1、2022-4-21人教版高中数学必修五人教版高中数学必修五第三章第四节基本不等第三章第四节基本不等式教学课件式教学课件走进上海科技馆走进上海科技馆222()2abaabb数与形的结合吴国数学家赵爽吴国数学家赵爽2002年国际数学年国际数学家大会会标（北京）家大会会标（北京）ABCDEFGH22ba ab数与形的结合数与形的结合问题1.上式能否取到等号？什么时候取等号？222abab数与形的结合数与形的结合问题1.上式能否取到等号？什么时候取等号？ABCDEFGHA AB BC CE(FGH)E(FGH)a ab bABCDEFGH22ba ab222abab2ab问题 、上式中 、 的范围是什
2、么？数与形的结合数与形的结合222,abab aR bRab重要不等式：（） 当且仅当时等号成立ABCDEFGH22ba ab222abab3,ababab问题 、如果用去替换上式结论中的 、 ，则 、需要满足什么条件？结论是什么？20,0abab ab（）20,0abab ab通常我么把（）写成知识的形成知识的形成数数问题问题4：你能分别从你能分别从“数数”和和“形形”两个角度推导两个角度推导 上式吗上式吗？(0,0).2ababab如图如图, AB, AB是圆的直径是圆的直径, O, O为圆心，点为圆心，点C C是是ABAB上一点上一点, AC=, AC=a a, BC=, BC=b b.
3、 . 过点过点C C作作垂直于垂直于ABAB的弦的弦DE,DE,连接连接ADAD、BDBD、OD.OD.你你能利用此图形推导出基本不等式吗？能利用此图形推导出基本不等式吗？2abab几何意义几何意义：半径半径不小于不小于弦长的一半弦长的一半A AD DB BE EO OC Ca ab b知识的形成知识的形成形形( ,0)2ababa bab当且仅当时等号成立基本不等式基本不等式几何几何平均数平均数算术算术平均数平均数两个正数的两个正数的几何几何平均数平均数不不大于大于它们的它们的算术算术平均数平均数问题问题5 5、观察基本不等式的结构特征，它、观察基本不等式的结构特征，它可以可以解决哪些式子的
4、最值问题？解决哪些式子的最值问题？积定和最小，和定积最大积定和最小，和定积最大( ,0)2ababa bab当且仅当时等号成立深化提升深化提升问题问题6、在求最值的过程中需要满足什么条件？在求最值的过程中需要满足什么条件？一正，二定，三相等一正，二定，三相等ab2 abab 2()2ab原创命题原创命题133340,=sinsinxyxxxyxx 1 1、已已知知求求函函数数的的最最大大值值 2 2、若若，求求函函数数的的最最小小值值我也来编题我也来编题等号不成立！等号不成立！不正不正各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定
5、定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意002,abababab ( (当当且且仅仅当当时时取取若若则则 = = ) )深化提升深化提升 例：如例：如图图, ,用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m100m2 2的矩形菜园的矩形菜园, ,问这问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？是多少？解：如图设解：如图设BC=x ，CD=y ， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m. m. 2xyxy2 10020,xy 2()40 xy当且仅当当且仅当 时，等号成立
6、时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆最时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是短，最短的篱笆是40m. 40m. xy此时此时x=y=10. x=yA AB BD DC C学以致用学以致用积定和最小积定和最小解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m22xyxy得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m8
7、1m2 21892即即x=y=9xyA AB BD DC C 变式：变式：如如图，用一段长为图，用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？最大面积是多少？学以致用学以致用和定积最大和定积最大20022,aba bRabababababab 则则 ( (当当且且仅仅当当时时取取 = = ) )( (当当且且仅仅当当时时取取则则 = = ) )积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大深化提升深化提升两个重要的不等式两个重要的不等式两种最值的研究两种最值的研究三个条件的满足三个条件的满足积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大一正、二定、三相等一正、二定、三相等002,abababab ( (当当且且仅仅当当时时取取若若则则 = = ) )归纳小结归纳小结22a,bR,ab2ab(ab)若则当且仅当时取“ ”号；一种直观的数学思想一种直观的数学思想数形结合思想数形结合思想作作 业业B B层：层：1 1、习题、习题3.4A3.4A组组1-41-4，B B组组1-21-2 2 2、基本不等式练习题、基本不等式练习题A A层：层：习题习题3.4A3.4A组组1-41-4，B B组组1-21-2
