1、2021年天津高考数学真题及答案第I卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么球的体积公式，其中R表示球的半径圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【参考答案】C2. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件【参考答案】A3. 函数
2、的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【参考答案】B4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分分数据，将所得个评分数据分为组：、，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）A. B. C. D. 【参考答案】D5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【参考答案】D6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A. B. C. D. 【参考答案】B7. 若，则（ ）A. B. C. 1D. 【参考答案】C8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线
3、交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 39. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【参考答案】A第II卷注意事项1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题，共105分二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10. 是虚数单位，复数_【参考答案】【解】.11. 在的展开式中，的系数是_【参考答案】160【解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.12. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则_【参考
4、答案】【解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.13. 若，则的最小值为_【参考答案】【解】，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为_【参考答案】 . . 【解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.15. 在边长为1的等边三角形ABC中，
5、D为线段BC上的动点，且交AB于点E且交AC于点F,则的值为_；的最小值为_【参考答案】 . 1 . 【解】设，为边长为1的等边三角形，为边长为的等边三角形，所以当时，的最小值为.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤16. 在，角所对的边分别为，已知，（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值【参考答案】（I）；（II）（III）【解】（I）因为，由正弦定理可得，；（II）由余弦定理可得；（III），所以.17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角正弦值（III）求二面角的正弦
6、值【参考答案】（I）证明见解析；（II）；（III）【解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则,，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，所以,设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面；（II）由（1）得，设直线与平面所成角为，则；（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值为.18. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点若，求直线的方程【参考答案】（1）；（2）.【解】（1）易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，因此，椭
7、圆的方程为；（2）设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，因为，故，所以，直线的方程为，即.19. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【参考答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去
8、），所以；（II）（i）由题意，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.20. 已知，函数（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围【参考答案】（I）；（II）证明见解析；（III）【解】（I），则，又，则切线方程为；（II）令，则，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，当时，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，则，单调递增，当时，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（III）由（II）知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.
