1、5 从力做的功到向量的数量积1.1.通过物理中通过物理中“功功”等实例，理解平面向量数量等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义积的含义及其物理意义、几何意义. .（重点）（重点）2.2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系体会平面向量的数量积与向量射影的关系. .3.3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用一些简单应用. .（重点）（重点）4.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系判断两个平面向量的垂直关系. .（难点）（难点）ab两个非零向量
2、两个非零向量 和和 ，作，作 ， ，则，则 （ ）叫作向量）叫作向量 与与 的夹角的夹角aabbOAa OBb AOB0180OABab思考思考1 1 如何定义向量的夹角？如何定义向量的夹角？计算向量的夹角时要计算向量的夹角时要将两个向量起点放在将两个向量起点放在一起一起. .探究点探究点1 1 向量的数量积向量的数量积OAB若若 ， 与与 同向同向bbaa0 OAB若若 ， 与与 反向反向bbaa180OABba若若 ， 与与 垂直垂直，记作记作b90aab由于零向量的方向是由于零向量的方向是任意的，为方便起见，任意的，为方便起见，规定规定: :零向量可与任一零向量可与任一向量垂直向量垂直.
3、 . ，过点，过点B B 作作BBBB1 1垂直于直线垂直于直线OAOA，垂足为垂足为B B1 1，则，则OA, aOB b1OBcos , b| | cos 叫作向量叫作向量 在在 方向上的方向上的射影射影( (也叫也叫投影投影) )abb当当为锐角时，为锐角时，| | cos_0b 思考思考2 2 什么是向量的射影？什么是向量的射影？OAB ab B1OBA当当=0=0时，时， | | |cos|cos=_=_a b b | |b 当当为钝角时，为钝角时，| | | | coscos_0.0.b 当当为直角时，为直角时，| | |cos|cos_0 0b = =BOA1Bb a 1BOAB
4、)(1Bb a1()BOBAab当当=180=180时，时， | | | cos| cos=_=_bB1- -| |b思考思考3 3 平面向量的数量积的定义如何？平面向量的数量积的定义如何？ 已知两个向量已知两个向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把，我们把| | |cos| | |cos叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或内积）（或内积）. .记作记作 =| | | cos =| | | cos注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量一个数量. .特别地特别地: :零向量与任一向量零向量与任一向量 的数量积为的数量积为0.0.abbababababa 例例1 1 已知已知|
5、 |=3| |=3，| |=4| |=4，且，且 与与 的夹角的夹角=150=150，求，求 . .ababab解：解： =| | |cos =| | |cos=3=34 4cos150cos150 =3 =34 4（- - ）= =6 6abab323. .思考思考4 4 数量积的几何意义是什么？数量积的几何意义是什么？coscos与与 的的数数量量积积等等于于 的的长长度度与与 在在 方方向向上上射射影影的的乘乘积积，或或 的的长长度度与与 在在 方方向向上上射射影影的的乘乘积积. .abaababbbaba|cosbabBAOcosa bab abbacosa bba 特别提醒：特别提醒
6、：1.1.2.2.若若 是单位向量是单位向量, ,则则2a aa 1212coscose eee 12,e e 单 位 向 量单 位 向 量是 一 种 特是 一 种 特殊 的 向 量殊 的 向 量哟！哟！重要性质：重要性质：1.1.若若 是单位向量，则：是单位向量，则：2.2.3.3.4.4.5.5.当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立. . ecos .e aa ea 0.aba b .aa a cos(0).a ba ba b .a ba b ab, ,设向量和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律：a b c (1);a bb a (2)()()();aba bab (3)().a bc
7、a ba c 反之成立吗？反之成立吗？a cb cab 若，有吗？解答：解答：不成立不成立. .解答：解答：成立成立. .思考：思考：探究点探究点2 2 向量的数量积的运算律向量的数量积的运算律练习：练习：判断下列说法的正误判断下列说法的正误3 3若若 ， = =0，则则 = = abab0.02 2若若 ，则对任一非零向量则对任一非零向量 ,有有 0abab01 1若若 = = ，则对任一向量则对任一向量 ，有有 = = 0 abab04 4若若 = =0，则则 , , 中至少有一个为中至少有一个为 0abab5 5若若 ， = = ，则则 = 0cabab. ca6 6若若 = = , ,
