1、 反比例函数（优生集训）反比例函数（优生集训） 一、综合题一、综合题 1如图所示，点 A，B 分别在 轴、 轴上，点 在第一象限内， 轴于点 ，反比例函数 的图象过 CD 的中点 . （1）求证：； （2）求 的值； （3） 和 关于某点成中心对称，点 在 轴上，试判断点 是否在反比例函数的图像上，并说明理由. 2如图所示，点 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 作 轴，交另一个反比例函数 的图象于点 . （1）若 ，则 ； （2）当 时，若点 的横坐标是 1，求 的度数； （3）若无论点 在何处，反比例函数 图象上总存在一点 ，使得四边形 AOBD 为平行四边形，求 的值. 3如图，一次函
2、数与反比例函数（k 为常数，）的图象在第一象限内交于点，且与 x 轴、y 轴分别交于两点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点 P 在 x 轴上，且的面积等于 2，求点 P 的坐标 4如图，在平面直角坐标系中，有大正方形 AOBC 与小正方形 CDEF，其中点 A 落在 y 轴上，点 B落在 x 轴上，若反比例函数 的图象经过点 E，则称满足条件的 k 值为两正方形的和谐值.已知反比例函数图象与 AF 交于点 G，请解答下列各题. （1）概念理解若图中大正方形的边长为 2，小正方形的边长为 1，求这两个正方形的和谐值. （2）性质探究记图中两正方形面积分别为 ， ， ，求证：两个正
3、方形的和谐值 . （3）性质应用若图中大正方形的边长为 6，点 G 恰好是 AC 的三等分点，求小正方形的边长. 5已知反比例函数 和 ，过点 P（0，1）作 x 轴的平行线 l与函数 的图象相交于点 B,C. （1）如图 1，若 时，求点 B，C 的坐标； （2）如图 2，一次函数 交 l 于点 D 若 k5，B、C、D 三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点，求 m 的值； 过点 B 作 y 轴的平行线与函数 y3的图象相交于点 E当 m 值取不大于 的任意实数时，点B、C 间的距离与点 B、E 间的距离之和 d 始终是一个定值求此时 k 的值及定值 d 6有这样一个问题：探究函数 的图
4、象与性质小华根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）函数 的自变量 x 的取值范围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值m 的值为 ； x -2 -1 1 2 3 4 y 0 m 1 （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： （5）结合函数图象估计 的解的个数为 个 7已知点 A，B 在反比例函数 (x0)的图象上，它们的横坐标分别为 m，n，且 mn，过点A，点 B 都向 x 轴，y 轴作垂线段，其中两条垂线段的交点为
5、C （1）如图，当 m=2，n=6 时，直接写出点 C 的坐标： （2）若 A(m，n)，B(n，m)连接 OA、OB、AB，求AOB的面积：(用含 m 的代数式表示) （3）设 ADy轴于点 D，BEx轴于点 E若 ，且 ，则当点 C 在直线DE 上时，求 p 的取值范围 8在平面直角坐标系 xOy 中,函数 (x0)的图象与直线 l1: 交于点 A，与直线 l2：x=k 交于点 B.直线 l1与 l2交于点 C. （1） 当点 A 的横坐标为 1 时，则此时 k 的值为 ； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 记函数 (x0) 的图像在点 A、B 之间的部分与线段 AC，BC 围成的区
6、域(不含边界)为 W. 当 k=3 时，结合函数图像，则区域 W 内的整点个数是 ； 若区域 W 内恰有 1 个整点，结合函数图象，直接写出 k 的取值范围： . 9如图，已知线段 AB，A（2，1） ，B（4，3） ，现将线段 AB 沿 y 轴方向向下平移得到线段 MN，直线 ymxb 过 M、N 两点，且 M、N 两点恰好也落在双曲线 y= 的一条分支上， （1）求反比例函数和一次函数的解析式. （2）直接写出不等式 mx+b 0 的解集 （3）若点 C（x1，a） ，D（x2，a1）在双曲线 y= 上，试比较 x1和 x2的大小. 10在平面直角坐标系中，点 A，B，C 是 x 轴的正半
