1、1.3.1三角函数的周期性三角函数的周期性1 又如，现在是四月份，一又如，现在是四月份，一年以后仍然是四月份。年以后仍然是四月份。 比如，太阳总是每天从东比如，太阳总是每天从东方升起从西方落下；方升起从西方落下； 通俗的讲，它是一种周而通俗的讲，它是一种周而复始、重复出现的现象。复始、重复出现的现象。 什么叫周期现象什么叫周期现象? ?蓦然回首蓦然回首2自由想象自由想象 一年四季一年四季: :“春、夏、秋、冬春、夏、秋、冬”, , 每隔每隔 1 1 年重复出现年重复出现. . 请列举几个请列举几个“周而周而复始复始”的客观实例的客观实例. .3自由想象自由想象 一星期七天一星期七天: :“星期
2、日、星期一、星期日、星期一、星期星期二、二、 、星期六、星期六”, , 每隔每隔 7 7 天重复出现天重复出现. . 请列举几个请列举几个“周而周而复始复始”的客观实例的客观实例. .4自由想象自由想象 钟表钟表“分针分针”走动走动, , 每每 1 1 小时走一圈小时走一圈. . 请列举几个请列举几个“周而周而复始复始”的客观实例的客观实例. .5自由想象自由想象 公园里公园里“过山车过山车” 运动周而复始运动周而复始. . 请列举几个请列举几个“周而周而复始复始”的客观实例的客观实例. .6幽处探秘幽处探秘 在函数中也有在函数中也有“周而周而复始复始”的现象吗？的现象吗？答案是肯定的答案是肯
3、定的7幽处探秘幽处探秘 如下列函数的图象：如下列函数的图象：xyo1-1-2 - 2 3 4 -2 - o 2 3 x-11y8蓦然回首蓦然回首cos(+2)=sincossin(+2)=sin(-2+)=sincoscos(-2+)= 怎样用数学式子表怎样用数学式子表示函数这样的性质？示函数这样的性质？sin 2ks in9幽处探秘幽处探秘本节课本节课重点研究重点研究 你能给周期函数下个定义吗？你能给周期函数下个定义吗？10芬芳满枝芬芳满枝对于函数对于函数f(x),f(x),如果存在一个如果存在一个_使得当使得当x x取定义域内的取定义域内的_ _ 时时, , 那么函数那么函数f(x)f(x
4、)就叫做就叫做_非零常数非零常数T T叫做这个函数的叫做这个函数的_非零的常数非零的常数T,T,每一个值每一个值 都有都有 f(x+T)=f(x)_11芬芳满枝芬芳满枝 非零的常数非零的常数T T 每一个每一个x x的值的值 f(x+T)=f(x)12芬芳满枝芬芳满枝sin()sin,424sin2x 由由 能能说说是是y=y=的的周周期期吗吗？:sin(0)sin02 例例如如不能不能 ! 非零的常数非零的常数T T 每一个每一个x x的值的值 f(x+T)=f(x)13芬芳满枝芬芳满枝 非零的常数非零的常数T T 每一个每一个x x的值的值 f(x+T)=f(x),xR 函函数数f(x)=
5、5(f(x)=5(它它是是 周周期期函函数数吗吗? ? 周周期期T T是是多多少少？ 有有最最小小正正周周期期吗吗? ?0T 是是 周期函数不一定有最小正周期周期函数不一定有最小正周期 ! 如果不加特别说明如果不加特别说明, ,以后讲周期即指最小正周期以后讲周期即指最小正周期. .无无14芬芳满枝芬芳满枝sin()sin ,sinxxx 由由能能说说 是是y=y=的的周周期期吗吗？不能不能 ! 非零的常数非零的常数T T 每一个每一个x x的值的值 f(x+T)=f(x)15芬芳满枝芬芳满枝2Tkkn n n n n2T是是16 1. 设设T是是f(x) 的周期，的周期， 则则_ (n为非零整
6、数为非零整数) 也是也是f(x)的周期，的周期， 即即 f(x+nT)=_。芬芳满枝芬芳满枝nT f(x) 例如例如, , 已知已知f(x)f(x)的周期为的周期为2,f(1)=1.2,f(1)=1. 则则f(-3)f(-3)_f(-3)=f(-3+2f(-3)=f(-3+22)2)=f(1)=1=f(1)=11 117芬芳满枝芬芳满枝 cos(32 )cos3xx2 cos3cos33xx2 +( )3fxf x即2( )3f x所以, 的周期为18芬芳满枝芬芳满枝 2 2. . A A, , , ,常常, , 且且 A A 0 0, , 0 0, , 函函 y y = = A As si
7、in n( ( x x + +) )+ + B B, , x xR R y y = = A Ac co os s( ( x x + +) )+ + B B, , x xR R的的 周周 期期设为数 则数为 T =都都/2.2._以后直接套公式以后直接套公式19任我采撷任我采撷 求下列函数的周期求下列函数的周期 ：1(3)2sin(),26yxxR (2) y=sin2x, xR;R;T = 2T = T = 4(1) y=3cosx, xR;R;(2 /)T 20欣然品尝欣然品尝()(),( )3232fff x(1) (1) 因因为为所所以以的的周周期期是是()(),( )3232fff x
8、(2) (2) 因因为为所所以以的的周周期期不不是是 判断下列语句的正确性判断下列语句的正确性. . 练习练习1 1 21欣然品尝欣然品尝sin()32yx 求求 的周期的周期T = 4 练习练习3 3 22欣然品尝欣然品尝 练习练习4 444f(x)=sin x+cos x2求证: 为的一个周期.23欣然品尝欣然品尝 练习练习4 444f(x)=sin x+cos x2求证: 为的一个周期.44: f(x+)=sin ()cos ()222xx证明44(cos )( sin )xx 44cossin( )xxf x44f(x)=sin x+cos x2所以, 为的一个周期.24思考？思考？若函数若函数f x满足满足2f xf x证明函数证明函数f x是周期函数是周期函数25完美终结完美终结 1.1.周期函数的定义周期函数的定义 3 3. .周期的求法：周期的求法：nTnT 2 2. .设设T T是是f(x) f(x) 的周期，则的周期，则_ (n_ (n为非为非 零整数零整数) )也是也是f(x)f(x)的周期的周期. . 我们应着重掌握我们应着重掌握26
