1、第 1 页，共 17 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）1.抛物线2= 4的焦点坐标为()A. (1,0)B. (1,0)C. (0,1)D. (0,1)2.“ = 2”是“直线2 + 1 = 0与直线 + 32 = 0垂直”()A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.若双曲线 E：29216= 1的左、右焦点分别为1，2，点 P 在双曲线 E 上，且|1| = 3，则|2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 34.直线 l： + + 3 = 0被圆 C
2、： = 1 + 4 = 2 + 4(为参数)截得的弦长为()A. 2 2B. 4 2C. 4 3D. 85.如图， 在平面直角坐标系xOy中， F是椭圆22+22= 1( 0)的右焦点， 直线 =2与椭圆交于 B，C 两点，且 = 90，则该椭圆的离心率为()第 2 页，共 17 页A. 63B. 233C. 12D. 226.设，为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的为()A. 若/， ，则/B. 若/， ，则/C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 7.已知抛物线 C：2= 8的焦点为 F， 准线与 x 轴的交点为 K， 点 A 在 C 上且| =2|，则 的面积为
3、()A. 4B. 8C. 16D. 328.已知1，2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12=3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. 433B. 233C. 3D. 2二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）9.已知直线的参数方程为 = 1 +12 = 1 +32(为参数)，则其倾斜角为_10.若圆 O：2+ 2= 1与圆 C：2+ 2+6 + 8 + = 0相切，则实数 =_11.若方程22+25= 1表示的是焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是_12.直线 l 与双曲线242= 4相交于 A、B 两点，若点(4,1)为线段 AB 的中点
4、，则直线 l 的方程是_13.已知圆1：( + 2)2+(1)2= 1，圆2与圆1关于直线 = + 1对称，则圆2的标准方程是_第 3 页，共 17 页14.已知椭圆 G：26+22= 1(0 0)的离心率为22，点(2,1)在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 与圆 O：2+ 2= 2相切，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，求证：是定值18.设 A、B 分别为椭圆24+23= 1的左右顶点，设点 P 为直线 = 4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线 AP、BP 分别与椭圆相交于异于 A、B 的点 M、N(1)判断 B 与以 MN 为直径的圆的位置关系(内、外、上)并证
5、明(2)记直线 = 4与轴的交点为 H，在直线 = 4上，求点 P，使得 = 第 5 页，共 17 页第 6 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线2= 2的焦点坐标为(0,2)，属基础题先根据标准方程求出 p 值，判断抛物线2= 4的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标【解答】解： 抛物线2= 4中， = 2，2= 1，焦点在 y 轴上，开口向上， 焦点坐标为(0,1)，故选 C2.【答案】D【解析】【分析】先求出直线2 + 1 = 0与直线 + 32 = 0垂直时，a 满足的条件，即可判断本题主要考查充分、
6、必要条件的判断以及直线垂直的等价条件应用，属于基础题【解答】解：当直线2 + 1 = 0与直线 + 32 = 0垂直时，2 + 3 = 0即 = 0，所以“ = 2”是“直线2 + 1 = 0与直线 + 32 = 0垂直”的既不充分又不必要条件故选 D3.【答案】B【解析】第 7 页，共 17 页【分析】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题确定 P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论【解答】解：由题意，双曲线 E：29216= 1中， = 3 |1| = 3， 在双曲线的左支上， 由双曲线的定义可得|2|1| = 6， |2| = 9故选 B4.【答案】B【解析】【分析
7、】本题考查了直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离结论公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题利用平方关系把圆 C 的参数方程化为标准方程，求出圆心 C 到直线 l 的距离 d，利用直线 l 被圆 C 截得的弦长 = 2 22即可得出【解答】解：圆 C： = 1 + 4 = 2 + 4(为参数)化为：( + 1)2+(2)2= 16，可得：圆心(1,2)，半径 = 4 圆心 C 到直线 l 的距离 =|1 + 2 + 3|2= 2 2 直线 l 被圆 C 截得的弦长 = 2 22= 2 16(22)2= 4 2故选：B5.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用