7、轴上从左向右依次排列的三点，过点 A，B，C分别作与 轴平行的直线 ， ， . （1）如图 1，若直线 与直线 ， ， 分别交于点 D，E，F 三点，设 D（ ， ） ，E（ ， ） ，F（ ， ）. 若 ， ， ，则 （填“=”，“”或“0，当且仅当 a= 时，a+ 有最小值，最小值为 ； （2）应用： 如图 1，已知点 P 为双曲线 y= (x0)上的任意一点，过点 P 作 PAx轴，PB 丄 y 轴，四边形 OAPB 的周长取得最小值时，求出点 P 的坐标以及周长最小值： 如图 2，已知点 Q 是双曲线 y= (x0)上一点，且 PQx轴， 连接 OP、OQ，当线段 OP 取得最小值时，
8、在平面内取一点 C，使得以 0、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形，求出点 C 的坐标. 16如图，已知一次函数 y=mx+n 的图像与 x 轴交于点 B，与反比例函数 (k0)的图像交于点 C，过点 C 作 CHx轴，点 D 是反比例函数图像上的一点，直线 CD 与 x 轴交于点 A，若HCB=HCA，且 BC=10，BA=16. （1）若 OA=11，求 k 的值； （2）沿着 x 轴向右平移直线 BC，若直线经过 H 点时恰好又经过点 D，求一次函数函数 y=mx+n的表达式. 17如图，若 A（4，n） ，B（2，4）是一次函数 ykx+b 的图象和反比例函数 y 的图象的两个交点
9、 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB的面积； （3）观察图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值 x 取值范围 18如图,直线 与 轴交于点 B,与双曲线 交于点 A,C,其中点 A 在第一象限,点 C 在第三象限. （1）求 B 点的坐标. （2）若 ,求 A 点的坐标. （3）在 (2)的条件下,在坐标轴上是否存在点 P,使AOP是等腰三角形?若存在,有几个符合条件的点 P? 19如图,A ,B 两点在函数 的图象上. （1）求 的值及直线 AB 对应的函数关系式. （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.
10、请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数. 20如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 两点. （1）求一次函数的关系式. （2）根据图象直接写出 的 的取值范围. （3）求 AOB 的面积. 21在平面直角坐标系 中（如图） ，点 为直线 和双曲线 的一个交点， （1）求 k、m 的值； （2）若点 ，在直线 y=kx 上有一点 ，使得 ，请求出点 的坐标； （3）在双曲线是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在请说明理由。 22如图，正方形 OAPB、ADFE 的顶点 A、DB 在坐标轴上，点 B 在 AP 上，点 P、F 在函数 上,已知正方形 OAPB 的面
11、积是 9. （1）求 k 的值和直线 OP 的解析式; （2）求正方形 ADFE 的边长 （3）函数 在第三象限的图像上是否存在一点 Q，使得ABQ的面积为 10.5？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 23如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC，ABC=90，顶点 A 在第一象限内，BC 在 x轴的正半轴上(B 在 C 的右侧)，AB= ，ACB=30，ADC与ABC关于 AC 所在的直线对称，且函数 y= (k0)的图象过点 D （1）当 OC=2 时，求 k 的值； （2）如图 2，若点 A 和点 D 在同一个反比例函数图象上，求 OC 的长； （3）在(2)的
