1、人教人教2019A2019A版必修版必修 第一册第一册 5.2.1 5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念 第五章第五章 三角函数三角函数复习巩固复习巩固1. 11. 1弧度的角：弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角2. 2.角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算弧度18030.571801）（弧度3. 3.关于扇形的公式关于扇形的公式.21)3( ;21)2( ;12lRSRSRl）（ 4 4、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancbcaab ObaMPc问题引入问题引入新课学习新课学习探究探究
2、1 1：当：当 时，点时，点P P的坐标是什么？当的坐标是什么？当 时，时，点点P P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？的坐标又是什么？它们唯一确定吗？6322或当当 时，点时，点P的坐标为的坐标为 6），（2123当当 时，点时，点P的坐标为的坐标为 当当 时，点时，点P的坐标为的坐标为 232）（ 1 , 0），（2321探究探究2 2 ：一般地，任意给定一个：一般地，任意给定一个 角角 ，它的终边，它的终边OPOP与单位圆交点与单位圆交点P P的坐标能唯一确定吗？的坐标能唯一确定吗？单位圆半径不变，点单位圆半径不变，点P P的横、纵坐标只与的横、纵坐标只与 的大小有关，的大小有关， 确定时
3、，确定时，p p的坐标能唯一确定。的坐标能唯一确定。任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角， ,它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:（1） y 叫做 的正弦函数，记作 sin 即 y = sin （2） x 叫做 的余弦函数，记作 cos 即 x = cos （3） 叫做 的正切函数正切函数 , 记作 tan 即 xytanxy)0(xR )0(tanxxy 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值 为函数值的函数，称为正切函数（tange
4、nt function)通常将它们记为： 正弦函数余弦函数正切函数Rxxy,sinRxxy,cos)(2,tanZkkxxyxyo),(yx的终边（1）正弦）正弦就是就是交点的纵坐标交点的纵坐标， 余弦余弦就是就是交点的交点的横坐标横坐标 正切正切就是就是交点的纵坐标交点的纵坐标与与横坐标的比值横坐标的比值. . .（2） 正弦函数、余弦函数总有意义正弦函数、余弦函数总有意义.当当 的终边的终边在在y 轴轴上时，点上时，点P 的的横坐标等于横坐标等于0， xytan无意义，此时无意义，此时 )(2zkk（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对
5、应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.注意：注意：探究：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比探究：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设值为函数值的函数，设 ,把按锐角三角函数定义求得的锐角把按锐角三角函数定义求得的锐角 的正弦的正弦记为记为 ，并把按本节三角函数定义求得的，并把按本节三角函数定义求得的 的正弦记为的正弦记为 。 与与 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？)2, 0(xx1z1yx1z1y都相等都相等例例1 求求 的的正弦、余
6、弦和正切值正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB易知易知 的终边与单位的终边与单位圆圆 交点交点坐标为坐标为 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 3567,2167sin ,2367cos3367tanxyoAB35例例2.如图，设如图，设 是一个任意角，它的终边上任意一点是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点（不与原点O重合）重合）的坐标为（的坐标为（x,y），点），点P与原点的距离为与原点的距离为r。求证：。求证：.tan,cos,sinxyrxry证明：如图，设角
7、 的终边与单位圆交于点 分别过点 作 轴的垂线 ，垂足分别为则),(000yxP0,PPx00,MPPM0,MM0000000POMOMP|,| |,| |,| |,|xOMxOMyPMyMP于是，,|1|00rPMMP即ryy|0因为 与 同号，所以 ，即 0yyryy 0rysin同理可得rycosxytan由以上例2可知：根据勾股定理 ，只要知道角 终边上任意一点P的坐标，就可以求得角 的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点P位置的改变而改变。 练习练习1：高考领航：高考领航 112页页 典例典例3解题方法（已知角解题方法（已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方终边上任意一点的坐标
8、求三角函数值的方法）法）1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域探探究究三角函数三角函数定义域定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+- 例例3 求证：角求证：角 为第三象限角的充要条件是为第三象限角的充要条件是.0tan 0sin 证明：先证充分性证明：先证充分性 因为因为式式 成立成立,所以所以 角角的终边可能位于第三的终边可能位于第三 或或第四象限，第四象限，也可能也可能位
9、于位于 y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限的终边可能位于第一或第三象限. 0tan 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限. 于是于是角角 为第三象限角为第三象限角.如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？数值有何关系？ 终边相同的角终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任
10、意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值 .360020到或到 ？例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） （4）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因为）因为 是是第三象限角，所以第三象限角，所以 2500250cos（3）因为）因为 = ， 而而 是是第一象限角，所以第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48 （2）因为）因为 是是第四象限角，所以第四象限角，所以 404sin3tan（4）因为）因为 = 而而 的的终边在终边在 轴轴上，所以上，所以 ；3tantan)2tan(0tanx例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1） （2） （3）49cos)611tan( 解：（解：（1） );001. 0(011480sin精确到645. 00140sin)36040140(sin011480sin224cos)24cos(49cos（2）336tan6tan)26tan()611tan(（3）课堂小结课堂小结1.三角函数的定义：三角函数的定义：（1）单位圆定义法：）单位圆定义法：xxyy（2）终边定义法：R R 课堂小结课堂小结正弦正切余弦课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结
