1、第 1 页，共 14 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）1.“ = 1”是“ = 4+2( )”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.下列函数是在(0,1)为减函数的是()A. = B. = 2C. = D. =1213.已知函数() = 2+4， ,5的值域是5,4， 则实数 m 的取值范围是()A. (,1)B. (1,2C. 1,2D. 2,5)4.在 中，sin2 sin2 + sin2，则 A 的取值范围是()A. (0,6B. (0,3C. 6,)
2、D. 3,)二、填空题（本大题共 12 小题，共 54.0 分）5.函数 = 2的最小正周期为_6.设 = ， = | 0， = |2 2，则 = _7.不等式1721 0的解集是_8.命题 A：|1| 3， 命题 B：( + 2)( + ) 0， 若 A 是 B 的充分而不必要条件，则 a 的取值范围是_ 9.已知 = 1()是函数 = 3+的反函数，且1(2) = 1，则实数 = _第 2 页，共 14 页10.已知 =14，且 (32,2)，则cos( +2) = _ 11.在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 = 75， = 60， =3，则 = _12.已知角的顶点
3、在坐标原点， 始边与 x 轴的正半轴重合， 角的终边与圆心在原点的单位圆(半径为 1 的圆)交于第二象限内的点(,45)，则2 = _.(用数值表示)13.定义在 R 上的偶函数 = ()在0, + )上单调递增，则不等式(21) (3)的解集是_14.若将函数() = sin(2 +4)的图象向右平移个单位，所得图象关于 y 轴对称，则的最小正值是_ 15.函数() = 22 +12+ + ， (0,2)的最小值为_16.若关于 x 的不等式 3423 + 4 的解集恰好是,，则 + = _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 76.0 分）17.已知() = 2+4(1)解关于 x 的不等
4、式：|()| 12(2)已知 = |2+ + 2 = 0， = |() = 0， ，求实数 a 的取值范围18.设 的三个内角 A，B，C 的对均分别为 a，b，.满足：3=(1)求角 A 的大小；第 3 页，共 14 页(2)若222+222= 1，试判断 的形状，并说明理由19.已知美国苹果公司生产某款 iphone 手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 只还需另投入 16 美元设苹果公司一年内共生产该款 iphone 手机 x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()万美元，且() =4006,0 40(1)写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万
5、只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润20.已知函数() = 2()，其中 0(1)令 = 1，判断函数() = () + ( +2)的奇偶性，并说明理由；(2)令 = 2，() =12( +12) +32( +2)的最大值为 A，函数 = 2(4 7) + 1在区间,上单调递增函数，求的取值范围；(3)令 = 2，将函数 = ()的图象向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数()的图象，对任意 ，求 = ()在区间, + 10上零点个数的所有可能值第 4 页，共 14 页21.已知函数() = 11是奇函数(其中 1)(1)求实数 m 的值；(2)已知关于
6、 x 的方程( + 1)(7)= ()在区间2,6上有实数解，求实数 k 的取值范围；(3)当 (,2 2)时，()的值域是(1, + )，求实数 n 与 a 的值第 5 页，共 14 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解：tan(4+2) = tan(4) = 1，所以充分；但反之不成立，如tan34= 1故选：B 得出tan( = 4+2) = 1，“ = 4+2”是“ = 1”成立的充分条件；举反例tan34= 1，推出“ = 4+2( )”是“ = 1”成立的不必要条件本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其
7、中的概念2.【答案】C【解析】解：结合对数函数的性质可知 = 在(0,1)为增函数，结合指数函数的性质可知， = 2在 0上增函数，结合余弦函数的性质可知， 0,上为减函数，结合反比例型函数， =121在(,12)与(12, + )上分别为减函数；故选：C结合对数函数，指数函数，余弦函数，反比例型函数的性质即可进行判断本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题3.【答案】C【解析】解： () = 2+4 = (2)2+4， 当 = 2时，(2) = 4，由() = 2+4 = 5，得245 = 0，即 = 5或 = 1， 要使函数在,5的值域是5,4，则1 2，故选：C第 6 页，
8、共 14 页根据二次函数的图象和性质，即可确定 m 的取值范围本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键4.【答案】B【解析】解：利用正弦定理化简sin2 sin2 + sin2得：2 2+ 2，变形得：2+ 22 ， =2+ 2222=12，又 为三角形的内角， 的取值范围是(0,3. 故选：B利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出 cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的 cosA 中，得出 cosA 的范围，由 A 为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出 A 的取值范围此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌
