1、第一章整式的乘除第一章整式的乘除1.6 完全完全平方公式平方公式学习目标学习目标1.掌握完全平方公式，能利用完全平方公式进行运算；掌握完全平方公式，能利用完全平方公式进行运算；2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景理解公式的推导过程，了解公式的几何背景你能列出下列代数式吗？你能列出下列代数式吗？（1）两数和的平方；）两数和的平方；（2）两数差的平方；）两数差的平方；你能计算出他们的结果吗？你能计算出他们的结果吗？（3）根据乘方的定义，我们知道：）根据乘方的定义，我们知道： ，那么，那么 应该写应该写成什么样的形式呢？成什么样的形式呢？ 的运算结果有什么规律？的运算结果有什么规律？2ab （
2、）2ab （）2222abababaabb（） （）（）2222abababaabb（） （）（）2aa a 2ab （）2ab （）复习巩固复习巩固（1）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？2111_ppp（） （）（）22_m（）2111_ppp（） （）（）22_m（） 221pp244mm221pp244mm结果中都有两个数的平方和，而中间项结果中都有两个数的平方和，而中间项2p2p1，4m2m2，恰好是两个数乘积的恰好是两个数乘积的2倍；倍；与，与与，与中间项符号相反中间项符号相反探究新知探究新知（2）推广计算：）推广计算：得到结果：得到结果
3、：2_ab（）2_ab（）222222abababaababbaabb（） （）（）222222abababaababbaabb（） （）（）；2222abaabb（）2222abaabb（）即：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加即：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的上（或减去）它们的积的2倍倍探究新知探究新知（3）进一步挖掘公式的结构特征）进一步挖掘公式的结构特征公式左边是一个二项式的完全平方公式左边是一个二项式的完全平方公式的右边是一个二次三项式，分别是二项式中每一项的平方及公式的右边是一个二次三项式，分别是二项式中每一项的平方及两项乘积的两项
4、乘积的2倍（首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前倍（首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前方）方）（1） （2）222(6)( )2 6( )xx222(2)( 2 )( )mnmnx62 2m n探究新知探究新知几何解析：你能根据图几何解析：你能根据图1和图和图2的面积说明完全平方公式吗？的面积说明完全平方公式吗？探究新知探究新知图图1大正方形的边长为大正方形的边长为(ab)，面积就是，面积就是 ，同时，大正方形，同时，大正方形可以分成图中可以分成图中四个部分，它们的面积分别为四个部分，它们的面积分别为 ，ab，ab， ，因此，整个面积为因此，整个面积为 ，即说，即说明明
5、类似地可由图类似地可由图2说明说明 2ab （）2a2b22222aababbaabb 2222abaabb （）2222abaabb （）探究新知探究新知例例1用完全平方公式计算：用完全平方公式计算：(1) (2x3)2 ； (2) (4x5y)2 ； (3) (mna)2 分析：找准与公式中分析：找准与公式中a，b对应因式，代入公式计算对应因式，代入公式计算解：解：（1）(2x3)2 = (2x)2-2(2x)(3)+ (-3)2 =4x2-12x+9（2）(4x5y)2 =(4x)2-2(4x)(5y)+ (5y)2 =16x2-40 xy+25y2（3）(mna)2 =(mn)2-2m
6、na+a2 =m2n2-2mna+a2 典型例题典型例题例例2运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算：（1） ； （2） 分析：使用完全平方公式与平方差公式的使用一样，先把要计算分析：使用完全平方公式与平方差公式的使用一样，先把要计算的式子与完全平方公式对照，明确哪个是的式子与完全平方公式对照，明确哪个是a，哪个是，哪个是b（1）中可把）中可把4m看成看成a，n看成看成b；（2）中可把）中可把y看成看成a， 看成看成b24mn （）212y （）典型例题典型例题解：（解：（1）222224424168mnmmnnmmnn （）（）（）2222121122214yyyyy （）（ ）（2）
7、典型例题典型例题典型例题典型例题例例3.如果如果36x2(m1)xy25y2是一个完全平方式，求是一个完全平方式，求m的值的值分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定定m的值的值解：解：36x2(m1)xy25y2(6x)2(m1)xy(5y)2，(m1)xy26x5y，m160，m59或或61典型例题典型例题例例4.（1）下列等式能成立的是）下列等式能成立的是( )A(a-b)2a2-ab+b2 B(a+3b)2a2+9b2C(a+b)2a2+2ab+b2 D(x+9)(x-9)x2-9（2）(a+3b)2-(3a+b
8、)2计算的结果是计算的结果是( )A8(a-b)2 B8(a+b)2C8b2-8a2 D8a2-8b2CC典型例题典型例题（3）在括号内选入适当的代数式使等式）在括号内选入适当的代数式使等式 ( ) 成立成立A B C D （4）(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是运算的结果是( )A-25x4-16y4 B-25x4+40 x2y2-16y2C25x4-16y4 D25x4-40 x2y2+16y2 152xy2212554xxyy152xy152xy152xy152xyAB随堂练习随堂练习1.（1）计算）计算 ，其结果为（，其结果为（A B C. D （2）如果）如果 是是完
9、全平方公式，完全平方公式，则则a的的值为（值为（ ）A1B C D0ab4 ab222a22b11 A）C22)()(baba122 axx随堂练习随堂练习（3） 等于（等于（）A B C D （4） 等于（等于（）A B C D 12242 abba22) 1(ab22) 1(ab222) 1(ba22) 1(baA2)(yx2)(yx2)(yx2)(yxD222yxxy随堂练习随堂练习2.（1）(3x+2y)2-(3x-2y)2 ； （2）(3a2-2a+1)(3a2+2a+1) ；（3）( )-24a2c2+( )( -4c2)2 24xy9a4+2a2+19a416c43a2随堂练习随
10、堂练习3.利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：(1)(5a)2； (2)(3m4n)2； (3)(3ab)2解：解：(1)(5a)22510aa2；(2)(3m4n)29m224mn16n2；(3)(3ab)29a26abb24下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(ab)n(n为正整数为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出填出(ab)6展开式中所缺的系数展开式中所缺的系数(ab)1ab，(ab)2a22abb2，(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)6a
11、66a5b15a4b2_a3b315a2b46ab5b61111211331随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习解析：由解析：由(ab)1ab，(ab)2a22abb2，(ab)3a33a2b3ab2b3，可得，可得(ab)n的各项展开式的系数除首尾两项都是的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，外，其余各项系数都等于其余各项系数都等于(ab)n1的相邻两个系数的和，由此可得的相邻两个系数的和，由此可得(ab)4的各项系数依次为的各项系数依次为1、4、6、4、1；(ab)5的各项系数依次为的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，因此，因此(ab)6的各项系数分别为的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1故填故填20完全平方公式完全平方公式即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的它们的积的2倍倍2222abaabb（）2222abaabb（）课堂小结课堂小结再再 见见
