域( (最值最值););形如形如y=asiny=asin2 2x+bsin x+cx+bsin x+c或或y=acosy=acos2 2x+bcos x+cx+bcos x+c的三角函数的三角函数, ,可先设可先设sin x=tsin x=t或或cos x=t,cos x=t,化为关于化为关于t t的二次函数求值域的二次函数求值域( (最值最值).).【题组训练题组训练】求函数求函数 的最值的最值. . 2f xcos(x)cos(x),x,362 2 【解析解析】 562coscos()coscossinsin.124646464562f x2cos(x) coscos(x).4
24、1224 所以2cos(x)cos(x)3622(x)(x)(x)(x)36362coscos22，因为因为x x 所以所以 所以所以 所以所以f(x)f(x)的最大值为的最大值为 , ,最小值为最小值为 ,2 2 3x,.44 4 2cos(x),1,42 62262213().222【拓展延伸拓展延伸】积化和差与和差化积公式在三角形中的应用积化和差与和差化积公式在三角形中的应用涉及三角形的有关问题时涉及三角形的有关问题时, ,在化简过程中要注意隐含条件在化简过程中要注意隐含条件A+B=-CA+B=-C及及 的利用的利用, ,要注意运用三角恒等变换要注意运用三角恒等变换( (切化弦、常值代换
25、、引入切化弦、常值代换、引入辅助角、和差化积与积化和差、角的代换辅助角、和差化积与积化和差、角的代换) )来解决问题来解决问题. .ABC222【典例典例】若若ABCABC的三个内角的三个内角A,B,CA,B,C满足满足cos 2A-cos 2B=2sincos 2A-cos 2B=2sin2 2C,C,试判断试判断ABCABC的的形状形状. . 【思路导引思路导引】利用和差化积公式得到利用和差化积公式得到sin(A-B)+sin(A+B)=0,sin(A-B)+sin(A+B)=0,化简得到化简得到2sin A2sin Acos B=0,cos B=0,进而求得答案进而求得答案. .【解析解
26、析】cos 2A-cos 2Bcos 2A-cos 2B=-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin=-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin2 2C,C,所以所以sinsin(A-B)(A-B)+sin+sin(A+B)(A+B)=0,=0,sinsin(A-B)(A-B)+sin+sin(A+B)(A+B)=2sin Acos B=0,=2sin Acos B=0,所以所以cos B=0,cos B=0,所以所以B= ,B= ,故故ABCABC为直角三角形为直角三角形. .2【解题策略解题策略】判定三角形形状的基本思路判定三角形形状的基本思路对已知三角恒等式进行化简变形对已知三角
27、恒等式进行化简变形, ,可以把三角函数关系式最终化成角之间的关可以把三角函数关系式最终化成角之间的关系系, ,利用角之间的关系判定形状利用角之间的关系判定形状, ,在变形时注意合理利用内角和公式及其变形在变形时注意合理利用内角和公式及其变形. .【拓展训练拓展训练】已知已知A+B+C=,A+B+C=,求证求证:sin A+sin B+:sin A+sin B+sin C=4cos cos cos .sin C=4cos cos cos .A2B2C2【证明证明】因为因为A+B+C=,A+B+C=,所以所以C=C=- -（A+BA+B）, = , = ,所以所以C3AB22ABABAB2sin(
28、coscos)222ABAB2sin2coscos222CABABC2sin() 2coscos4coscoscos.2222222ABABsin Asin Bsin C2sincossin(AB)22ABABABAB2sincos2sincos2222 类型三积化和差与和差化积公式在最值方面的应用类型三积化和差与和差化积公式在最值方面的应用( (逻辑推理逻辑推理) )【典例典例】1.(20201.(2020洛阳高一检测洛阳高一检测) )函数函数f(x)=f(x)= 则则f(x)f(x)的最小正周期和最大值分别为的最小正周期和最大值分别为( () )A., A., B., B., C.2, C
29、.2, D.2, D.2, 2.2.在在ABCABC中中, ,若若B=30B=30, ,求求cos Asin Ccos Asin C的取值范围的取值范围. .3(1 cos 2x)3cos(x)cos(x),3622141213232【思路导引思路导引】1.1.利用积化和差公式化简并整理成正弦型函数再求解利用积化和差公式化简并整理成正弦型函数再求解; ;2.2.利用积化和差公式将两个角的两种名称改为两个角的一种名称利用积化和差公式将两个角的两种名称改为两个角的一种名称, ,然后分析求然后分析求解解. .【解析解析】1.1.选选B.f(x)B.f(x)所以最小正周期为所以最小正周期为,最大值为最