9、握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基础题5.【答案】【解析】解：函数 = 2的最小正周期为22= ，故答案为：利用函数 = ( + )的周期为2，得出结论本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题6.【答案】(0,1)【解析】解： () = 2在 R 上为增函数， 由2 2，得2 21，解得 0， = | 1， = (0,1)故答案为：(0,1)分别求出集合 A，B，由此能求出 本题考查交集的求法， 考查函数的单调性、 集合的运算等基础知识， 考查运算求解能力，第 7 页，共 14 页是基础题7.【答案】|12 4【解析】解：由已知可得，2821 0，(4)(21) 021 0，解可得，12
10、4，不等式的解集为|12 4，故答案为：|12 4由已知化简可得，2821 0，转化为二次不等式即可求解本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用8.【答案】(,4)【解析】解：根据题意，由于命题 A：|1| 3，得到2 4，命题 B：( + 2)( + ) 0，A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B 的真子集，那么可知集合 B：2 ，则可知参数 4，故答案为：(,4)通过绝对值不等式的解法求出集合 A，利用 A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B的真子集，推出集合 B，求解 a 的范围即可本题主要是考查了绝对值不等式的解法，充分条件的运用，属于基础题9.【答案】
11、1【解析】解： 1(2) = 1， 2 = 13+，解得， = 1 故答案为：1由 = 1()是函数 = 3+的反函数且1(2) = 1知2 = 13+，从而解得本题考查了反函数的定义的应用，属于基础题第 8 页，共 14 页10.【答案】154【解析】解 ： =14，且 (32,2)，则cos( +2) = =1cos2 =1116=154，故答案为：154由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cos( +2)的值本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题11.【答案】 2【解析】【分析】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键由
12、 A 与 B 求出 C 的度数，再由 sinB，b，sinC 的值，利用正弦定理求出 c 的值即可【解答】解： = 75， = 60， = 45，由正弦定理=得： =32232=2，故答案为： 212.【答案】2425【解析】解 ： 角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆(半径为 1 的圆)交于第二象限内的点(,45)，由任意角的三角函数的定义可知= 35， = 35， =452 = 2 = 2 3545= 2425故答案为：2425直接利用任意角的三角函数的定义，求出正弦函数以及余弦函数值，通过二倍角的正弦函数求解即可本题考查任意角的三角函数的定义的应用
13、，二倍角的正弦函数的求法，考查计算能力第 9 页，共 14 页13.【答案】(1,2)【解析】解： 在 R 上的偶函数 = ()，在0, + )上单调递增， 不等式(21) (3)等价为(|21|) (3)，即|21| 3，解得1 2，故答案为：(1,2)根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键14.【答案】38【解析】【分析】根据函数 = ( + )的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为 =sin(2 +42)，再根据所得图象关于 y 轴对称可得42 = +2， ，由此求得的最小正值本题主要考查函
14、数 = ( + )的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题【解答】解：将函数() = sin(2 +4)的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为 = sin2() +4 = sin(2 +42)关于 y 轴对称，则42 = +2， ，即 = 28，故的最小正值为38，故答案为3815.【答案】5【解析】解：() = 22 +12+ + = 4 +32，令 = 2 = 2， (0,2)， (0,1， = 2 +3，在 (0,1递减，当 = 1时，即 =4，最小值为 5，第 10 页，共 14 页故答案为：5化简，利用对勾函数的单调性求最值考查三角恒等变化，函数求最值，注意这里不
15、能用基本不等式，中档题16.【答案】4【解析】解：设() =3423 + 4，当 = 32 34= 2时，()= 1，由题意可知 1，且() = () = ， ，由() = 得到3423 + 4 = ，解得 =43(舍去)或 = 4，可得 = 4，由抛物线的对称轴为 = 2得到 = 0，所以 + = 4故答案为：4 设()等于3423 + 4，它的图象为一条抛物线，画两条与 x 轴平行的直线 = 和 = ，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间，而此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线 = 应该与抛物线只有一个或没有交点， 所以得到 a 小于等于抛
