1、 高三（上）期中数学试卷 题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设全集U=1,2，3，4，5，若集合A=3,4，5，则UA=_2. 命题“xR，x22x+10”的否定是_3. 函数f(x)=lg(3x)+2+x的定义域是_4. 已知扇形的半径为6，圆心角为3，则扇形的面积为_5. 设函数f(x)=Asin(x+)(A,为常数，且A0，0，00)上点P的切线垂直，则P的坐标为_9. 函数f(x)=|x21|+ln1x+2的零点个数为_10. 若log9(3a+4b)=log3ab，则a+3b的最小值是_11. 定义在(0,2)的函数f(x)=8sinxtanx的最大值
2、为_ 12. 已知tan(+3)=23，则sinsin(+23)=_13. 已知函数f(x)=x+3x,x0|xa|1x,x0有4个不同的零点，则实数a的取值范围为_14. 已知函数f(x)=lnx+82x的定义城为D，对于任意x1，x2D，当|x1x2|=2时，|f(x2)f(x1)|的最小值为_二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=(3cosx+sinx)223sin2x(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若x2,2，求函数f(x)的单调减区间16. 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2
3、bcosA (1)求角B的大小； (2)若b=23，a+c=4，求ABC的面积17. 已知函数f(x)=exaex(1)若函数f(x)具有奇偶性，求实数a的值；(2)若a=1，g(x)=f(x)2x，求不等式g(3lnx2)+g(lnx)0的解集18. 已知函数f(x)=2lnxax(aR)(1)若a=3，求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程；(2)若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(3)当x1,2，求f(x)的最大值19. 有一个墙角，两墙面所成二面角的大小为(0b)米的矩形木板用该木板档在墙角处，木板边紧贴墙面和地面，和墙角、地面围成一个直角三棱柱储物仓ABCA1B1C
4、1(1)当AB为多少米时，储物仓地面三角形ABC面积最大？(2)当AB为多少米时，储物仓的容积最大？(3)求储物仓侧面积的最大值20. 已知函数f(x)=14x3mx2mxm(mR)(1)当m=1，求函数f(x)的极小值；(2)已知函数f(x)在x=x1处取得极值，求证：mf(x1)0；(3)求函数f(x)的零点个数答案和解析1.【答案】1,2【解析】解：全集U=1,2，3，4，5，集合A=3,4，5，UA=1,2故答案为：1,2利用补集定义直接求解本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用2.【答案】xR，x22x+10【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所
5、以命题“xR，x22x+10”的否定命题：xR，x22x+10故答案为：xR，x22x+102+x0，2x02+x0，解出x的范围即可考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域4.【答案】6【解析】解：根据扇形的弧长公式可得l=r=36=2，根据扇形的面积公式可得S=12lr=1226=6故答案为：6先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题5.【答案】3【解析】解：根据函数f(x)=Asin(x+)(A,为常数，且A0，0，00)上点P的切线垂直点P处的切线斜率为1又y=1x2，设点P(x0,y0)1x02=1，x
6、0=1，x0，x0=1y0=1点P(1,1)故答案为：(1,1)利用y=ex在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中9.【答案】3【解析】解：设g(x)=|x21|，h(x)=ln1x+2=ln(x+2)，在同一坐标系中画出这两个函数的图象：两函数图象有三个交点，所以f(x)有3个零点故答案为：3将函数分成g(x)=|x21|，和h(x)=ln1x+2=ln(x+2)，在同一坐标系画出图象，交点个数即为f(x)零点个数本题考查函数零点问题，将零点个数转化成图象交点个数是关键，属于中档题1