12、条件下，点 D 与点 E 关于原点成中心对称，x 轴上有一点 F，平面内有一点 G，若D、E、F、G 四点构成的四边形是矩形，求 F 点的坐标 24小明在学习反比例函数后,为研究新函数 ,先将函数变形为 ,画图发现函数 的图象可以由函数 的图象向上平移 1 个单位得到. （1）根据小明的发现,请你写出函数 的图象可以由反比例函数 的图象经过怎样的平移得到； （2）在平面直角坐标系中,已知反比例函数 (x0)的图象如图所示,请在此坐标系中画出函数 (x0)的图象； （3）若直线 y=xb 与函数 (x0)的图象没有交点,求 b 的取值范围. 25如图，四边形 ABCD 的四个顶点分别在反比例函数
13、 y= 与 y= (x0，0mn)的图象上，对角线 BDy轴，且 BDAC于点 P，已知点 B 的横坐标为 5。 （1）当 m=10，n=30 时 若点 P 的纵坐标为 4，求直线 AB 的函数表达式 若点 P 是 BD 的中点，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由。 （2）四边形 ABCD 能否成为正方形?若能，求此时 m，n 之间的数量关系；若不能，试说明理由。 答案解析部分答案解析部分 【解析】【分析】(1)根据题意，利用 HL 证明 即可； (2)在 RtACD中，利用勾股定理求 AC 长，则可求出 OC，根据中点的定义求出 CE，则可求出点 E的坐标； (3) 由BFG和DCA
14、关于某点成中心对称，根据中心对称的性质求出 BF 和 FG 的长，从而求出 G点坐标，最后代入函数式判断即可. 【解析】【解答】解：如图，取 AB 与 y 轴的交点为 C 点， SAOC= 2=1， SBOC=SAOB-SAOC=2， k0， k=-4. 故答案为：-4. 【分析】 (1)根据反比例函数的 k 的几何意义求出AOC的面积，再利用面积的和差关系求出BOC的面积，最后再根据反比例函数的 k 的几何意义，结合 k0)下方，如下图， 区域 W 内唯一的 1 个整点为（1,1） ， 只需满足：当 时， ， ； 当点 C 在曲线 (x0)上方，如下图， 区域 W 内唯一的 1 个整点为（2
15、,2） ， 只需满足： 且当 时， ， ， ； 综上所述： 或 . 【分析】 （1）将 A 代入函数 (x0)与 l1: ，即可求出 ； （2）画出当k=3 时，相应的图象，由图得到整点的个数；分为点 C 在曲线 (x0)下方、上方两种情况画出符合题意的图象，据图写出 k 需要满足的条件. 【解析】【分析】 （1）设 AB 向下 c 个单位得到 MN,由 A（2，1） ，B（4，3） ，可得 M（2，1-c） ，N（4，3-c） ，由 M、N 两点恰好也落在双曲线 y= 的一条分支上，求得：c=5，即可得出 M、N 坐标，即可求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象结合 MN 坐标，
16、即可求不等式 mx+b 0 的解集； （3）分当 C（x1，a） ，D（x2，a1）在双曲线 y= 同一分支上时，和当 C（x1，a） ，D（x2，a1）在双曲线 y= 不同分支上时， 进行讨论即可得出答案. 【解析】【解答】解： （1）D（1， ） ，E（2， ） ，F（3， ） ，且过点 A，B，C 分别作与 轴平行的直线 ， ， ， A（1，0）,B（2,0）,C（3,0）, AB=BC=1， 过点 E 作 EMAD，过点 F 作 FNBE， DME=ENF=90， ， EDM=FEN， DMEENF， DM=EN， ， ， 故答案为：=； 【分析】 （1）根据点 D、E、F 的横坐标证
17、得 AB=BC=1，过点 E 作 EMAD，过点 F 作FNBE，证明DMEENF，得到 DM=EN，即可推出 ，由此得到答案；过点 E 作 EMAD，过点 F 作 FNBE，得到 ， ，根据 ， ， （ ） ，证得 DM=EN，证明DMEENF即可推出AB=BC； （2）连接直线 DF 交直线 于 G，根据点 A，B，C 的横坐标分别为 ，n， （ ） ，得到 AB=BC，D（n-1， ） ，E（n， ） ，F（n+1， ） ，由（1）得到 ，由直线 ， ， 与反比例函数 （ ）的图像分别交于点 D，E，F，求得 ， ，根据点 G 的纵坐标大于点 E 的纵坐标，点 E 的纵坐标为 ，得到 ，