16、物线的最小值且 a 与 b 所对的函数值相等且都等于 b，利用() = 解出 b 的值，由抛物线的对称轴即可求出 a 的值，进而求出 + 的值此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，灵活利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题17.【答案】解：(1) |()| 12即|2+4| 12， 2+4 12，或2+4 12，由2+4 12，即2+412 0，解得 (,6 2, + ) 由2+4 12，即2+4 + 12 0， = 1648 0， 该不等式无解；综上， (,6 2, + )(2) ， 是 B 的子集；由2+4 = 0，解得 = 0，或 = 4； = 4,0 ()当 = 时， = 28
17、 0，解得 (0,8) () = 0时，可知，02+ 0 + 2 = 0，得： = 0 检验： = 0.2= 0.可得 = 0，满足题意；() = 4时，可知，(4)2+ (4) + 2 = 0，解得： = 8 第 11 页，共 14 页检验： = 8，2+8 + 16 = 0，解得， = 4，符合题意；() = 0,4时，有韦达定理可知， = 4且2 = 0，无解；综上， 0,8【解析】(1)根据绝对值的几何意义将绝对值不等式转化为一元二次不等式，再解一元二次不等式即可得出不等式的解集；(2)由题意，先解出集合 B，再由 ，分情况解出 a 的取值范围本题考查绝对值不等式的解法与一元二次不等式
18、的解法，转化化归的数学思想，由于本题分类较多，解答时易因为考虑问题不全面导致解答失误18.【答案】解：(1) 3=， 由正弦定理可得3= 1， =3， 0 180， = 60；(2) 222+222= 1， 1 + 1 = 1， + = 1， + cos(120) = 1， 12 +32 = 1，12 +32 = 1， sin( + 30) = 1， = 60， = 60， 是等边三角形【解析】(1)利用正弦定理，可得 =3，从而可求 A 的大小；(2)利用二倍角公式，结合辅助角公式，可得三角形的形状本题考查正弦定理的运用，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，正确运用二倍角公式是关键19.【答
19、案】解：(1)利用利润等于收入减去成本，可得第 12 页，共 14 页当0 40时， = ()(16 + 40) = 4000016 + 7360 =62+ 38440,0 40；(2)当0 40时， = 4000016 + 7360 240000 16 +7360，当且仅当40000= 16，即 = 50时，= (50) = 5760 6104 5760 = 32时，W 的最大值为 6104 万美元【解析】(1)利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；(2)分段求出函数的最大值，比较可得结论本题考查分段函数模型的构建， 考查利用数学知识解决实际问题， 考查学生的计算能力，属于中档题20
20、.【答案】解：(1)当 = 1时，() = () + ( +2) = 2 + 2( +2) = 2( + ) = 2 2sin( +4)，(0) = 2 2sin4= 2， (0,2)既不是函数的最值点，也不是原点，所以()是非奇非偶函数；(2)当 = 2时，() =12( +12) +32( +2)=12 22( +12) +32 22( +2)= sin(2 +6)32= sin(26) 1,1 = 1，由题意， = 2(4 7) + 1在区间1,1上单调递增， 抛物线对称轴 = 2 7 1，即 714， (2+,arctan714+,( )；(3)当 = 2时，() = 22( +6)
21、+ 1 = 2(2 +3) + 1， 函数的最小正周期为 = ，又每个周期内有两个零点，区间, + 10长度为10，当() = 0即sin(2 +3) = 121= 4+，或2=512+( )时，零点有 21 个，第 13 页，共 14 页1 4+，且2512+( )时，零点有 20 个【解析】(1)化简，利用(0)判断；(2)当 = 2，求出 A，再利用二次函数的性质，求出参数；(3)根据图象的变换，求出()，再求零点考查正弦型函数的图象与性质，三角恒等变换，中档题21.【答案】解：(1)由11 0(1)(1) 0，又() = 11是奇函数， 定义域关于原点对称，由(1)(1) = 0，得1
22、= 1，2=1= 1 = 1(2)由(1)得，() = 1 + 1， ( + 1)(7)= 1 + 1，即( + 1)(7)=1 + 1 =(1 + )2(7)1， 在区间2,6上，(1 + )2、1是单调递增的，7是单调递减的，所以 =(1 + )2(7)1在区间2,6上单调递减，当 = 6时，=495；当 = 2时，=452；所以， 495,45，(3)由(1)得，() = 1 + 1，且 (,1) (1, + )，1 + 1= 1 +21在 (,1)与(1, + )上单调递减， (,2 2)时，由极限可知， 0+1 + 1 (1 +2221 ,1 +2 + 1)， 当0 1时，log为减函数， 1 + 1 (1, + )得，0 1 + 1 1(舍去)，当 1时，1 + 1 (1, + )得，1 + 1 (, + )1，即1 +2221 = 1 +2 + 1= +解得 = 1， = 3 +2，或 =21(舍去)，即 = 1， = 3 +2第 14 页，共 14 页【解析】(1)根据奇函数的定义建立方程进行求解即可(2)根据导数函数的性质，结合函数与方程的关系，利用参数分离法进行求即可(3)结合函数的单调性与值域的关系进行求解即可本题主要考查函数与方程的应用， 结合函数奇偶性的定义(1)(2)(3)函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度