7、0.【答案】25【解析】解：由log9(3a+4b)=log3ab，3a+4b=ab，a，b0.可得：3b+4a=1则a+3b=(a+3b)(3b+4a)=13+3ab+12ba13+32ab4ba=25，当且仅当a=2b=10时取等号a+3b的最小值是25故答案为：25由log9(3a+4b)=log3ab，kd3a+4b=ab，a，b0.可得：3b+4a=1.可得a+3b=(a+3b)(3b+4a)=13+3ab+12ba，再利用基本不等式的性质即可得出本题考查了基本不等式的性质、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11.【答案】33【解析】解：函数f(x)=8sinxt
8、anx，那么：f(x)=8cosx1cos2x=8cos3x1cos2x，令f(x)=0，得：cosx=12 x(0,2)，x=3当x(0,3)时，f(x)0，函数f(x)在区间(0,3)上是单调增函数当x(3,2)时，f(x)0有3个零点，即|xa|=1x，由函数y=|xa|可知图象关系x=a对称，要使函数y=|xa|与函数y=1x有三个交点，则函数y=1x与函数y=xa必有一个交点，与y=ax必有两个交点，即1x=ax有两个解，由x+1x2，可得a2故得实数a的取值范围是a2故答案为：(2,+)分段判断零点，根据x+3x=0，结合图象可知在x0，存在一个零点，那么|xa|1x=0，x0有3
9、个零点，数形结合讨论即可得实数a的取值范围本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，双沟函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档14.【答案】2ln32ln2【解析】解：函数f(x)=lnx+82x的定义城为D=(8,2)，不妨设x1x2，则x1=2+x2，所以x2(8,0)，则|f(x1)f(x2)|=|ln(x1+8)(2x2)(2x1)(x2+8)|=|ln(120x22+8x2)|，令y=120x2+8x，x(8,0)，根据复合函数的单调性知：x(8,4，y递减，x4,0)，y递增，所以当x=4时，y最小值为94，所以，|f(x2)f(x1)|的最小值为ln94=2l
10、n32ln2，故答案为：2ln32ln2函数f(x)=lnx+82x的定义城为D=(8,2)，不妨设x1x2，则x1=2+x2，所以x2(8,0)，构造函数y=120x2+8x，x(8,0)，根据复合函数的单调性求出最小值考查求函数的最值，利用构造函数法构造函数，利用复合函数的单调性求最值，中档题15.【答案】解：f(x)=(3cosx+sinx)223sin2x=3cos2x+23sinxcosx+sin2x23sin2x=31+cos2x2+1cos2x23sin2x=cos2x3sin2x+2=2cos(2x+3)+2(1)当2x+3=2k+即x=k+3(kZ)时，函数f(x)有最小值0
11、；f(x)取得最小值0时，自变量x的取值集合x|x=k+3，kZ；(2)f(x)的单调减区间满足2k2x+32k+得k6xk+3，kZ；又x2,2，令k=0，得6x3，故当x2,2，时，函数f(x)的单调减区间为6,3【解析】先将函数y=f(x)的解析式利用二倍角公式进行降幂，然后用辅助角公式进行花简，再根据三角函数性质解决问题本题主要是考查三角函数的化简，和三角函数的基本性质16.【答案】解：(1)因为a+2c=2bcosA，由正弦定理，得sinA+2sinC=2sinBcosA，因为C=(A+B)，所以sinA+2sin(A+B)=2sinBcosA即以sinA+2sinAcosB+2co
12、sAsinB=2sinBcosA，所以sinA(1+2cosB)=0，因为sinA0，所以cosB=12，又因为0B，所以B=23，(2)由余弦定理a2+c22accosB=b2及b=23得，a2+c2+ac=12，即(a+c)2ac=12，又因为a+c=4，所以ac=4，所以SABC=12acsinB=12432=3【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式，考查了运算能力，属于基础题(1)根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出;(2)由余弦定理求出ac，再根据三角形的面积公式计算即可17.【答案】解：(1)函数的定义域为R，f(x)=exaex，f(x)=exaex，函数f(