30、大值为 . .cos(xx)cos(xx)366323(1 cos 2x)313cos(2x)cos 2x22262131sin 2xcos 2xsin(2x)4423，122.2.由题意得由题意得因为因为B=30B=30, ,所以所以-150-150A-C150A-CC- ,2A+CC- ,故故2A+CC- .2A+CC- .所以所以2A+C+C- =2A+C+C- =A+C= .A+C= .32321232(C)333323(2) (2) =2sin A+2sin C=2sin A+2sin =2sin A+2sin C=2sin A+2sin =2sin A+2=2sin A+2 cos
31、 A-2 cos A-2 sin A sin A=3sin A+ cos A=3sin A+ cos A=2 sin ,=2 sin ,因为因为A ,A ,故当故当A+ = A+ = 时时,2 sin ,2 sin 有最大值有最大值2 ,2 ,所以所以m2 ,m2 ,即实数即实数m m的最小值为的最小值为2 .2 .12BDBDmrr2(A)3321()233(A)6(0,)2623(A)6333备选类型三角恒等式的一个推广备选类型三角恒等式的一个推广( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) )【典例典例】求求sinsin2 22020+cos+cos2 25050+sin 20+sin
32、20cos 50cos 50的值的值. .【思路导引思路导引】本题中涉及到的角是非特殊的角本题中涉及到的角是非特殊的角, ,通常利用积化和差与和差化积通常利用积化和差与和差化积公式进行计算化简公式进行计算化简. .【解析解析】令令a=sina=sin2 22020+cos+cos2 25050+sin 20+sin 20cos 50cos 50, ,b=cosb=cos2 22020+sin+sin2 25050+cos20+cos20sin 50sin 50, ,于是于是a+b=2+sin 70a+b=2+sin 70,a-b=-cos 40,a-b=-cos 40+cos 100+cos
33、100+sin(-30+sin(-30) )=-2sin 70=-2sin 70sin 30sin 30- =-sin 70- =-sin 70- ,- ,两式相加可得两式相加可得a= ,a= ,故故sinsin2 2 20 20+cos+cos2 2 50 50+sin 20+sin 20cos 50cos 50= .= .12123434【解题策略解题策略】三角恒等式的一个推广三角恒等式的一个推广若若x+y=kx+y=k360360+60+60(kZ),(kZ),则则sinsin2 2x+sinx+sin2 2y+sin xsin yy+sin xsin y为定值为定值 ; ;若若x+y=
34、kx+y=k360360+120+120(kZ),(kZ),则则sinsin2 2x+sinx+sin2 2y-sin xsin yy-sin xsin y为定值为定值 . .3434【跟踪训练跟踪训练】cos cos 2 2-cos -cos cos(60cos(60+ +)+sin )+sin 2 2(30(30- -) )的值为的值为( () ) A. A. B. B. C. C. D. D. 12323414【解析解析】选选C.C.原式原式=cos =cos cos cos -cos -cos cos(60cos(60+ +)+)+sin(30sin(30- -) )sin(30sin
35、(30- -) )=1+ cos 2=1+ cos 2- cos (60- cos (60+2+2)- - cos (60)- - cos (60-2-2) )= - cos (60= - cos (60+2+2)+cos (60)+cos (60-2-2)+ cos 2)+ cos 2= - = - 2cos 602cos 60cos 2+ cos 2= .cos 2+ cos 2= .12121412341212341212341.sin 37.51.sin 37.5cos 7.5cos 7.5=(=() ) A. A. B. B. C. C. D. D. 【解析解析】选选C.C.原式原式
36、= sin(37.5= sin(37.5+7.5+7.5)+sin(37.5)+sin(37.5-7.5-7.5)= (sin 45= (sin 45+sin 30+sin 30)= )= 课堂检测课堂检测素养达标素养达标222421422412121212 1.2224（ ）2.2.函数函数f(x)=2sin f(x)=2sin sin sin 的最大值是的最大值是( () )A. A. B. B. C.- C.- D.- D.- 【解析解析】选选A. A. 即即f(x)f(x)的最大值为的最大值为 . .x2x()3212321223 xxf x2sinsin()2321xxxx2 ()c