18、即可推出 . 【解析】【分析】 （1）将点 A 的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点 A 的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； （2）BD2+nm，BCmn，DC2+nn2，由 BDBC 或 BDDC 或 BCCD 得：mn1 或 0 或 2，即可求解；点 E 的坐标为（ ，m） ，dBC+BEmn+（1 ）1+（mn） （1 ） ，即可求解. 【解析】【解答】 （1）解：点 A、B 为反比例函数 的图像上两点， A 点的横坐标与 B 点的纵坐标均为 1， 得到：A（1，4） ，B（4，1） ， 根据旋转的性质可知 （4，-1） ， （1，-4） ； 故答案为 （4，-1） ， （1，-4
19、） ； 【分析】 （1）利用旋转的性质即可解决问题； （2）由题意 A 和 B关于 x 轴对称，B 和 A关于 x 轴对称，连接 BB交 x 轴于 P，连接 AP，此时 PA+PB 的值最小，因为直线 BB的解析式为 ，根据 AB的解析式得到 p 点的坐标，最后利用面积相等求出 PQ 的解析式，解方程组即可得到答案； （3）分两种情形分别求解即可解决问题； 【解析】【解答】解： （2）由（1）知，AB=5， ABP是等腰三角形， 当 AB=PB 时， PB=5， P（0，0）或（10，0） ， 当 AB=AP 时，如图 2， 由（1）知，BD=4， 易知，点 P 与点 B 关于 AD 对称，
20、DP=BD=4， OP=5+4+4=13，P（13，0） ， 当 PB=AP 时，设 P（a，0） ， A（9，3） ，B（5，0） ， AP2=（9-a）2+9，BP2=（5-a）2， （9-a）2+9=（5-a）2 a= ， P（ ，0） ， 故满足条件的点 P 的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（ ，0）. 【分析】 （1）先求出 OB，再根据OAB的面积求出 AD，由于 OB=AB，再利用勾股定理求出BD，则可得出点 A 坐标，最后用待定系数法即可求反比例函数解析式即可； （2）分三种情况，当 AB=PB 时，得出 PB=5，则 OP 可求，即可求出 P 点坐标； 当 A
21、B=AP 时，根据等腰三角形的性质得出 DP=BD=4，即可求解； 当 PB=AP 时，可得出 AP2=（9-a）2+9，BP2=（5-a）2，根据相等列方程求解即可. 【解析】【分析】 （1）此处由题意可先求出反比例函数表达式，再根据 CO=CA 设出 A 点坐标求出 A点坐标，代入即可求出一次函数表达式.（2）此处根据数形结合找出一次函数与反比例函数关系即可.（3）此题可先求出 C 点坐标，根据 A，B，C 三点坐标求面积即可. 【解析】【解答】解： （1）根据题意知 a= 时最小，又a0，a=1，则 a+ =2. 【分析】 （1）根据题意给的定义直接代入计算即可.（2）设出坐标点，根据第
22、一问得出的结论直接应用.利用的思路，设出坐标点 P，再根据完全平方公式变形即可，求出 P 点坐标再求出 Q点，即可根据平行四边形性质求出 C 点坐标. 【解析】【分析】(1)由HCB=HCA及 CHx 轴得到CHBCHA，推出 BH=HA=8，由 BC=6根据勾股定理求出 CH，由 OA=11 进而得出 C 点坐标，求得 k 值；(2)过 D 点作 DNx轴于 N 点，由 H 是 AB 中点且 HDBC得到 D 是 AC 的中点，设 C 点坐标，进而表示出 D 点坐标，根据 k 相等即可建立方程求解. 【解析】【分析】 （1）将 B（2，-4）代入反比例函数解析式中求出 m 的值，再将 A 的
23、横坐标代入求出 A 的纵坐标，然后将 AB 的坐标分别代入ykx+b 中，求出 k，b 的值，即得一次函数解析式； （2）先求出点 C 的坐标，利用即可求出结论； （3） 观察图象可得当 或 时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，据此解答结论. 【解析】【分析】 （1）把 y=0 代入直线的函数式即可求 x 值，则 B 点坐标可知； （2） 设点 A 坐标为（ ,b） ， 根据AOB的面积为 2 求出 b 值，再把 b 代入反比例函数式即可求出 A 点坐标； （3）因为 AOP 是等腰三角形，没有确定哪条边是底和腰，所以要分类讨论，得到 x 轴和 y 轴上各有 4 个点，共 8 个点符合条件
