1、 简单事件的概率简单事件的概率 （提高训练）（提高训练） 一、单选题一、单选题 1不透明的袋子中只有 2 个黑球和 1 个白球，这些球除颜色外其他无差别，随机从袋子中一次摸出2 个球，下列事件为必然事件的是（ ） A2 个球都是黑球 B2 个球都是白球 C2 个球中有黑球 D2 个球中有白球 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意可得有 2 个黑球和 1 个白球，则摸出的 2 个球中一定有黑球. 故答案为：C. 【分析】根据黑球、白球的个数可得摸出的 2 个球中一定有黑球，据此判断. 2下列说法正确的是（ ） A“山川异域，风月同天”是随机事件 B买中奖率为 1%的奖券 100 张，一定会中
2、奖 C“同旁内角互补”是必然事件 D一枚硬币连抛 100 次，可能 50 次正面朝上 【答案】D 【解析】【解答】解：A、“山川异域，风月同天”是必然事件，故错误； B、买中奖率为 1%的奖券 100 张，可能会中奖，可能不会中奖，是随机事件，故错误； C、“同旁内角互补”是随机事件，故错误； D、一枚硬币连抛 100 次，可能 50 次正面朝上，正确. 故答案为：D. 【分析】必然事件：在条件，一定会发生的事件，叫做必然事件；不可能事件：在条件下，一定不可能发生的事件，叫做不可能事件；随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；
3、事件发生可能性的大小用概率表示，概率越大，事件发生的可能性就越大，据此一一判断得出答案. 3寒假期间，语文老师给学生布置了阅读任务，小国、小玲分别从红楼梦 、 西游记 、 三国演义三本名著中随机选择两本作为自己的阅读书目，则她俩选择的书目完全相同的概率是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】根据题意可列出表格如下， 红楼梦 西游记 三国演义 红楼梦 红楼梦 红楼梦 西游记 红楼梦 三国演义 红楼梦 西游记 红楼梦 西游记 西游记 西游记 三国演义 西游记 三国演义 红楼梦 三国演义 西游记 三国演义 三国演义 三国演义 根据表格可知共有 9 种可能的情况，其中她俩选择的书目完全相
4、同的情况有 3 种， 她俩选择的书目完全相同的概率是 故答案为：C 【分析】根据列表法可求出她俩选择的书目完全相同的概率。 4从2， ，0， 这五个数中任意抽取一个，抽到无理数的概率为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】【解答】解：在2， ，0， 这五个数中，无理数有 2 个， 抽到无理数的概率为 . 故答案为：B. 【分析】根据对无理数的认识可得 、 为无理数，然后根据概率公式进行计算. 5在一个不透明的口袋中装有 4 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%附近，则口袋中白球可能有（ ） A12 个 B14 个 C16 个 D
5、18 个 【答案】A 【解析】【解答】解：设白球个数为：x 个， 摸到红色球的频率稳定在 25%左右， 口袋中得到红色球的概率为 25%， ， 解得：x=12， 经检验 x=12 是原方程的根， 故白球的个数为 12 个 故答案为：A 【分析】设白球个数为 x 个，利用频率估计概率可得，解之即可. 6做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数 m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 0.530 0.512 0.529 0
6、.517 0.522 0.519 0.521 0.520 下面有 3 个推断： 当抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是 0.512，所以“正面向上”的概率是 0.512； 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.520 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.520； 若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为 3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是 1558 次其中所有合理推断的序号是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】解：当抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是 0.512，所以“正面向上”的概率是 0.512；随
7、着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在什么数值附近摆动，才能用频率估计概率，故不符合题意； 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.520 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.520；符合题意； 若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为 3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558 次符合题意； 故答案为：C 【分析】利用频率估计概率，再根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而解答问题。 7投掷一枚质地均匀的硬币 m 次，正面向上 n 次，下列表达正确的是（ ） A的值一定是 B的值一定不是 Cm 越大，的值越接近 D随着 m 的增加，
8、的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性 【答案】D 【解析】【解答】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着 m 的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性； 故答案为：D 【分析】根据频率估算概率的计算方法求解即可。 8在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 0.6 左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A5 B8 C12 D15 【答案】C 【解析】【解答】解：设红球的个数为 x 个， 根据题意，得：， 解得：x=12， 即袋子中红球的个数最有可能是
