1、 二次函数二次函数 （优生集训）（优生集训）3 3 一、综合题一、综合题 1已知：如图 1，抛物线的顶点为 M，平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点 A，B（点 A 在点 B 左侧） ，根据对称性AMB恒为等腰三角形，我们规定：当AMB为直角三角形时，就称AMB为该抛物线的“完美三角形”. （1）如图 2，求出抛物线 yx2的“完美三角形”斜边 AB 的长； 抛物线 yx2+1 与 yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ； （2）若抛物线 yax2+4 的“完美三角形”的斜边长为 4，求 a 的值； （3）若抛物线 ymx2+2x+n5 的“完美三角形”斜边长为 n，且 ymx2+2x+
2、n5 的最大值为1，求 m，n 的值. 2已知抛物线 ymx2+（22m）x+m2（m 是常数）. （1）求证：无论 m 取何值，该抛物线都与 x 轴有两个不同的交点. （2）当 m 取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图象上，求出这个函数的表达式. （3）若抛物线顶点在第四象限，当 x0时，至少存在一个 x 的值，使 y0，求 m 的取值范围. 3如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 坐标为（6，8） ，O 为坐标原点，连结 OA，二次函数 yx2图象从点 O 沿 OA 方向平移，顶点始终在线段 OA 上（包括端点 O 和 A） ，平移后的抛物线 yax2+bx+c 与直线 x6 交于
3、点 P，顶点为 M. （1）若 OM5，求此时二次函数的解析式，并求不等式 ax2+bx+c x 的解集. （2）二次函数图象平移过程中，设点 M 的横坐标为 m，直线 AP 交 x 轴于点 B，线段 PB 是否存在最小值？若存在，求出此时 m 的值；若不存在，说明理由. 4若 y 是 x 的函数，h 为常数（ ） ，若对于该函数图象上的任意两点（ ， ） 、（ ， ） ，当 ， （其中 a、b 为常数， ）时，总有 ，就称此函数在 时为有界函数，其中满足条件的所有常数 h 的最小值，称为该函数在 时的界高 （1）函数： ， ， 在 时为有界函数的是： （填序号） ； （2）若一次函数 （ ）
4、 ，当 时为有界函数，且在此范围内的界高为 ，请求出此一次函数解析式； （3）已知函数 （ ） ，当 时为有界函数，且此范围内的界高不大于 4，求实数 a 的取值范围 5合肥市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元，在整个销售旺季的 80天里，销售单价 （元/千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： ，日销售量 （千克）与时间第 （天）之间的函数关系如图所示： （1）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （2）该养殖户有多少天日销售利润不低于 2400 元？ （3）在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 千克小龙虾，就捐赠 元给村里的特困户在这前 40 天
5、中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 的增大而增大，求 的取值范围 6如图，对称轴 x1 的抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） ，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，2） ， （1）求抛物线和直线 BC 的函数表达式； （2）若点 Q 是直线 BC 上方的抛物线上的动点，求BQC的面积的最大值； （3）点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作过点 P 作 PDx轴于点 D，交直线 BC 于点 E若点 P 在第四象限内，当 OD4PE 时，PBE的面积； （4）在（3）的条件下，若点 M 为直线 BC 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M 和点 N