37、os()cos()coscos(x)223223233111cos(x)12322 ，123.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编)(2020)(2020吴忠高一检测吴忠高一检测) )已知已知,均为锐角均为锐角, ,且且sin sin 2=2sin 2,2=2sin 2,则则( () )A.tan(+)=3tan(-)A.tan(+)=3tan(-)B.tan(B.tan(+ +)=2tan()=2tan(- -) )C.3tan(C.3tan(+ +)=tan()=tan(- -) )D.3tan(D.3tan(+ +)=2tan()=2tan(- -) )【解析解析】选选
38、A.A.因为因为sin 2sin 2=2sin 2=2sin 2, ,所以所以 即即tan(+)=3tan(-).tan(+)=3tan(-).tan()sin()cos()tan()cos()sin()1(sin 2sin 2 )3sin 2231sin 2(sin 2sin 2 )2，4.sin 204.sin 20cos 70cos 70+sin 10+sin 10sin 50sin 50=_.=_. 【解析解析】sin 20sin 20cos 70cos 70+sin 10+sin 10sin 50sin 50答案答案: : 11sin(2070 )sin(2070 )cos1050c
39、os10502211(sin 90sin 50 )(cos 40cos 60 )221111111sin50cos 40sin 50sin 50.4424224 （）（）145.5.如果如果A+B+C=A+B+C=, ,求证求证:cos A+cos B+cos C=1+4 :cos A+cos B+cos C=1+4 【证明证明】因为因为A+B+C=A+B+C=, ,所以所以C=C= 所以所以ABCsinsinsin.222CAB(AB)222，2ABAB cos Acos Bcos C2coscoscos(AB)22ABABABABABAB2coscos(2cos1)2cos(coscos)
40、 1222222ABABABC2cos 2sinsin() 114sinsinsin.222222 课时素养评价课时素养评价三十二积化和差与和差化积公式三十二积化和差与和差化积公式【基础通关基础通关水平一水平一】(15(15分钟分钟3030分分) )1.1.求值求值:sin 20:sin 20+sin 40+sin 40+sin 60+sin 60-sin 80 -sin 80 =(=() ) A. A. B. B. C. C. D.1D.1122232【解析解析】选选C.sin 20C.sin 20+sin 40+sin 40+sin 60+sin 60-sin 80-sin 80=2sin
41、 30=2sin 30cos(-10cos(-10)+sin 60)+sin 60-sin 80-sin 80=2=2 sin 80sin 80+ -sin 80+ -sin 80= .= .123232【补偿训练补偿训练】cos 40cos 40+cos 60+cos 60+cos 80+cos 80+cos 160+cos 160的值为的值为_. .【解析解析】原式原式=cos 40=cos 40+cos 80+cos 80+cos 60+cos 60-cos 20-cos 20=2cos cos +cos60=2cos cos +cos60-cos20-cos20=2cos60=2cos
42、60cos +cos60cos +cos60-cos20-cos20=cos60=cos60= .= .答案答案: : 4080240802( 20 )12122.2.在在ABCABC中中sin C= ,sin C= ,则此三角形的形状是则此三角形的形状是( () ) A.A.等边三角形等边三角形B.B.钝角三角形钝角三角形C.C.直角三角形直角三角形D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形sin Asin Bcos Acos B【解析解析】选选C.C.因为因为C=-(A+B),C=-(A+B),所以所以sin C=sin(A+B)= ,sin C=sin(A+B)= ,所以所以 所以所以2cos
43、2cos2 2 =1, =1,即即cos(A+B)=0,cos(A+B)=0,所以所以A+B= ,A+B= ,所以所以C= .C= .故此三角形为直角三角形故此三角形为直角三角形. .sin Asin Bcos Acos BABAB2sincosABAB222sincosABAB222coscos22，AB2223.3.函数函数y=sin cos xy=sin cos x的最大值为的最大值为( () )A. A. B. B. C.1C.1D. D. (x)6121422【解析解析】选选B.B.因为因为 maxysin(x)cos x61sin(xx)sin(xx)2661111111sin(2