9、 12， 故答案为：C 【分析】设红球的个数为 x 个，根据概率的定义列方程，解方程求解。 9育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试条件相同的情况下，得到如下数据： 抽查小麦粒数 100 300 800 1000 2000 3000 发芽粒数 96 287 770 958 1923 a 则 a 的值最有可能是（ ） A2700 B2780 C2880 D2940 【答案】C 【解析】【解答】解： =2880， 故答案为：C 【分析】根据表格中所给的数据，求出=2880，即可作答。 10有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙
10、开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】【解答】由题意可得：共有 种等可能情况，其中能打开锁的情况有 2 种， 故一次性打开锁的概率为 ； 故答案为：A. 【分析】先求出所有等可能出现的情况数，再找出能打开锁的情况数，最后求概率即可. 二、填空题二、填空题 11标有数字 1 到 9 的相同大小的纸片 9 张，从中抽到一张素数纸片的可能性大小为 【答案】 【解析】【解答】解：1 到 9 的数字中，属于素数的有 2、3、5、7，则从中抽到一张素数纸片的可能性大小为 . 故答案为：. 【分析】根据素数的概念可得：1 到 9 的数字中，属于素数的有 2、3、5、7，
11、然后用素数卡片的数量除以卡片的总数量即可得出答案. 12从标有数字 1，2，3，4，5 的五张卡片中，无放回地随机抽取两张，将抽取的卡片上的数字组成一个两位数，所组成的两位数的数字中为偶数的概率为 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，列表如下： 1 2 3 4 5 1 12 13 14 15 2 21 23 24 25 3 31 32 34 35 4 41 42 43 45 5 54 52 53 54 由上表可知，一共有 20 种等可能性的情况，其中所组成的两位数的数字中为偶数的情况有 8 种， 所组成的两位数的数字中为偶数的概率为： 故答案为： 【分析】由列表法列举出一共有 20 种等可
12、能性的情况，其中所组成的两位数的数字中为偶数的情况有 8 种，然后利用概率公式计算即可. 13某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如下表： 投篮次数 10 100 10000 投中次数 9 89 9012 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 (精确到 0.1) 【答案】0.9 【解析】【解答】解：， 这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 0.9. 故答案为：0.9. 【分析】对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会较大，为了减少误差，则常采用多批次计算求平均数的方法来确定投中的概率. 14在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有 20 个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小刚
13、每次换出一个球后放回通过多次摸球实验后发现摸到黄色球的频率稳定在 40%，则布袋中白色球的个数很可能是 . 【答案】12 【解析】【解答】解：由题意知摸到黄色球的频率稳定在 40%， 所以摸到白色球的概率：1-40%=60%， 因为不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有 20 个， 所以布袋中白色球的个数为 2060%=12（个）. 故答案为：12. 【分析】根据摸到黄色球的频率结合频率估计概率的知识求出摸到白色球的概率，然后乘以球的总数可得白色球的个数. 15为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获 50 条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼通过多次实验后发现
14、捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在 2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼 条 【答案】2000 【解析】【解答】解：502.5%=2000. 故答案为：2000. 【分析】根据样本的概率估计总体的概率的即可求出鱼塘中的鱼. 16一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入 10 个黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表： 实验次数 100 200 300 400 摸出红球 78 161 238 321 则袋中原有红色小球的个数约为 个 【答案】40 【解析】【解答】解：由表可知，摸出红球的概率约为， 设袋中原有红色小球的个数为 x， 根据题意，得：， 解
15、得：x=40， 经检验，x=40 是所列分式方程的解， 故设袋中原有红色小球的个数为 40， 故答案为 40 【分析】设袋中原有红色小球的个数为 x，根据概率公式可得，再求出 x 的值即可。 三、综合题三、综合题 172022 年冬奥会在我国北京和张家口举行，如图所示为冬奥会和冬残会的会徽“冬梦”“飞跃”，吉祥物“冰墩墩”“雪容融”，将四张正面分别印有以上 4 个图案的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上洗匀. （1）若从中随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上的图案恰好为吉样物“冰墩墩”的概率是 ； （2）若从中一次同时随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的图案正
16、好一张是会徽另一张是吉祥物的概率. 【答案】（1） （2）解：把“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”“雪容融”图案的卡片分别记为 A、B、C、D， 画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中两张卡片的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的有 8 种， 则两张卡片上的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的概率是 【解析】【解答】解：(1)解： 从中任意抽取 1 张有 4 种可能的结果，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩有 1 种可能的结果， 抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率= . 故答案为： . 【分析】(1)根据题意求出任意抽取 1 张和抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的结果数，依此求概率即可； (2)