6、，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 7如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ，与 轴交于点 与 轴交于点 、 且点 ， ，点 为抛物线上的一动点 （1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，若点 在 的上方，作 平行于 轴交 于点 ，连接 ， ，当 时，求点 坐标； （3）设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 在直线 上，当以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点 的坐标 8二次函数 ya(xp)(xq)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A(1，0
7、)， C(0，m)(m0) （1）用只含 a，m 的代数式表示点 B 的坐标 （2）当 AB 时，写出二次函数的对称轴 （3）若点 P(n，y1)，Q(4，y2)均在二次函数 ya(xp)(xq)图象上，且当2n4 时，有 y1y2，求实数 的取值范围 9如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线上一动点，连接 PB，PC （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，当点 P 在直线 BC 上方时，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E若 PE2ED，求PBC 的面积； （3）抛物线上存在一点 P，使PBC
8、 是以 BC 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标 10如图，直线 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，已知二次函数的图象经过点 B、C 和点 A（-1，0） （1）求 B、C 两点坐标； （2）求该二次函数的关系式； （3）若抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D，点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF的最大面积及此时 E 点的坐标 （4）若抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D，则在抛物线在对称轴上是否存在在 P，使三角形 PCD是以 CD 为腰在等腰三角形？如
9、果存在，直接写出点 P 在坐标；如果不存在，请说明理由 11若抛物线 与直线 交 轴于同一点，且抛物线的顶点在直线 上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一. （1）求抛物线 的“伙伴函数”表达式； （2）若直线 与抛物线 互为“伙伴函数”，求 m 与 c 的值； （3）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为 且 ，它的一个“伙伴函数”表达式为 ，求该抛物线表达式，并确定在 范围内该函数的最大值. 12定义；若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若函数 G1的图象与函数 G2的图象相交
10、于 A、B 两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的 2 倍，则称函数 G1与函数 G2互为“倍根函数”，A、B 两点间的水平距离为“倍宽”. （1）若 是“倍根方程”，求 k 的值； （2）函数 与 互为“倍根函数”且“倍宽”为 2，求 的值； （3）直线 l：ytx+d 与抛物线 L：y2x2+px+q（qd）互为“倍根函数”，若直线 l 与抛物线 L 相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，且 2+2t2AB23+3t2，令 6x0|pt|，若二次函数 y0（x0m）2+m2+1 有最大值 4，求实数 m 的值. 13如图，已知抛物线 yx2bxc 与一直线相交于 A（1，
11、0） ，C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N.其顶点为 D. （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 APC 的面积的最大值. （3）在抛物线对称轴上是否存在一点 M，使以 A，N，M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标.若不存在，请说明理由. 14如图 1，已知抛物线 yax2经过点（2，1）. （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 y x+2 交抛物线于点 C、D，点 P 是直线 CD 下方的抛物线上一动点，若 SPCD最大，求此时点 P 的坐标，并求出 SPCD的最大值； （3）如图 2，直线 y
