1、3.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程形式形式条件条件方程方程点斜式点斜式过点过点( x0,y0),斜率为斜率为k斜截式斜截式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,斜率为斜率为k两点式两点式过过P1（x1, y1),P2（x2, y2)截距式截距式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,在在x轴上的截距为轴上的截距为axxxxyyyy121121 1 byax)(00 xxkyy bkxy 问：问：上述四种直线方程具有怎样的共同特点？上述四种直线方程具有怎样的共同特点？能否写成统一的形式？能否写成统一的形式？ 因此，因此，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,对于任何一条直线对于任何一条直线,都都有
2、一个表示这条直线的关于有一个表示这条直线的关于x、y的二元一次方程的二元一次方程. x=x1 y=kx+b在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角时时，直直线线方方程程可可写写成成当当090 时，直线方程可写成时，直线方程可写成当当090 下面研究直线与二元一次方程的关系：下面研究直线与二元一次方程的关系：即即 kx-y+b=0，与二元一次方程一般式：与二元一次方程一般式：Ax+By+C=0比较，有比较，有 A=k，B = 1，C=b .比较，有比较，有 A=1，B = 0，C= x1 .即即 x-x1= 0 ，反过来，任何关于反过来，任何关于 x、y
3、的二元一次方程的二元一次方程 Ax+By+C=0都能表示一条直线吗都能表示一条直线吗？下面证明：下面证明：在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,任何关于任何关于 x、y 的二元一次方程的二元一次方程 A x+B y +C=0 都表示一条直线都表示一条直线.二元一次方程是二元一次方程是 A x+B y +C=0. （1）当）当B 0时，时，方程可化为方程可化为BCxBAy 的直线。的直线。轴上截距为轴上截距为、在、在它表示斜率为它表示斜率为BCyBA （2）当）当B= 0时，时，由于由于A、B不同时为不同时为0， 必有必有A 0 方程可化为方程可化为,ACx 轴平行或重合的直线。轴平行或重合的直
4、线。它表示一条与它表示一条与y证明：证明：因此，因此，在平面直角坐标系中，任何关于在平面直角坐标系中，任何关于x、y的的二元一次方程二元一次方程 A x+B y +C=0 都表示一条直线都表示一条直线。（其中（其中A、B不同时为不同时为0） 我们把关于我们把关于x、y二元一次方程：二元一次方程：Ax+By +C=0 （其中（其中A、B不同时为不同时为0即：即： ）叫做直线方程的叫做直线方程的一般式一般式. 综上可知：在平面直角坐标系中，任何关于综上可知：在平面直角坐标系中，任何关于x、y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By +C=0都表示一条直线都表示一条直线. 探究：探究：在方程在方程Ax
5、+By +C=0中，中，A,B,C为何值时，为何值时，方程表示的直线方程表示的直线平行于平行于x轴；轴；平行于平行于y轴；轴；与与x轴重合；轴重合；与与y轴重合轴重合.022 BACyB A0且且B 0且且C 0CxA A0且且B0且且C 00CyB A0且且B 0且且C00CxA A0且且B0且且C00AxBy C0 且且 A, B不同时为不同时为00AxByC A 0且且B 0 我们把关于我们把关于x、y二元一次方程：二元一次方程：Ax+By +C=0 （其中（其中A、B不同时为不同时为0即：即： ）叫做直线方程的叫做直线方程的一般式一般式. 综上可知：在平面直角坐标系中，任何关于综上可知
6、：在平面直角坐标系中，任何关于x、y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By +C=0都表示一条直线都表示一条直线. 探究：探究：在方程在方程Ax+By +C=0中，中，A,B,C为何值时，为何值时，方程表示的直线方程表示的直线平行于平行于x轴；轴；平行于平行于y轴；轴；与与x轴重合；轴重合；与与y轴重合轴重合.A0且且B 0且且C 0A0且且B0且且C 0A0且且B 0且且C0A0且且B0且且C0022 BA形形 式式条条 件件方方 程程过点过点( x0,y0),斜率为斜率为k在在y轴上的截距为轴上的截距为b,斜率为斜率为k过过P1（x1, y1),P2（x2, y2)在在y轴上的截距为轴上的
7、截距为b,在在x轴上的截距为轴上的截距为aA、B 不同时为不同时为 0 xxxxyyyy121121 1 byax)(00 xxkyy bkxy 0 CByAx知识回顾：知识回顾：形形 式式条条 件件方方 程程过点过点( x0,y0),斜率为斜率为k在在y轴上的截距为轴上的截距为b,斜率为斜率为k过过P1（x1, y1),P2（x2, y2)在在y轴上的截距为轴上的截距为b,在在x轴上的截距为轴上的截距为aA、B 不同时为不同时为 0 点斜式点斜式斜截式斜截式两点式两点式截距式截距式一般式一般式例例1.证明：证明：解：解：例例2.解：解：解解2： 由已知得，由已知得，又由条件又由条件C(2,
8、1)2x+y3=0例例3.解：解：例例4.解：解：例例5.解：解： （1）直线直线l1: x=2，l2: y=1，此时此时 l1l2 .当当m0时，时，11,km 122bm；2,km 21.bm 由由121()1,k kmm 当当m=0时，时，知不存在非知不存在非0的实数的实数m使得使得 l1l2 .由由1212kkbb 即即1221mmmm 得得1m 综上：综上： m=0时，时，l1l2 ； m=1时，时，l1l2 .解：解： （2）练习练习1把直线方程把直线方程化为斜截式化为斜截式_，化为截距式，化为截距式_ 00 ABCcByAx解：解：，0 ABC，即即000 CBA 斜截式为斜截式