17、根据题意画出树状图，列出所有的等可能出现的结果数，找出其中两张卡片上的图案正好一张是会徽另一张是吉祥物的可能的结果数，然后计算概率即可. 18近几年，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，如图是某同学收集的四个共享经济领域的图标，将收集到的图标制成编号为 A，B，C，D 的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同)，背面朝上，洗匀放好. （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是“共享知识”的概率为 ; （2）从中随机抽取一张，放回后洗匀，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率. 【答案】（1） （2）解： 根据题意画出树状图如下
18、： 共有 16 种等可能的结果数，其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为 2， 抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=. 【解析】【解答】解：(1)共有 4 张卡片，分别标有“共享出行”、“共享服务”、“共享物品”、“共享知识”, 从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是“共享知识”的概率为 . 故答案为： . 【分析】(1)直接利用概率公式计算即可； (2)根据题意画出树状图，表示出所有等可能出现的结果数，再找出抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数，最后求概率即可. 19一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有 1个，若从中随机摸出一个
19、球，这个球是白球的概率为 （1）请直接写出袋子中白球的个数 （2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率 （请结合树状图或列表解答） 【答案】（1）解：袋子中白球有 2 个 （2）解：画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有 5 种情况， 两次都摸到相同颜色的小球的概率为： 【解析】【解答】解： （1）设袋子中白球有 x 个， 根据题意得：， 解得：x=2， 经检验，x=2 是原分式方程的解， 袋子中白球有 2 个； 【分析】 （1）设袋子中白球有 x 个，利用概率的定义列出算式求解即可； （2）先利用树状图求出所有等可能的
20、情况数，再利用概率公式求解即可。 20两个可以自由转动的转盘 A、B 都被分成 3 等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示） ，指针的位置固定游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，将指针所指两个区域内的数字相乘（若指针落在分割线上，则需重新转动转盘） （1）试用列表或画树状图的方法，求数字之积为 3 的倍数的概率； （2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为 3 的倍数时，小亮得 2 分；数字之积为 5 的倍数时，小芸得 3 分你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改得分规定，使游戏对双方公平 【答案】（1）解：利用表格或树状图列出所有可
21、能出现的结果： 4 5 6 A B 1 2 3 总共有 9 种等可能的结果，数字之积为 3 的倍数的有 5 种，其概率为 （2）解：这个游戏对双方不公平理由如下： 数字之积为 5 的倍数的有 3 种，其概率为， 数字之积为 3 的倍数的有 5 种，其概率为 ， 游戏对双方不公平 修改得分规定为：若数字之积为 3 的倍数时，小亮得 3 分，若数字之积为 5 的倍数时，小芸得 5分 【解析】【分析】 （1）先列表，再求出 总共有 9 种等可能的结果，数字之积为 3 的倍数的有 5 种， 最后求概率即可； （2）先求出 数字之积为 5 的倍数的有 3 种，其概率为， 再求出 数字之积为 3 的倍数的
22、有 5种，其概率为，最后求解即可。 21小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看 （1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是 ； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法） 【答案】（1） （2）解：这个游戏公平，理由如下： 用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 6 种可能出现的结果，其中配成紫色的有 3 种，配不成紫色的有 3 种， ， ，
23、 因此游戏是公平 【解析】【解答】解： （1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； 【分析】 （1）求出转出蓝色的概率是，即可作答； （2）先列表，再求出 共有 6 种可能出现的结果，其中配成紫色的有 3 种，配不成紫色的有 3 种， 最后求解即可。 22苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（） 移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（） 50 47 0.940 1500 1335 0.890 270 235 0.870 3
24、500 3203 0.915 400 369 0.923 7000 6335 750 662 0.883 14000 12628 0.902 根据以上信息，回答下列问题： （1）当移植的棵数是 7000 时，表格记录成活数是 ，那么成活率 x 是 （2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是 （3）若小王移植 10000 棵这种树苗，则可能成活 ； （4）若小王移植 20000 棵这种树苗，则一定成活 18000 棵此结论符合题意吗？说明理由 【答案】（1）6335；0.905 （2）0.900 （3）9000 棵 （4）解：
