1、三角形的分类三角形的分类第第1616讲三角形及全等三角形讲三角形及全等三角形1.1.按角分类按角分类三角形三角形2.2.按边分类按边分类 锐角三角形钝角三角形 三边都不相等的三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形直角三角形直角三角形等腰三角形等腰三角形三角形的性质三角形的性质1.1.三角形的三边关系三角形的三边关系三角形任意两边的和三角形任意两边的和 , ,两边的差两边的差 .2.2.三角形的三条重要线段三角形的三条重要线段三角形的三条中线相交于一点三角形的三条中线相交于一点, ,这一点就是三角形的这一点就是三角形的 , ,其将中线分为其将中线分为1212两部分两部分; ;三条三条
2、的交点叫做三角形的内心的交点叫做三角形的内心, ,其到三角形三边的其到三角形三边的 ; ;三边的垂直平分线也交于一点三边的垂直平分线也交于一点, ,此点此点到到 的距离相等的距离相等, ,叫外心叫外心.3.3.角平分线的性质角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离角的平分线上的点到角的两边的距离 ; ;角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 上上.4.4.三角形的中位线三角形的中位线( (常考点常考点) )连接三角形两边的连接三角形两边的 的线段叫做三角形的中位线的线段叫做三角形的中位线. .三角形的中位线三角形的中位线 第三边第三边, ,并且等于并
3、且等于第三边的第三边的 .5.5.三角形内角和定理及推论三角形内角和定理及推论( (常考点常考点) )三角形的内角和为三角形的内角和为 ; ;三角形的一个外角三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和与它不相邻的两个内角的和.大于第三边大于第三边小于第三边小于第三边重心重心角平分线角平分线距离相等距离相等三个顶点三个顶点相等相等平分线平分线中点中点平行平行一半一半180180等于等于 全等三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定( (常考点常考点) )1.1.性质性质全等三角形的对应边、对应角全等三角形的对应边、对应角 ; ;对应周长对应周长 , ,对应面积对应面积 .2.2.判定判定相等相等
4、相等相等相等相等SSSSSSAASAASHL HL 三角形的重要线段三角形的重要线段【例例1 1】 如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=5,AC=3,AD,AE,AB=5,AC=3,AD,AE分别为分别为ABCABC的中线和角平分线的中线和角平分线, ,过点过点C C作作CHAECHAE于点于点H,H,并延长交并延长交ABAB于点于点F,F,连接连接DH,DH,则线段则线段DHDH的长为的长为 .1 1思路点拨思路点拨: :首先证明首先证明AF=AC,AF=AC,再证再证DHDH是是BCFBCF的中位线的中位线, ,利用三角形的中位线定理求解利用三角形的中位线定理求解. .中点的三种用法
5、中点的三种用法(1)(1)已知直角三角形斜边中点时应用斜边上的中线等于斜边的一半已知直角三角形斜边中点时应用斜边上的中线等于斜边的一半; ;(2)(2)已知中有多个中点时应用中位线的性质已知中有多个中点时应用中位线的性质; ;(3)(3)由中点得线段相等可证三角形全等由中点得线段相等可证三角形全等. .三角形的三边关系三角形的三边关系【例例2 2】(2018(2018白银白银) )已知已知a,b,ca,b,c是是ABCABC的三边长的三边长, ,a,ba,b满足满足|a-7|+(b-1)2=0,c|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数为奇数, ,则则c=c= .思路点拨思路点拨: :先根据非负
6、数的性质求出先根据非负数的性质求出a a与与b b的值的值, ,再根据三角形的三边关系求出再根据三角形的三边关系求出c c的取值的取值范围范围, ,最后根据最后根据c c为奇数得解为奇数得解. .7 7解析解析:a,ba,b满足满足|a-7|+(b-1)2=0,|a-7|+(b-1)2=0,a-7=0,b-1=0,a-7=0,b-1=0,解得解得a=7,b=1,a=7,b=1,7-1=6,7+1=8,7-1=6,7+1=8,6c8,6c8,又又c c为奇数为奇数, ,c=7.c=7.由三角形的三边关系可知由三角形的三边关系可知, ,若三角形的三边长分别为若三角形的三边长分别为a,b,ca,b,
7、c, ,则有则有|a-b|c|a-b|c c,a+cc,a+c b,b+cb,b+caa同时成立时同时成立时, ,能构能构成三角形成三角形;(2);(2)当两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度时当两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度时, ,能构成三角形能构成三角形. .其中第二种方法运用时较为简单其中第二种方法运用时较为简单. . 三角形内角与外角的应用三角形内角与外角的应用解解: :设设B=xB=x. .AB=AC,C=B=xAB=AC,C=B=x, ,DA=DC,CAD=C=xDA=DC,CAD=C=x. .BD=BA,BAD=BDA=CAD+C=2xBD=BA,BAD=BDA=C
8、AD+C=2x. .BAD+BDA+B=180BAD+BDA+B=180,2x+2x+x=180.,2x+2x+x=180.解得解得x=36.x=36.即即B=36B=36. .故选故选B.B.【例例3 3】 如图如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,且且D D为为BCBC上一点上一点,DA=DC,BD=BA,DA=DC,BD=BA,则则B B的大小为的大小为( ( ) )(A)40(A)40 (B)36(B)36(C)30(C)30 (D)25(D)25B B解答有关三角形角度的问题解答有关三角形角度的问题, ,常常用到三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、常常用到三角形