8、两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查化简整理的运算能力，属于中档题设右焦点(,0)，将 =2代入椭圆方程求得 B，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜第 8 页，共 17 页率之积为1，结合离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设右焦点(,0)，将 =2代入椭圆方程可得 = 1242=32，可得(32,2)，(32,2)，由 = 90，可得= 1，即有 232232= 1，化简为2= 3242，由2= 22，即有32= 22，由 =，可得2=22=23，可得 =63，故选：A6.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解
9、能力，考查函数与方程思想，是中档题在 A 中，m 与相交、平行或 ；在 B 中，m 与 n 平行或异面；在 C 中，m 与相交、平行或 ；由面面垂直的判定定理得 【解答】解：由，为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，得：在 A 中，若/， ，则 m 与相交、平行或 ，故 A 错误；在 B 中，若/， ，则 m 与 n 平行或异面，故 B 错误；在 C 中，若 ， ，则 m 与相交、平行或 ，故 C 错误；在 D 中，若 ， ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 D 正确故选：D7.【答案】B【解析】第 9 页，共 17 页【分析】本题考查抛物线的性质和定义，属于中档题根据抛物线的方程可知焦点
10、坐标和准线方程，进而可求得 K 的坐标，设(0,0)，过 A点向准线作垂线 AB，则(2,0)，根据| =2|，及 = =0(2) =0+2，进而可求得 A 点坐标，进而求得 的面积【解答】解： 抛物线 C：2= 8的焦点为(2,0)，准线为 = 2， (2,0)设(0,0)，过 A 点向准线作垂线 AB，则(2,0)， | =2|，又 = =0(2) =0+2， 由2= 22，得20= (0+2)2，即80= (0+2)2，解得(2, 4)， 的面积为12| |0| =12 4 4 = 8故选 B8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和配方法是解决本
11、题的关键，属于较难题根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论【解答】解：设椭圆的长半轴长为1，双曲线的实半轴长为2，(12)，半焦距为 c，设|1| =1，|2| =2，|12| = 2，椭圆和双曲线的离心率分别为1，2, 12=3， 由余弦定理可得42= 21+ 22212cos3第 10 页，共 17 页= 21+ 2212，不妨设12，由椭圆和双曲线的定义可知1+ 2= 2112= 22，得1= 1+ 22= 12，11+12=1+ 2=1，令 =212=42121+ 2212=41 + (21)221=4(2112)2+34，当21=12时，=163， (1)=433，即
12、11+12的最大值为433，故选 A9.【答案】3【解析】【分析】本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化问题，是基础题把直线的参数方程化为普通方程，求出它的斜率和倾斜角的大小【解答】解：直线的参数方程为 = 1 +12 = 1 +32(为参数)，消去参数 t，化为普通方程是1 =3(1)，则该直线的斜率为 3，倾斜角为3故答案为：310.【答案】11或 9【解析】第 11 页，共 17 页【分析】本题主要考查圆的标准方程的特征，两点间的距离公式，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题由题意，两个圆相内切，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差的绝对值，两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，求得
13、m 的值【解答】解：圆2+ 2+68 + = 0即( + 3)2+(4)2= 25，表示以(3,4)为圆心，半径等于 25的圆由题意，两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5 = | 251|，解得 = 11两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5 =25 +1，解得 = 9，故答案为：11或 911.【答案】(72,5)【解析】【分析】本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆的性质，利用焦点在 y 轴上的椭圆，满足2的分母大于2的分母并且大于 0，是解题的关键焦点在 x 轴上的椭圆，满足2的分母大于2的分母并且大于 0，建立不等式可求 k 的取值范围【解答】解：由题意方程22
14、+25= 1表示的是焦点在 x 轴上的椭圆，2 5 0，72 5故答案为：(72,5)12.【答案】3 = 0【解析】第 12 页，共 17 页【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，“点差法”的应用，属于基础题设出 A，B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知1+2和1+2的值，进而求得直线 AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程【解答】解：设(1,1)，(2,2)，则1+2= 8，1+2= 2， 21421= 4，22422= 4，两式相减可得(1+2)(12)4(1+2)(12) = 0， 8(12)8(12) = 0， 直线 AB 的斜率= 1， 直线 l 的方程为1
15、= 4，即3 = 0故答案为3 = 013.【答案】2+( + 1)2= 1【解析】【分析】本题考查了圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题求出圆2的圆心坐标，又圆1和圆2的半径相等，即可得到其方程【解答】解：依题意，设圆2的圆心坐标为(,)，因为圆1：( + 2)2+(1)2= 1的圆心为(2,1)，所以 + 12=2 + 2+ 1,1 + 2= 1,解得 = 0 = 1，所以圆2的标准方程是：2+( + 1)2= 1，故答案为：2+( + 1)2= 114.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题