12、kx+2 与抛物线交于点 E，F，点 P 是抛物线上的动点，延长 PE，PF 分别交直线 y2 于 M，N 两点，MN 交 y 轴于 Q 点，求 QMQN 的值. 15如图 1，已知抛物线 y x2与直线 y x+1 交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） （1）求 A、B 两点的坐标. （2）在直线 AB 的上方的抛物线上有一点 D， ，求点 D 的坐标. （3）如图 2，直线 ykx+2 与抛物线交于点 E、F，点 P 是抛物线上的动点，延长 PE、PF 分别交直线 y2 于 M、N 两点，MN 交 y 轴于 Q 点，求 QMQN 的值. 16如图，点 在函数 的图像上已知 的横坐标分别
13、为2、4，直线 与 轴交于点 ，连接 （1）求直线 的函数表达式； （2）求 的面积； （3）若函数 的图像上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有 个 17如图，在平面角坐标系中，已知抛物线 与 x 轴交于点 A 和点 B，点 A 在点 B的左侧，与 y 轴交于点 C. （1）求 A 点、C 点的坐标； （2）点 P 是第四象限内的抛物线上一点，连接 ， ， .若四边形 的面积为 ，请求出此时点 P 的坐标； （3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，新抛物线 与原抛物线对称轴交于点 D.点 E 为新抛物线 上的一个动点，点 为直线 上一点，直接写出所有使
14、得以点 D，E，F，B 为顶点构成的四边形是平行四边形的点 E 的横坐标，并把求其中一个点E 的横坐标的过程写出来. 18已知函数 yx2+（m1）x+m（m 为常数） ，其顶点为 M. （1）请判断该函数的图象与 x 轴公共点的个数，并说明理由； （2）当2m3 时，求该函数的图象的顶点 M 纵坐标的取值范围； （3）在同一坐标系内两点 A（1，1） 、B（1，0） ，ABM的面积为 S，当 m 为何值时，S 的面积最小？并求出这个最小值. 19已知：二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 D（2，3）在抛物
15、线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出 PA+PD 的最小值； （3）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 E，使 B、D、E、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 E 点坐标；如果不存在，请说明理由 20在矩形 ABCD 中，AB5cm，BC6cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以 1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2cm/s 的速度移动如果 P、Q 分别从 A、B同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动设运动时间为 t 秒 （1）填空：
16、BQ ，PB （用含 t 的代数式表示） ； （2）当 t 为何值时，PQ 的长度等于 5cm？ （3）是否存在 t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26cm2？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 （4）是否存在 t 的值，使BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 21如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于 C 点，且 OC3OB，顶点为 D 点，连接 OD. （1）求抛物线解析式； （2）P 点为抛物线上 AD 部分上一动点，过 P 点作 PFDE
17、交 AC 于 F 点，求四边形 DPAF 面积的最大值及此时 P 点坐标. 22已知二次函数 yx22（m+1）x+3m，其中 m 是常数. （1）若函数的图象经过点（1，8） ，求此函数的解析式. （2）当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，求 m 的最小值. （3）当1x2 时，若二次函数图象始终在直线 y3 的上方，请直接写出 m 的取值范围. 23如图，已知抛物线 与 x 轴交于 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其对称轴为直线 . （1）直接写出抛物线的解析式； （2）把线段 沿 x 轴向右平移，设平移后 A、C 的对应点分别为 、 ，当 落在抛物线上时，求 、 的坐标； （3）