9、的内角和定理、三角形的外角的性质、直角三角形两锐角互余、等腰三角形两底角相等、等边三角形每个角都等于直角三角形两锐角互余、等腰三角形两底角相等、等边三角形每个角都等于6060等知识等知识, ,灵活运用这些知识是解题的关键灵活运用这些知识是解题的关键. .全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定思路点拨思路点拨:(1):(1)证出证出ACD=BCE,ACD=BCE,从而可根据从而可根据SASSAS得到得到ACDACDBCE; BCE; 【例例4 4】(2018(2018宁波宁波) )如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AC=BC,D,AC=BC,D是是ABAB边上
10、一点边上一点( (点点D D与与A,BA,B不重不重合合),),连接连接CD,CD,将线段将线段CDCD绕点绕点C C按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转9090得到线段得到线段CE,CE,连接连接DEDE交交BCBC于点于点F,F,连接连接BE.BE.(1)(1)求证求证: :ACDACDBCE;BCE;思路点拨思路点拨:(2):(2)由由ACDACDBCEBCE可得可得A=CBE=45A=CBE=45,BE=BF,BE=BF,从而根据三角形的内角和从而根据三角形的内角和及等腰三角形的性质求出及等腰三角形的性质求出BEFBEF的度数的度数. .(2)(2)当当AD=BFAD=BF时时, ,求求B
11、EFBEF的度数的度数. .判定两个三角形全等的思路判定两个三角形全等的思路SASHLSSSAASSASASAAASASAAAS找夹角已知两边 找直角找另一边边为角的对边找任意角找夹角的另一边已知一边一角边为角的一边 找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一角的对边B B1 1.(2018.(2018长沙长沙) )下列长度的三条线段下列长度的三条线段, ,能组成三角形的是能组成三角形的是( ( ) )(A)4 cm,5 cm,9 cm(A)4 cm,5 cm,9 cm(B)8 cm,8 cm,15 cm(B)8 cm,8 cm,15 cm(C)5 cm,5 cm,10 cm(C)5 cm,
12、5 cm,10 cm(D)6 cm,7 cm,14 cm(D)6 cm,7 cm,14 cm解析解析:5+4=9,:5+4=9,不能组成三角形不能组成三角形, ,故故A A选项错误选项错误; ;8+815,8+815,能组成三角形能组成三角形, ,故故B B选项正确选项正确; ;5+5=10,5+5=10,不能组成三角形不能组成三角形, ,故故C C选项错误选项错误; ;6+714,6+714,不能组成三角形不能组成三角形, ,故故D D选项错误选项错误. .故选故选B.B.C C2 2.(2018.(2018长春长春) )如图如图, ,在在ABCABC中中,CD,CD平分平分ACBACB交交
13、ABAB于点于点D,D,过点过点D D作作DEBCDEBC交交ACAC于点于点E,E,若若A=54A=54,B=48,B=48, ,则则CDECDE的大小为的大小为( ( ) )(A)44(A)44 (B)40(B)40 (C)39(C)39 (D)38(D)383 3.(2018.(2018成都成都) )如图如图, ,已知已知ABC=DCB,ABC=DCB,添加以下条件添加以下条件, ,不能判定不能判定ABCABCDCBDCB的是的是( ( ) )(A)A=D(A)A=D(B)ACB=DBC(B)ACB=DBC(C)AC=DB(C)AC=DB(D)AB=DC(D)AB=DCC C解析解析:
14、:A=D,ABC=DCB,BC=BC,A=D,ABC=DCB,BC=BC,符合符合AAS,AAS,能推出能推出ABCABCDCB,DCB,故故A A选项错误选项错误; ;ABC=DCB,BC=CB,ACB=DBC,ABC=DCB,BC=CB,ACB=DBC,符合符合ASA,ASA,能推出能推出ABCABCDCB,DCB,故故B B选项错误选项错误; ;ABC=DCB,AC=BD,BC=BC,ABC=DCB,AC=BD,BC=BC,不能推出不能推出ABCABCDCB,DCB,故故C C选项正确选项正确; ;AB=DC,ABC=DCB,BC=BC,AB=DC,ABC=DCB,BC=BC,符合符合S
15、AS,SAS,能推出能推出ABCABCDCB,DCB,故故D D选项错误选项错误. .故选故选C.C.4 4.(2018.(2018德州德州) )如图如图,OC,OC为为AOBAOB的平分线的平分线,CMOB,OC=5,OM=4,CMOB,OC=5,OM=4,则点则点C C到射线到射线OAOA的距离为的距离为 .3 3解析解析: :如图如图, ,过点过点C C作作CFAO,CFAO,OCOC为为AOBAOB的平分线的平分线, ,CMOB,CMOB,CM=CF,CM=CF,OC=5,OM=4,OC=5,OM=4,CM=3,CF=3.CM=3,CF=3.5 5.(2018.(2018泰州泰州) )
16、如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD中中,AC,AC平分平分BAD,ACD=ABC=90BAD,ACD=ABC=90,E,F,E,F分别为分别为AC,CDAC,CD的的中点中点,D=,D=,则则BEFBEF的度数为的度数为 ( (用含用含的式子表示的式子表示).).270270-3-3解析解析: :ACD=90ACD=90,D=,D=,DAC,DAC=90=90-,-,ACAC平分平分BAD,BAC=DAC=90BAD,BAC=DAC=90-,-,ABC=90ABC=90,E,E为为ACAC的中点的中点,BE=AE=EC,BE=AE=EC,EAB=EBA=90EAB=EBA=90-,CEB=180-,CEB=180-2,-2,E,FE,F分别为分别为AC,CDAC,CD的中点的中点,EFAD,EFAD,CEF=CAD=90CEF=CAD=90-,-,BEF=CEB+CEF=180BEF=CEB+CEF=180-2+90-2+90-=270-=270-3.-3.6 6.(2018.(2018武汉武汉) )如图如图, ,点点E,FE,F在在BCBC上上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与与DEDE交于点交于点G,G,求证求证: :GE=GF.GE=GF.