24、. 【解析】【分析】 （1）因为图象经过 B 点，把 B 点坐标代入函数式即可求出 m, 现知 A、B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线 AB 的函数式； （2）用列举法，分别把 x=2,3,4,5 代入两个函数式，如果两个函数值之间有整数点，则有格点，否则就没有. 【解析】【解答】(2） ， 又A（1，6） ，B（3,2）是两图象的公共点， 则由图象可知当 0 3 时，直线在曲线的下方， x 的范围是：0 3 . 【分析】 （1）根据反比例函数式求出 A、B 点坐标，利用待定系数再求出一次函数式即可； （2） 由于 kx+b-0, 可得 kx+b, 看图象可得, 当 0 3 时，直线在曲线
25、的下方，即 kx+b； （3）过 A、B 分别作坐标轴的垂线，分别求出四边形 ACOD、四边形 ADEB 的面积，然后用分割法即可求出AOB的面积. 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题 （2）如图 1 中，设直线 y=- x 与反比例函数 y=- 的另一个交点为 C（4，-1） 由对称性可知：OA=OC，推出当点 P 与 C 重合时，SABP=2SABO，此时 P（4，-1） 当点 P 在 OA 的延长线上时，PA=AC 时，SABP=2SABO，再利用中点坐标公式求解即可 （3）如图 2 中，将 OA 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OA，则 A（1.4） ，取AA的中点 D
26、，作直线 OD 在第二象限交反比例函数于 M此时AOM=45，求出直线 OD 的解析式，再构建方程组确定点 M 的坐标 【解析】【分析】 （1）利用正方形的性质得到 P 点坐标为（3，3） ，再把 P 点坐标代入 即可得到 k 的值；然后利用待定系数法求直线 OP 的解析式； （2）设正方形 ADFE 的边长为 a，利用正方形的性质易表示 F 点的坐标为（a+3，a） ，然后把 F（a+3，a）代入 ，再解关于 a 的一元二次方程即可得到正方形 ADFE 的边长； （3）如图，连接 QA，QB，QO，AB，设 Q（x，y）(x0） ，利用 SABQ=SAOQ+ SBOQ+ SABO=10.5列
27、出关于 x 的方程求解即可. 【解析】【分析】 （1）由 AB= ，ACB=30，由勾股定理求得 AC 和 BC 的长，再由对称图形的特点知DCA=30，DC 等于 BC，过 D 作 x 轴的垂线，在 RtDCH中，CH 和 DH 可求，从而得到D 点的坐标，把 D 点坐标代入反比例函数式，K 值可求。 （2）设 OC=a, 根据题（1）的结果，把 A、D 的坐标用含 a 的代数式表示，因为 A、D 坐标在反比例函数图像上，所以 A、D 的橫纵坐标之积相等，据此列式求出 a 值。 （3） 若 D、E、F、G 四点构成的四边形是矩形， 只要求得 F 点坐标就可，要求 F 点坐标，分两种情况，即
28、1）当 DE 为矩形的一边时，即 ED 垂直 DF，设 F 点的坐标（m,0） ，由题（2）求得的坐标，根据勾股定理列式，求得 m 即可；2）当 ED 为矩形对角线，有 DF 垂直于 EF，再根据勾股定理列式，求得 m 即可。最后求得有四点符合题意。 【解析】【分析】 （1）由于 可以变形为,根据题干提供的信息，即可得出结论； （2）根据平移的方法即可画出函数图像； （3）联立两函数的解析式得出方程 整理,得 ，由两函数只有一个交点的时候，其根的判别式的值为 0，从而求出 b 的界点值，进而根据没有交点即可求出 b 的取值范围。 【解析】【分析】 （1）已知 m 的值和 B 点横坐标，代入 y
29、= ，求出 B 点坐标，PB 平行 y 轴，则P、B 两点横坐标相等，ACBD，则 A、P 点纵坐标相等，代入 y= 中，求得 A 点坐标，A、B点坐标已求，由待定系数法即可求出直线 AB 的函数解析式； （2）由 BDy轴得 B、D 的横坐标相等，结合 y= ，求出 D 点的坐标，再根据中点坐标公式求出 P 点坐标，由 P 点纵坐标，分别代入 和 ， 求出 A、C 点横坐标，由于 AC 平行 x轴，根据 A、P、C 的横坐标即可求出 PA 和 PC，因求得 PC=PA，结合 PD=PA，AC 垂直 BD，推得四边形 ABCD 为菱形； （3）根据 B 的横坐标为 4，结合反比例函数式，把 BD 的坐标用含 m 或 n 的代数式表示，根据中点坐标公式求出 P 点坐标，因 AC 平行 x 轴，则纵坐标相同，由 P 点纵坐标结合反比例函数式把A、C 两点坐标用含 m、n 的代数式表示，求出 AC 的长度，根据 AC=BD 列关系式整理化简即可得出 m+n 的值。