18、除（2）中的平行四边形 外，在 x 轴和抛物线上是否还分别存在点 E、F，使得以A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由. 24若函数图象关于 y 轴对称，则我们称这样的函数为“YY 函数”，例如： 是“YY 函数”. （1）在下面的函数中，是“YY 函数”的是 . ； ； . （2）关于 x 的“YY 函数”，当 x0 的时，图象是经过 A（1，2） ，B（3，5）的直线，当 x0 时，求“YY 函数”的解析式. （3）直线 与关于 x 的“YY 函数” 的图象有 3 个交点，求 a 的值. 25如图，抛物线 yx2（m1）xm 与 y
19、轴交于点（0，3） （1）当 x 满足 时，y 的值随 x 值的增大而减小； （2）当 x 满足 0 x4 时，y 的取值范围是 ； （3）点 P 为抛物线上一点，且 SAPC ，求点 P 的坐标. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解： （1）抛物线 yx2+1 与 yx2的形状相同， 抛物线 yx2+1 与 yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等； 故答案为：相等； 【分析】 （1）过点 B 作 BNx轴，垂足为 N，根据AMB为等腰直角三角形和平行线的性质得BMNABM45，所以BMNMBN，得到 MNBN，设 B 点坐标为（n，n） ，代入抛物线 yx2，得 nn2，解
20、方程求得 n 的值，则可得 B 的坐标，用勾股定理求出 BM 的长度； 在RtAMB 中，用勾股定理计算可求解； 因为抛物线 yx21 与 yx2的形状相同，所以抛物线 yx21 与 yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系也相等； （2）根据抛物线 yax2与抛物线 yax24 的形状相同，所以抛物线 yax2与抛物线 yax24 的“完美三角形”全等，所以抛物线 yax24 的“完美三角形”斜边的长为 4，所以抛物线 yax2的“完美三角形”斜边的长为 4，故 B 点坐标为（2，2）或（2，2） ，把点 B 的坐标代入 yax2中计算即可求解； （3） ）根据 ymx22xn5 的最大值为
21、1 可求得1，化简得 mn4m10，根据抛物线 ymx22xn5 的“完美三角形”斜边长为 n，所以抛物线 ymx2的“完美三角形”斜边长为 n，所以把 B 点坐标(n2，n2)代入抛物线 ymx2，得关于 mn 的方程，解之可求解 【解析】【分析】 （1）令 y=0 可得0mx2+(2-2m)x+m-2，判断出 的正负，据此证明； （2）根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（1-，-） ，令 1- x，-y，据此不难得到 y与 x 的表达式； （3）把 x0 代入 ymx2+(2-2m)x+m-2 得 ym-2，当 m0 时，抛物线开口向上，m-20 时，抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方，解
22、得 m2，由顶点在第四象限可得 m 的范围；当 m0 时，抛物线开口向下，若顶点在第四象限则抛物线与 x 轴无交点，不符合题意，据此解答. 【解析】【分析】 （1）设直线 OA 解析式为 ykx，将（6，8）代入求出 k，据此可得直线 OA 的解析式，设 M（m，m） ，由勾股定理表示出 OM，结合 OM=5 可得 m 的值，进而得到点 M 的坐标，求出抛物线的解析式，联立直线 OA 的解析式求出 x，据此可得 x 的范围； （2）根据点 M 的坐标表示出二次函数的解析式，将 x=6 代入求出 y，表示出 PB，然后利用二次函数的性质可得 PB 的最小值. 【解析】【解答】解： (1) 是正比
23、例函数， 当 时，-2y2，为有界函数； 是反比例函数，x 趋近于 0 时，y 趋近于无穷大，为无界函数； 是二次函数，最小值为 0，当 x=1 或-1 时，y 最大=1，当 时，0y1，为有界函数. 故答案为： . 【分析】(1)根据有界函数的定义，结合绝对值、一次函数、反比例函数、二次函数图象的性质分别分析，即可解答； (2)分 k 0 和 k 0 两种情况，根据一次函数递增性， 通过列一元一次方程并求解，即可得到答案; (3)结合有界函数的定义，结合二次函数图象的性质，分两种情况讨论，即(a+1)-aa-1, (a+1)-a 0和 a 0，再利用已知条件和二次函数的增减性与对称性，分别求