9、为 BCxBAy 1 BCyACx截距式为截距式为 .41的方程的方程之和最小时，求此直线之和最小时，求此直线线在两坐标轴上的截距线在两坐标轴上的截距半轴相交，当直半轴相交，当直）作直线与两坐标轴正）作直线与两坐标轴正，（过点过点P练练2.解：解：)1(4 xky：由已知可设直线方程为由已知可设直线方程为,0 x令令;4 kb则纵截距则纵截距,0 y令令.14 ka则横截距则横截距)4()14( kkba54 kk,0 k又又. 0 k54 kkba542 9 当且仅当当且仅当kk 4即即,2 k)1(24 xy故所求直线方程为：故所求直线方程为：即即. 062 yxxyO.P.41的方程的方
10、程之和最小时，求此直线之和最小时，求此直线线在两坐标轴上的截距线在两坐标轴上的截距半轴相交，当直半轴相交，当直）作直线与两坐标轴正）作直线与两坐标轴正，（过点过点P解解2：),0, 0( 1 babyax设直线方程为设直线方程为),4 , 1(P直线过点直线过点141 ba baabba 45abba 4259 abba 4当当，达到最小值达到最小值时，时，即即96, 3baba , 163 yx此时直线的方程为此时直线的方程为. 062 yx即即)41)(baba ，且且)0, 0( 141 baba练练2.xyO.P变式变式.可设直线可设直线 l 方程为：方程为：)1(2 xky令令，0
11、y得得kx21 即即)021(，kA 令令，0 x得得ky 2即即)20(kB ，正方向正方向即即.0 k解：解：|21OBOASAOB )2)(21(21kk )4(212kk ，0 k，0 k )4(212kkSAOB kk 4)(2212.4 当且仅当当且仅当，kk 4即即2 k时，时，.4)(min AOBS 故所求直线故所求直线 l 方程为：方程为：)1(22 xy即即.042 yx变式变式.解解2：),0, 0( 1 babyax设直线方程为设直线方程为则则由直线通过点（由直线通过点（1, 2），得），得 121 ba2 bbabaSAOB 21 bbb 221)2(22 bb)2
12、( b)44(21 此时，此时，a = 2 ，142 yxl方程为方程为直线直线4 .042 yx即即解：解： 由已知可设直线由已知可设直线 l 方程为：方程为：)1(2 xky)0( k令令，0 y得得kx21 即即)021(，kA 令令，0 x得得ky 2即即)20(kB ，.|21程程最小时，求此直线的方最小时，求此直线的方交，当交，当半轴相半轴相）作直线与两坐标轴正）作直线与两坐标轴正，（过点过点PBPAP ，又又)21(P，11244|22 kkPA，1|2 kPB1112|22 kkPBPA22122kk 222 4 ，221kk 当且仅当当且仅当即即1 k时，时，取最小值取最小值
13、 4|PBPA 此时所求直线方程为：此时所求直线方程为：，)1(2 xy即即.03 yx练习练习.教材教材99页练习：页练习：.4523)4(323324228211. 121），（）、）、，（经过两点经过两点；，轴上的截距分别是轴上的截距分别是轴和轴和）在）在（轴；轴；），平行于），平行于，（）经过点）经过点（）；）；，（，经过点，经过点）斜率是）斜率是（：的方程，并化成一般式的方程，并化成一般式根据下列条件写出直线根据下列条件写出直线 PPyxxBA(3) 经过两点经过两点P1(3, 2)、P2 (5, 4);(4)在在x轴和轴和y轴上的截距分别是轴上的截距分别是. 323 ，.4523)
14、4(323324228211. 121），（）、）、，（经过两点经过两点；，轴上的截距分别是轴上的截距分别是轴和轴和）在）在（轴；轴；），平行于），平行于，（）经过点）经过点（）；）；，（，经过点，经过点）斜率是）斜率是（：的方程，并化成一般式的方程，并化成一般式根据下列条件写出直线根据下列条件写出直线 PPyxxBA2)2( y由由. 02 y得得一一般般式式：, 01 yx化为一般式：化为一般式：. 032 yx化化为为一一般般式式：1323)3( yx截距式：截距式：(4)2322)4( xy两点式：两点式：(3)(3) 经过两点经过两点P1(3, 2)、P2 (5, 4);(4)在在x
15、轴和轴和y轴上的截距分别是轴上的截距分别是. 323 ，解：解：)8(212)1( xy点斜式：点斜式：. 042 yx化为一般式：化为一般式：2. 求下列直线的斜率和在求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形：轴上的截距，并画出图形：;053)1( yx;154)2( yx;02)3( yx;0467)4( yx解：解：53)1( xy.5,3 bk545)2( xy.5,45 bkxyOxyO(1)(2)xy21)3( .0,21 bk3267)4( xy.32,67 bk2. 求下列直线的斜率和在求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形：轴上的截距，并画出图形：;053)1( yx;154)2( yx;02)3( yx;0467)4( yx解：解：xyOxyO(3)(4)3. 已知直线已知直线l方程方程 Ax+By+C=0.（1）当）当B0时，斜率是多少？当时，斜率是多少？当B=0时呢？时呢？（2）系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？）系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？解：解：，BCxBAy （1）当）当B0时，时，直线方程为直线方程为 斜率斜率.BAk 当当B0时，时， 直线方程为直线方程为,ACx 斜率不存在斜率不存在.（2）当）当C0时，时， 方程方程 Ax+By0 表示通过原点的直线表示通过原点的直线.