25、若小王移植 20000 棵这种树苗，则一定成活 18000 棵此结论不符合题意，理由如下： 概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生， 若小王移植 20000 棵这种树苗，不一定能成活 18000 棵，只能说是可能成活 18000 棵 【解析】【解答】解： （1）由表格可知，当移植的棵数是 7000 时，表格记录成活数是 6335， 成活率， 故答案为：6335；0.905； （2）大量重复试验下，频率的稳定值即为概率值， 可以估计树苗成活的概率是 0.900， 故答案为：0.900； （3）由题意得：若小王移植 10000 棵这种树苗，则可能成活课树苗，
26、故答案为：9000 棵； 【分析】 （1）利用成活率的公式计算即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）根据题意计算即可； （4）若小王移植 20000 棵这种树苗，则一定成活 18000 棵此结论不符合题意。 23口袋里有除颜色外其它都相同的 6 个红球和 4 个白球 （1）先从袋子里取出 m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A 如果事件 A 是必然事件，请直接写出 m 的值 如果事件 A 是随机事件，请直接写出 m 的值 （2）先从袋子中取出 m 个白球，再放入 m 个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求 m 的值 【答案】（1）解：m=4；m
27、的值为 1 或 2 或 3； （2）解：所有可能发生的结果个数为 10，且每种结果发生的可能性都相同；摸出红球的结果个数为根据题意得： ， 【解析】【解答】解： （1）根据题意得：当先从袋子里取出所有的白球，再从袋子里随机摸出一个球，一定为红球， ； 根据题意得：当袋子里有白球时，再从袋子里随机摸出一个球，可能为白球，也可能为红球， 此时有白球 1 个或 2 个或 3 个， 即 m 的值为 1 或 2 或 3； 【分析】 （1）根据必然事件的定义，结合题意求解即可； 根据随机事件的定义，结合题意求解即可； （2）先求出 ， 再解方程即可。 24现有两根长度分别为和的线段，同时，在一旁另有 8
28、根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致.这 8 张卡片的背面完全相同，卡片正面上分别标注了.把这 8 张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题： （1）“从中抽取的长度能够与和组成直角三角形”的概率为 . （2）求抽出的卡片上标注的数据对应的线段能够与和的线段组成等腰三角形的概率. （3）小红和小艺打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与和组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则.若三角形周长为奇数，则小红胜；若三角形周长为偶数，则小艺胜.请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公
29、平的游戏规则. 【答案】（1） （2）解：能构成等腰三角形的线段有 3cm，3 cm，4 cm，4 cm 共四条， 抽出的卡片上标注的数据对应的线段能够与 3cm 和 4cm 的线段组成等腰三角形的概率为； （3）解：3+4=7， 当抽到的线段为奇数即抽到 3cm、3cm 或 5cm 时，三角形的周长为偶数，此时小艺胜的概率为， 当抽到的线段为偶数即抽到 2cm、4cm、4cm、6cm 或 6cm 时，三角形的周长为奇数，此时小红胜的概率为， 游戏不公平， 游戏规则改为：等腰三角形的周长为偶数，则小艺胜；等腰三角形周长为奇数，则小红胜. 【解析】【解答】解： （1）该三条线段组成的是直角三角形
30、， 第三边的长度为或， 符合的卡片有标注 5cm 的一张， “从中抽取的长度能够与和组成直角三角形”的概率为， 故答案为：； 【分析】 （1）利用勾股定理分情况讨论，可求出第三边的长度，然后可求出其概率； （2）根据题意可得到能构成等腰三角形的线段有 3cm，3 cm，4 cm，4 cm 共四条，再利用概率公式可求解； （3）先分别求出小红胜和小艺胜的概率，比较大小可得到游戏不公平，再修改游戏规则，使小红胜和小艺胜的概率相等即可. 25一张连排休息座椅设有 4 个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙 2 人等可能地坐到、中的 2 个座位上. （1）乙坐在号座位的概率是 . （2）用画树状图或
31、列表的方法，求乙与丙相邻而坐的概率. 【答案】（1） （2）解：画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，乙与丙恰好相邻而坐的结果有 2 种， 乙与丙相邻而坐的概率为. 【解析】【解答】解： （1）甲坐了 1 个座位，还剩 3 个座位 乙坐在号座位的概率是； 故答案为：； 【分析】 （1）直接根据概率公式计算即可； （3）此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图，表示出所有等可能的结果数，再找出丙与乙相邻而坐的结果数，再由概率公式求解即可. 26小王和小刘两人在玩转盘游戏时，游戏规则：同时转动 A，B 两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为 2 的倍数，则小王获胜；若指针所指两
32、个区域的数字之积为 2 的倍数，则小刘获胜，如果指针落在分割线上，则视为无效，需重新转动转盘. （1）请用列表或画树状图的方法表示所有可能的结果. （2）这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由. 【答案】（1）解：列表如下 1 2 3 1 和为 2，积为 1 和为 3，积为 2 和为 4，积为 3 2 和为 3，积为 2 和为 4，积为 4 和为 5，积为 6 （2）解：不公平，理由如下，根据列表可知，共有 6 种等可能情形，其中和为 2 的倍数有 3 种情形，小王获胜的概率为； 积为 2 的倍数有 4 种情形，小刘获胜的概率为 两者概率不一致，故不公平 【解析】【分析】 （1）观察 A，B 盘中的数字，列表可得到所有的可能的结果数； （2）利用列表可知得到所有的可能的结果数及和为 2 的倍数有 3 种情况数， 积为 2 的倍数有 4 种情形 ，然后分别求出小王获胜和小刘获胜的概率，再比较大小，可作出判断.
