1、第二节第二节 偏导数偏导数前页后页返回机动返回前页后页返回机动一、全微分定义复习),(),( ),(),(yxfyyxxfzyxyxfz 处的全增量处的全增量在点在点如果如果),(yx),(yyxx ）无关，无关，与与可表示为可表示为 ,()( 22yxyxBAyBxAz . ),( ).(),(yBxAdzdzyxyBxAyxyxfz 即即处的全微分，记作处的全微分，记作为其在点为其在点可微，称可微，称在点在点则称则称前页后页返回机动二、可微与连续的关系二、可微与连续的关系连续连续在在可微可微在点在点),(),( ),(),(yxyxfzyxyxfz 定理：定理：即可即可只要证只要证证：证：
2、 ),(),(lim yxfyyxxfyx 00)(),(),( )(),(oyBxAyxfyyxxfoyBxAzyxfz 则则有有可可微微成立成立 ),(),(limyxfyyxxfyx 00# ),(),(处连续。处连续。在点在点故函数故函数yxyxfz 成立？定理的逆命题是否仍然问题 前页后页返回机动?dz ),( 1 若若可可微微是是否否可可微微？问问函函数数例例22yxyxfz 22222222)()( )()()( yxyyxxyxyyxxz 由由可可微微定定义义解解：？）（ yyxxyx0220lim)()(lim 考查考查均为有界均为有界， 11 yx0 前页后页返回机动点可微
3、。点可微。在在故故，),( ),( )()()( yxyxfzyx 22yfxfyx 0lim)()(lim 由由于于 yyxxyx0220yyxxdz 22 且且前页后页返回机动. ),(),( y)(x,y)(x,),( ),( ),( 1 dyyxfdxyxfdzffyxyxyxfzyxyx 且且均存在，均存在，及及点处点处则在则在可微，可微，在点在点若若定理定理三、可微的条件三、可微的条件（必必要要条条件件）可可微微，在在点点据据题题意意证证：),(),( yxyxfz )( ),(),( ),(),(有有，内内任任意意点点则则对对邻邻域域yBxAyxfyyxxfzyyxxPPU 前页
4、后页返回机动xyxfyxxf ),(),(lim 0 x则则存在，存在， ),( Ayxfx 可偏导可微注： ),( yxfz ？)(),(),( )( xxAyxfyxxfzxxyx 有有，取取上式中上式中20 AxxAx 0lim# ),(),( . ),( 定理得证定理得证从而从而同理可证同理可证dyyxfdxyxfdzByxfyxy 前页后页返回机动点点可可偏偏导导，但但不不可可微微。在在，证证明明例例),( 0 ),( 2 0000222222 yxyxyxxyyxf 证证：xfxffxx ),(),(lim),( 0000000000 xxlim点点可可偏偏导导；在在 ),( ),
5、( ),(),(lim),( 000000000yxfyfyffyy 前页后页返回机动 220000yxyxyfxfzyx ),(),( 考查考查 ？ 220yxyx lim 由由于于 不不存存在在！ lim2200yxyxyx # ),( ),( 不不可可微微。在在点点00yxf前页后页返回机动 点可微。点可微。在在且连续，则且连续，则存在存在点点在在若若定理定理yxyxfzyxfyxfyxyxfzyx,),(),(),(),(),( 2 （充充分分条条件件）证明参见教材）证明参见教材）(dzzudyyudxxuduzyxfu ),( 可微，则可微，则若三元函数若三元函数注：注：前页后页返回
6、机动；，求，求设设例例 arctan 1 ),(0021zdyxz . sin 2 dueyxuyz，求，求设设例例 2前页后页返回机动四、内容小结四、内容小结1. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx)( o前页后页返回机动2.连续、可导和可微的关系可微可导连续一元函数： 偏导数连续可微可偏导连续二元函数： 返回前页后页返回机动 x A dy dy x f(x)y x A x f(x)y , xA xoxAxfxxfy I x x x I f(x)y 000000 即即记作记作点的微分。点的微分。在在是是此时，称此时，称点可微；点可微；在在则称则称无关的常量无关的常量为与为与若若，内有定义，内有定义，在区间在区间设设定义定义. )(xfA xf(x)y xf(x)y : 000 且且点可导，点可导，在在点可微点可微在在定理定理