24、出 a 值即可. 【解析】【分析】 （1）将点 A，B 的坐标代入二次函数解析式，建立关于 b，c 的方程组，解方程组求出 b，c 的值，可得到二次函数解析式. （2）利用二次函数解析式，由 x=0 可求出 y 的值，由此可得到点 C 的坐标，利用待定系数法求出直线 BC 的函数解析式；利用已知可得到 PD=3DE，设 P（m，m2+2m+3） ，E（m，m+3） ，可表示出 PE 和 DE 的长，建立关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，可得到点 P 的坐标；然后利用三角形的面积公式，可求出PBC的面积. （3）利用已知条件：抛物线上存在一点 P，使PBC是以 BC 为直角边的直角三角形，
25、分情况讨论：点 C 为直角顶点； 点 B 为直角顶点；过点 C 作直线 P1CBC，交抛物线于点 P1，连接P1B，交 x 轴于点 D； 过点 B 作直线 BP2BC，交抛物线于点 P2，交 y 轴于点 E，连接 P2C，如图所示，利用点 B，C 的坐标可知BCOOBC45，由此可求出DCO=CDO=45，可证得OD=OC，即可得到点 D 的坐标；再利用待定系数法求出直线 P1C 的解析式 ，将两函数解析式建立方程组，求出方程组的解，可得到符合题意的点 P 的坐标；再求出直线 BP2的解析式 ，将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到符合题意的点 P 的坐标，综上所述可得到符合题意的点
26、P 的坐标. 【解析】【解答】解： （4）如图， 点 C（0，2） ，点 D（，0） 当 CD=DP1=2.5 时， 点 P1（1.5，2.5） ； 当 DC=CP2=2.5 时 DP2=2+2=4 点 P2（1.5，4） ； 当 CD=DP3=2.5 时 点 P3（1.5，-2.5） P 的坐标为(1.5,4) 或(1.5,2.5) 或(1.5,-2.5) . 【分析】 （1）由 x=0 求出对应的 y 的值，可得到点 C 的坐标，由 y=0 可求出对应的 x 的值，可得到点 B 的坐标. （2） 设二次函数 y=ax2+bx+c(a0) ，将点 A，B，C 的坐标代入函数解析式，建立关于
27、a，b，c 的值，即可得到二次函数解析式. （3）先求出抛物线的对称轴，可得到点 D 的坐标，利用函数解析式设 E ，可表示出点，从而可表示出 EF 的长，再用含 t 的代数式表示出四边形 CDBF 的面积与 t 之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果. （4）利用点 C，D 的坐标，根据勾股定理可求出 CD 的长，再分情况讨论：当 CD=DP1=2.5 时；当DC=CP2=2.5 时；当 CD=DP3=2.5 时；分别求出符合题意的点 P 的坐标. 【解析】【分析】 （1）先求出抛物线的顶点坐标和与 y 轴的交点坐标，再代入“伙伴函数”y=mx+n，求出 m，n 的值，即可得出答案
28、； （2）先求出直线 y=mx-3 与 y 轴的交点坐标，代入抛物线的解析式求出 c 的值，从而而得出抛物线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线的解析式，即可求出 m 的值； （3）根据题意联立方程组，解方程组求出 k，t 的值，设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+3， 利用待定系数法求出抛物线的解析式，得出当 x=-1 时，函数有最小值 3，再求出当 x=4 时 y 的值，即可得出答案. 【解析】【分析】 （1）易得 x14，x2，接下来分x12x2、x22x1就可求出 k 的值； （2）易得 m0，设交点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，A 在 B 的左边，由题意可得
29、 x2-x1=2，x1+x2=-m，x1x2=-k，接下来分 x12x2、x22x1就可求出 m、k 的值； （3）由根与系数的关系可得 x1+x2(t-p)，x1x2(q-d)，设：x12x2x，然后表示出 AB2，得到 6|p-t|6，结合 6x0|p-t|可得 x0的范围，接下来分m，m ，m并结合二次函数的性质进行求解. 【解析】【解答】解： （3）存在，理由如下： 抛物线的表达式为 ， 其对称轴为 ， 将 x0 代入 得 ， 点 N 的坐标为（0，3） ， 设点 ， 又 ， ， ， ， 当 是斜边时，则 ， 解得： ； 当 是斜边时，则 ， 解得： 或 2； 当 是斜边时，则 ， 解
30、得： ； 故点 M 的坐标为 或 或 或 . 【分析】 （1）将点 A、C 的坐标代入 y=-x2+bx+c 中求出 b、c，据此可得抛物线的解析式；将点 A、C 的坐标代入 y=kx+n 中求出 k、n，据此可得直线 AC 的解析式； （2）过点 P 作 PQx轴交 AC 于点 Q，交 x 轴于点 H，过点 C 作 CGx 轴于点 G，设 Q（x，x+1） ，则 P（x，-x2+2x+3） ，表示出 PQ，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系表示出 SAPC，然后结合二次函数的性质就可得到面积的最大值； （3）由抛物线的解析式可得对称轴，令 x=0，求出 y，据此可得点 N 的坐标，设