44、x)sin(2x)y.262264244，所以4.4.函数函数y=cos x+cos y=cos x+cos 的最大值是的最大值是_. .【解析解析】所以所以y ymaxmax= .= .答案答案: : (x)3y2cos(x)cos3cos(x)666，335.5.已知已知sin sin +sin +sin = ,cos = ,cos +cos +cos = ,= ,求求tan tan 的值的值. .【解析解析】由由sin sin +sin +sin = ,cos = ,cos +cos +cos = = 得得, ,两式相除得两式相除得1314()131412sincos22412cosco
45、s223，223tan2432tan22424tan().371tan1 ( )24 ，则【能力进阶能力进阶水平二水平二】 (30(30分钟分钟6060分分) )一、单选题一、单选题( (每小题每小题5 5分分, ,共共2020分分) )1.1.若若sin +sin = (cos -cos )sin +sin = (cos -cos )且且(0,),(0,),(0,),(0,),则则-等于等于( () )A.- A.- B.- B.- C. C. D. D. 33233323【解析解析】选选D. D. 因为因为,(0,),(0,),所以所以sin +sin 0.sin +sin 0.所以所以c
46、os -cos 0,cos cos ,cos -cos 0,cos cos ,又在又在(0,)(0,)上上,y=cos x,y=cos x是减函数是减函数. .所以所以,所以所以0-,0-,由原式可知由原式可知2sin 2sin 23cos( 2sinsin)2322tan32232.3，所以，所以 ，所以2.2.在在ABCABC中中, ,若若B=45B=45, ,则则cos Asin Ccos Asin C的取值范围是的取值范围是( () )2222A. 1,1 B.,4422222C. 1, D.,444【解析解析】选选B.B.在在ABCABC中中B=45B=45, ,所以所以因为因为-1
47、 1,-1 1,所以所以 cos Asin C .cos Asin C . 1cos Asin Csin(AC)sin(AC)2121sin Bsin(AC)sin(AC)242，sin(AC)2242+243.3.函数函数f(x)= f(x)= 是是( () )A.A.最小正周期为最小正周期为的奇函数的奇函数B.B.最小正周期为最小正周期为的偶函数的偶函数C.C.最小正周期为最小正周期为22的非奇非偶函数的非奇非偶函数D.D.最小正周期为最小正周期为的非奇非偶函数的非奇非偶函数5sin(x)cos(x)1212【解析解析】选选D.D.所以所以T= =,f(x)T= =,f(x)为非奇非偶函数
48、为非奇非偶函数. . 1f(x)sin(2x)sin232111sin(2x) 1sin(2x)23232 ，22【补偿训练补偿训练】已知函数已知函数f(x)=g(x)cos ,f(x)=g(x)cos ,若函数若函数f(x)f(x)是周期为是周期为的偶函数的偶函数, ,则则g(x)g(x)可以可以是是( () ) A.cos xA.cos xB.sin xB.sin xC.cos C.cos D.sin D.sin (x)4(x)4(x)4【解析解析】选选D.D.当当g(x)=cos xg(x)=cos x时时,f(x)= ,f(x)= 此时此时f(x)f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数,
49、 ,周期为周期为;当当g(x)=sin xg(x)=sin x时时,f(x)= ,f(x)= 此时此时f(x)f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数, ,周期为周期为;此时此时f(x)f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数, ,周期为周期为;此时此时f(x)f(x)是偶函数是偶函数, ,周期为周期为.12cos xcos(x)cos(2x)4244，12sin xcos(x)sin(2x)4244，11g(x)cos(x)f(x)cos(x)cos(x)sin 2x,44422 当时，11g(x)sin(x)f(x)sin(x)cos(x)sin(2x)cos 2x444222当时，4.(2020
50、4.(2020长沙高二检测长沙高二检测) )在在ABCABC中中, sin A+sin Bsin C, sin A+sin Bsin C的最大值为的最大值为 ( () )A. + A. + B.2B.2C. C. D. D. 221235【解析解析】选选B. sin A+sin Bsin C= sin A+B. sin A+sin Bsin C= sin A+当且仅当当且仅当sin B=sin C= ,sin A= sin B=sin C= ,sin A= 时时, ,等号成立等号成立, ,因此因此 sin A+sin A+sin Bsin Csin Bsin C的最大值为的最大值为2.2.22