13、x)具有奇偶性，若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(x)，即exaex=exaex，则a=1，若函数f(x)是奇函数，则f(x)=f(x)，即ex+aex=exaex，则a=1，综上a=1或a=1(2)若a=1，则f(x)=exex，此时f(x)为奇函数，则g(x)=f(x)2x为奇函数，此时g(x)=exex2x，函数的导数g(x)=ex+ex22exex2=22=0，即函数g(x)为增函数，则不等式g(3lnx2)+g(lnx)0等价为g(3lnx2)g(lnx)=g(lnx)，即3lnx2lnx，得4lnx2，得lnx12，得0x0，f(x)在(0,+)单调递增，f(x)0恒成立不成
14、立，a0时，x(0,2a)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(2a,+)时，f(x)0，f(x)单调递减；f(x)max=f(2a)=2(ln2a1)，f(x)0恒成立，即2(ln2a1)0，解得a2e，(3)由(2)知当x1,2，a0时，f(x)max=f(2)=2(ln2a)；0a1，即2a2时，f(x)max=f(2)=2(ln2a)，1a2，即12a2时，f(x)max=f(2a)=2(ln2a1)，a2，即2a1时，f(x)max=f(1)=a，f(x)max=2(ln2a),a12(ln2a1),1ab，故当x=y，BC=a时，储物藏地面三角形ABC的面积最大，此时，ABC为等腰
15、三角形，AB=a2sin2=a2sin2(2)AB=x，AC=y，若BC=a，由(1)可知储物藏的容积V=Sba2bsin1cos，若BC=b，由(1)可知储物藏的容积V=Saab2sin1cos，ab，a2bab2，又sin1cos0，a2bsin1cosab2sin1cos，由(1)可知当AB=a2sin2时，储物藏的容积最大(3)设AB=x，AC=y，若BC=a，则由余弦定理可得cos=x2+y2a22xy=(x+y)22xya22xy，(x+y)2=2xy(1+cos)+a2，即xy=(x+y)2a22(1+cos)，又xy(x+y)24，(x+y)2a22(1+cos)(x+y)24
16、，解得：x+y2a21cos，当且仅当x=y时取等号储物藏的侧面积为(x+y+a)b2a2b21cos+ab，若BC=b，同理可得储物藏的侧面积为(x+y+b)a2a2b21cos+ab，综上，储物藏的侧面积的最大值为2a2b21cos+ab【解析】(1)设AB=x，AC=y，讨论BC=a和BC=b两种情况，利用利用基本不等式得出底面三角形的面积的最大值；(2)设AB=x，AC=y，讨论BC=a和BC=b两种情况，利用利用基本不等式得出三棱柱的体积的最大值；(3)设AB=x，AC=y，讨论BC=a和BC=b两种情况，利用利用基本不等式得三棱柱的侧面积的最大值本题考查了余弦定理，基本不等式的应用
17、，属于中档题20.【答案】解：(1)当m=1，f(x)=14x3+x2+x+1f(x)=34x2+2x+1=(3x+2)(x+2)2，令f(x)=0，解得x=2，或x=23可得：函数f(x)在(,2)，(23,+)上单调递增，在(2,23)上单调递减x=23时函数f(x)取得极小值，f(23)=14(23)3+(23)223+1=1927(2)证明：f(x)=34x22mxm，函数f(x)在x=x1处取得极值，f(x1)=34x122mx1m=0，=4m2+3m0，解得：m0若x1=1，则m=34，不满足条件，舍去，因此x11，mf(x1)=m(14x13mx12mx1m)=13m2(x1+1
18、)20，解得：m0.此时f(x)=0有两个不相等的实数根x1，x2即函数f(x)有两个极值点x1，x2.设x1x2f(x1)0时，可得：函数f(x)在R上有三个零点f(x2)=0时，可得：函数f(x)在R上有两个零点f(x2)0时，可得：函数f(x)在R上只有一个零点0，解得：34m0，此时f(x)0，函数f(x)在R上单调递增，x时，f(x)；x+时，f(x)+.可得：函数f(x)在R上只有一个零点【解析】(1)当m=1，f(x)=14x3+x2+x+1.f(x)=(3x+2)(x+2)2，令f(x)=0，解得x.即可得出函数f(x)的单调性极值点(2)f(x)=34x22mxm，函数f(x)在x=x1处取得极值，可得f(x1)=34x122mx1m=0，0，解得：m0.x1=1时，不满足条件，舍去，因此x11，即可证明mf(x1)0，解得：34m0，此时f(x)=0有两个不相等的实数根x1，x2.即函数f(x)有两个极值点x1，x2.设x1x2.对f(x1)与f(x2)与0的大小关系即可得出函数零点的个数0，解得：m34，或m0，此时f(x)0，函数f(x)在R上单调递增，即可得出函数f(x)在R上零点的个数本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题第15页，共15页