31、M（1，m） ，根据两点间距离公式表示出 AM2，AN2，MN2，接下来分 AM 为斜边、AN 为斜边、MN 为斜边并结合勾股定理求出 m，据此可得点 M 的坐标. 【解析】【分析】 （1）将（-2，1）代入 y=ax2中求出 a，据此可得抛物线的解析式； （2）过点 P 作直线 PEy 轴交 CD 于 E，设 P（m，m2） ，则 E（m，m+2） ，表示出 PE，联立直线与抛物线的解析式求出 x、y，据此可得点 C、D 的坐标，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系表示出 SPCD，然后根据二次函数的性质进行求解； （3）设 E（x1，x12） ，F（x2，x22） ，P（n，n2） ，
32、求出直线 PE、PF 的解析式，令 y=-2，表示出xM，xN，联立 y=kx+2 与二次函数的解析式并结合根与系数的关系可得 x1+x2=4k，x1x2=-8，接下来根据QMQN=-xMxN进行计算. 【解析】【分析】 （1）联立直线与抛物线方程可得 x，然后求出 y，据此可得点 A、B 的坐标； （2）过点 B 作 BH/x 轴，作 AGBH 于点 G，DHBH 于 H，求出 AG，设 D（m，m2） ，表示出DH、GH，根据梯形、三角形的面积公式以及面积间的和差关系表示出 SABD，求出 m 的值，进而可得y，据此得到点 D 的坐标； （3）设 E（x1，x12） ，F（x2，x22）
33、，P（n，n2） ，求出直线 EP、FP 的解析式，令 y=-2，表示出xM，xN，联立抛物线与 y=kx+2 并结合根与系数的关系可得 x1+x2=4k，x1x2=-8，然后根据 QMQN=-xMxN进行解答. 【解析】【解答】解： （3）设点 P 的坐标为（ ， ） 的面积等于 的面积的一半， 的面积等于 =3， 当点 P 在直线 AB 的下方时，过点 A 作 ADx 轴，过点 P 作 PFx 轴，过点 B 作 BEx 轴，垂足分别为 D，F，E，连接 PA，PB，如图， 整理，得， 解得， ， 在直线 AB 的下方有两个点 P，使得 的面积等于 的面积的一半； 当点 P 在直线 AB 的
34、上方时，过点 A 作 ADx 轴，过点 P 作 PFx 轴，过点 B 作 BEx 轴，垂足分别为 D，F，E，连接 PA，PB，如图， 整理，得， 解得， ， 在直线 AB 的上方有两个点 P，使得 的面积等于 的面积的一半； 综上，函数 的图像上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有 4 个， 故答案为：4 【分析】 （1）由抛物线的解析式求得 A、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 AB 的解析式； （2）由直线 AB 的解析式求得 C 的坐标，然后根据 ，利用三角形面积公式即可求得答案； （3）过 OC 的中点，作 AB 的平行线交抛物线两个交点 P1、P2，
35、作直线 P1P2关于直线 AB 的对称直线，交抛物线两个交点 P3、P4，此时 的面积等于 的面积的一半 。 【解析】【分析】 （1）分别令 x=0、y=0，求出 y、x 的值，进而可得 A、B、C 的坐标； （2）连接 OP，设 P（x，x2-2x-3） ，由点 P 在第四象限可得 x 的范围，根据三角形的面积公式以及四边形 ACPB 的面积=建立方程， 可得 x 的值，求出对应的 y 的值，据此可得点 P 的坐标； （3）易得 AO、CO、AC 的值，求出原抛物线的对称轴以及顶点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，根据平移得抛物线 y的解析式，设 E（a，a2-4a-3）
36、 ，由平行四边形的性质得DEBF，DE=BF，求出直线 DE 的解析式，联立 y=x2-4x-3 求出 x，即点 E 的横坐标；同理可求出DBEF，DB=EF 时，对应的点 E 的横坐标. 【解析】【分析】 （1）计算判别式的值，根据结果进行判断即可； （2）把函数解析式化为顶点式，结合 m 的范围，即可求出图象顶点 M纵坐标的取值范围； （3）利用（2）求出 M（,）,再求出直线 AM 的解析式，从而求出逐项与 x 轴交点的横坐标，利用三角形的面积公式求出ABM 的面积 S 与 m 的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可. 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据抛