8、且且 , ,当且仅当当且仅当 = = 时成立时成立ccababa07 7对任意向量对任意向量 有有a2. aa a例例2 2 在在ABCABC中，设边中，设边BCBC，CACA，ABAB的长度分别为的长度分别为a，b，c，证明：，证明：a=b+c2 bccosAa=b+c2 bccosA，b=c+a2cacosBb=c+a2cacosB，c=a+b2abcosC.c=a+b2abcosC.AacbCB证明：证明：设设 则则AB,BC,AC, cab222BCBC BC aa(AC-AB) (AC-AB) () ()bcbc2 b bc cb c222cosbcb cA 同理可证其他两式，我们把
9、这个结果称为余弦定理同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理. .=b+c2 bccosA.=b+c2 bccosA.向量法证明几何问题的步骤：向量法证明几何问题的步骤：1.1.将三角形的边用有向线段表示将三角形的边用有向线段表示. .2.2.根据向量的运算及向量的几何意义，根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系写出向量之间的关系. .3.3.通过平方和向量的数量积整理出所通过平方和向量的数量积整理出所要的结果要的结果. .例例3 3 证明菱形的两条对角线互相垂直证明菱形的两条对角线互相垂直. .AC = AD+AB,BD = AD-AB AC BD = (AD+AB) (AD
10、-AB) 22(AD) -(AB) 22= AD - AB 证明：证明：菱形菱形ABCDABCD中，中，AB=ADAB=AD，由于，由于可得可得ACBD. =0=0，所以所以，即菱形的两条对角线互相垂直即菱形的两条对角线互相垂直. .ABCDO证明线段垂直的方法：证明线段垂直的方法：1.1.取两个不共线的向量作基底取两个不共线的向量作基底. .2.2.将要证明的向量用这两个向量表示将要证明的向量用这两个向量表示. .3.3.利用利用 进行证明进行证明. .0aba b 【提升总结提升总结】例例4 4 已知单位向量已知单位向量 , , 的夹角为的夹角为6060，求向量，求向量 , , 的夹角的夹
11、角. .12aee 212bee 1e2e 解：解：由单位向量由单位向量 , , 的夹角为的夹角为6060，得，得1e2e 121cos60,2e e 所以所以 3.ab 1112222e ee eee 1321.22 1221() (2 )a beeee 所以所以 又又222212112223,aeeee ee 22222111222443,beeee ee 设设 与与 的夹角为的夹角为 ， 由可得由可得ab312cos.233a ba b 又又 所以所以 . . 即向量即向量 与与 的夹角为的夹角为 . .0,23ab23技巧点拨：技巧点拨： 1.1.以以 ， 为基底为基底, ,计算计算
12、的值的值. .2.2.利用向量的夹角公式计算利用向量的夹角公式计算. . 1e2 e12 e e1.1.判断下列说法的正误判断下列说法的正误: :（1 1）平面向量的数量积可以比较大小）平面向量的数量积可以比较大小. (. ( ) )（2 2） ( ( ) )（3 3）已知）已知 为非零向量为非零向量, ,因为因为0 0 = = ， = 0, = 0, 所以所以 = ( = ( ) ) (4) ( (4) ( ) ). a b c a b c 0,. 若则 与 的夹角为钝角a babba0aba0.2.2.ABCABC中，中， 则该三角形为则该三角形为( )( )A.A.锐角三角形锐角三角形
13、B.B.直角三角形直角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.不能确定不能确定【解析解析】由由 知知ABCABC为锐角；为锐角；由由 知知,ACB,ACB为钝角为钝角. .AB BC0 BC AC0 ，AB BC0 BC AC0 C C3.3.在在ABCABC中，中，M M是线段是线段BCBC的中点，的中点，AM=3AM=3，BC=10BC=10，则则AB AC= _.-16 -16 -2-24.4.若若|a|=1,|b|=2|a|=1,|b|=2，且，且a a，b b反向，则反向，则ab=_.ab=_. 120 | 4,| 2,|;|34 |.abababab5.已知 与 的夹角为， 求：解：解：222221|()242 4 2 ()222 3. ababaa bb222|34 |(34 )(3 )2(3 ) (4 )(4 )19 1624 4 2 () 16 44 19.2 ababaabb本节课主要学习了：本节课主要学习了：1.1.向量的夹角向量的夹角. .2.2.向量的射影向量的射影. .3.3.向量的数量积向量的数量积. .4.4.向量的数量积的几何意义和物理意义向量的数量积的几何意义和物理意义. .5.5.向量的数量积的性质和运算律向量的数量积的性质和运算律. .