16、运用椭圆的定义可得 P 也在椭圆26+262= 1上，分别画出两个椭第 13 页，共 17 页圆的图形，即可判断正确；通过 b 的变化，可得不正确；由图象可得当 P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|的值取得最小，即可判断【解答】解：椭圆 G：26+22= 1(0 2，即有 P 在椭圆26+262= 1上对于，将 x 换为方程不变，则点 P 的轨迹关于 y 轴对称，故正确；对于，由图象可得轨迹关于 x，y 轴对称，且0 6，则椭圆 G 上满足条件的点 P 有 4 个，不存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个，故不正确；对于，由图象可得，当 P 满足2= 2，即有62= 2，即 =
17、3时，|取得最小值，可得2= 2= 2，即有|的最小值为 2，故正确故答案为15.【答案】解：(1)由| = 2 | + | = 2 2，根据椭圆的第一定义，可得 P 的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆，且2 = 2 2，即 =2， = 1， =22= 1，则动点 P 的轨迹方程 C 为22+ 2= 1；(2)将直线 l： = + 1代入椭圆方程2+22= 2，第 14 页，共 17 页可得(1 + 22)2+4 = 0，解得1= 0，2= 41 + 22，可得(0,1)，(41 + 22,1221 + 22)，由题意可得| =162(1 + 22)2+ (1221 + 221)2=423，解得
18、 = 1，即有直线 l 的方程为 = + 1【解析】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的第一定义，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，考查运算能力，属于中档题(1)由椭圆的第一定义，可得 P 的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆，求得 a，b，c，即可你到底所求轨迹方程；(2)将直线方程代入椭圆方程，解方程可得 M，N 的坐标，再由两点的距离公式解方程可得斜率 k，进而得到直线方程16.【答案】证明：()过点 F 作/，交 PA 于 H，连接 BH，因为 =13，所以 =13 = 又/，/，所以/所以 BCFH 为平行四边形，所以/又 平面 PAB，平面 PAB，所以/平面 PAB解
19、：()因为梯形 ABCD 中，/， ，所以 . 平面 ABCD，如图，以 B 为原点，BC，BA，BP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，所以(1,0，0)，(3,3，0)，(0,3，0)，(0,0，3)设平面 BPD 的一个法向量为 = (,y，)，平面 APD 的一个法向量为 = (,b，)，因为 = (3,3，3)， = (0,0，3)所以 = 3 + 33 = 0 = 3 = 0，取 = 1得到 = (1,1,0)，同理可得 = (0,1，1)，所以cos = | |= 12，因为二面角为锐角，第 15 页，共 17 页所以二面角为3【解析】本题考查直线与平面平行的判定，二
20、面角的平面角的求法，向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力()过点 F 作/，交 PA 于 H，连接 BH，证明/，/，然后证明/平面 PAB()说明 . ， ，以 B 为原点，BC，BA，BP 所在直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面 BPD 的一个法向量，平面 APD 的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角的大小17.【答案】解：(1)由题得 =22，所以2=122，则2=122，再将点(2,1)带入方程得42+1122= 1，解得2= 6，所以2= 3，则椭圆 C 的方程为：26+23= 1；(2)当直线 PQ 斜率不存在时，则直线 PQ 的方程为 =2或 = 2
21、，当 =2时，( 2, 2)，( 2, 2)，此时 = 0，所以 ，即 = 90，当 = 2时，同理可得 ， = 90；当直线 PQ 斜率存在时，不妨设直线 PQ 的方程为 = + ，即 + = 0，因为直线与圆相切，所以|2+ 1=2，即2= 22+2，联立 + = 026+23= 1，得(1 + 22)2+4 + 226 = 0，设(1,1)，(2,2)，则有1+2= 41 + 22，12=2261 + 22，此时 =12+12=12+(1+)(2+)= (1 + 2)12+ (1+ 2) + 2= (1 + 2) 2261 + 2+ (41 + 22) + 2，将2= 22+2代入上式可
22、得 = 0，所以 ，则 = 90；综上：是定值为90【解析】 本题是直线与椭圆的综合， 计算出 = 0时判断是否为定值的关键，属于中档题第 16 页，共 17 页(1)由题得 =22得到 a，b，c 的关系，再将点(2,1)代入可解得2= 6，进而得到方程；(2)考虑 PQ 斜率不存在和存在两种情况，分别计算出 = 0，可得 = 90为定值18.【答案】解：(1)点 B 在以 MN为直径的圆内证明如下：由已知可得(2,0)，(2,0).设(0,0). 点在椭圆上， 20=34(420).又点 M 异于顶点 A、 B， 2 0 0， 0，于是为锐角，从而为钝角，故点 B 在以 MN 为直径的圆内
23、；(2)可得(2,0)，(2,0).设(0,0).(4,)，由 P、B、N 三点共线可以得42=002，即 =2002又 = 等价于 = 即12 4 |0| =12 2 | = |2002|0= 114+203= 1， 0=32， = 3故点(4, 3)第 17 页，共 17 页【解析】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查了转化思想，运用三点共线求点的坐标是关键，属于难题(1)由已知得(2,0)，(2,0).设(0,0).又点 M 异于顶点 A、B，可得2 0 0，即可证明；(2)设(1,1).(4,)由P、 B、 N三点共线可得 =2002.由 = .等价于 = .解得0= 1.即可