37、物线的对称性，连接 BD 与对称轴的交点即为所求的 P 点，此时 PA+PD 的值最小，最小值为 BD 的长，利用勾股定理求出 BD 的长即可； （3）分两种情况：可求出CDx 轴，当 BE1=BE2=CD 时为平行四边形，据此点 E 坐标. 当GEBD 且相等时为平行四边形，求出此时点 E 坐标即可. 【解析】【解答】解： （1）由题意： ， ， 故答案为 ， 【分析】 （1）根据路程=速度时间，分布求出 BQ、AP 的长，从而求出 PB=AB-PB 的长即可； （2）根据勾股定理可得 PB2+BQ2=PQ2，据此建立关于 t 的方程，解之即可； （3）存在.先求出PBQ的面积=长方形 AB
38、CD 的面积- 五边形 APQCD 的面积 =4，再由PBQ的面积= ，求出 t 值即可求解； （4） 由（3）知 的面积为 ，利用二次函数的性质求解即可. 【解析】【分析】 （1）根据点 A、B 的坐标可得 OA、OB，根据 OC=3OB 可得 OC，进而可得点 C 的坐标，然后将点 A、B、C 的坐标代入 y=ax2+bx+c 中求出 a、b、c，据此可得抛物线的解析式； （2）由抛物线解析式可得顶点 D 的坐标，过点 E 作 EMOA于 M，过点 P 作 PNOA于 N，连接EP，易得 SDPF=SEPF，根据面积间的和差关系可得 S四边形DPAF=SAPE，设 P（m，-m2+2m+3
39、） ，则ON=m，PN=-m2+2m+3，求出直线 AC、OD 的解析式，联立求解可得 x、y，进而可得点 E 的坐标，求出 OM、ME、MN、NA，根据三角形、梯形的面积公式结合面积间的和差关系表示出 SAPE，根据二次函数的性质就可得到最大值以及对应的点 P 的坐标. 【解析】【解答】解： （3）二次函数 ， 函数图象的对称轴为直线 ，图象的开口向上， 当 时，此时 此时当 时，函数值取最小值， 所以此时符合条件的 m 不存在； 当 时，此时 此时当 时，函数值取最小值， 当 即 m 此时当 时，函数取最小值， 最小值为： 即 令 由二次函数 图象的开口向上， 的解集为： ， 所以： ，
40、综上：m 的取值范围为： . 【分析】(1)把已知点坐标代入函数式求出 a 值，即可解答； (2)先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口向上，根据二次函数的性质得出在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小， 得出 ， 即可解答； (3)分三种情况讨论，即当 x=m+ 12 时，当 x=m+I- 1 时， 当- 1m+12 时，再结合二次函数的性质分别解答，即可求出结果. 【解析】【解答】解： （1）A（-2，0） ，对称轴为直线 x=1. B（4，0） ， 把 A（-2，0） ，B（4，0）代入抛物线的表达式为： ， 解得： ， 抛物线的解析式为：y=- x2+x+4； 【分析】(1)先根据对称
41、关系求出 B 点坐标，再利用待定系数法求抛物线解析式即可； (2)先求出抛物线与 y 轴交点 C 的坐标，然后根据对称关系求出 C点坐标，则可得出平移的长度，从而求出 A的坐标； (3) 设 F（x，- x2+x+4） ，分两种情况讨论，即 以AC 为平行四边形的边， 根据平行四边形的性质可得EFAC 且 EF=AC，过点 F1作 F1Dx 轴于点 D， 根据 AAS 证明RtAOCRtE1DF1，根据全等三角形的性质求出DE1和 DF1的长，根据 DF=4 构建方程求解，从而可求出 E、F 的坐标； 【解析】【解答】解： （1）分别画出函数相应的图象如下： 由图可知：是“YY 函数”的是，
42、故答案为：； 【分析】 （1）由题意用描点法画出图象，根据“YY 函数”的定义并结合各函数图象即可判断求解； （2）根据“YY 函数”的定义得 A（1，2） ，B（3，5）关于 y 轴对称的点 A、B的坐标，用待定系数法可求解； （3）当 a=0 时，画出图象可知只有一个交点，不可能有三个交点；当 a0 时，画出图象可知不可能有三个交点；当 a0 时，把直线和二次函数的解析式联立解方程组，整理可得关于 x 的一元二次方程，根据一元二次方程的根的判别式可求解. 【解析】【解答】解： （1）将（0，3）代入 yx2（m1）xm 得，3m， 则抛物线的表达式为 y 2x3， 函数的对称轴为直线 x 1， a=10，故抛物线开口向下， 当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小， 故答案为：x1； （2）当 x0 时，y 2x3 ；当 x4 时，y 2x35， 而抛物线的顶点坐标为（1，4） ， 故当 x 满足 0 x4 时，y 的取值范围是5y4， 故答案为：5y4； 【分析】 （1）把（0，3）代入解析式计算求得 m 的值，再根据抛物线的对称轴 x=并结合抛物线的性质即可求解； （2）根据性质即可求解； （3）作 PHAB于 H，分别讨论点 P 在第一、第二、第三、第四象限并结合 SACP的构成可求解
