1、 二次函数二次函数 （提高训练）（提高训练） 一、单选题一、单选题 1如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为（ ） A B C D或 【答案】A 【解析】【解答】 抛物线经过原点， 令 ，则 ，解得 ； 由图可知，抛物线的开口向下， ， 抛物线 故答案为：A 【分析】先求出，再求出，最后求抛物线的解析式即可。 2已知二次函数的图象经过原点，则 a 的值为（ ） A0 或 2 B0 C2 D无法确定 【答案】C 【解析】【解答】解：的图象经过原点， 把代入函数解析式可得： 或 或 又由二次函数可得： 故答案为： 【分析】先求出再求出或 最后求解即可。 3如图，二次函数 yax2+bx+c 的
2、图象与 x 轴的一个交点坐标是（3，0） ，对称轴为直线 x1，下列结论：abc0；2a+b0；4a2b+c0；当 y0 时，1x3；bc.其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线开口向下， a0； 抛物线的对称轴为直线 x 1， b2a0，所以正确； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以错误； 抛物线与 x 轴的一个交点坐标是（3，0） ，对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（1，0） ， x2 时，y0， 4a2b+c0，所以错误； 抛物线与 x 轴的 2 个交点坐标为（1，0） ， （3，0） ，
3、 1x3 时，y0，所以正确； x1 时，y0， ab+c0， 而 b2a， c3a， bc2a+3aa0， 即 bc，所以正确. 故答案为：B. 【分析】由图象可知：抛物线开口向下，对称轴为直线 x=1，与 y 轴的交点在 x 轴上方，据此可得a、b、c 的正负，进而判断；根据对称性求出与 x 轴的另一个交点坐标，根据 x=-2 对应的函数值为负可判断；根据抛物线与 x 轴的交点可判断；根据 x=-1 对应的函数值为 0 可得 a-b+c0，结合 b-2a 可得 c-3a，据此判断. 4将抛物线 向上平移 1 个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ） A B C D . 【答案】A 【解析】
4、【解答】解：将抛物线 y=x2-2x-1 向上平移 1 个单位， 平移后抛物线的表达式 y=x2-2x-1+1，即 y=x2-2x. 故答案为：A. 【分析】二次函数 y=ax2+bx+c 向上平移 m（m0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m. 5函数，当与时，函数值相等，则当时，函数值等于（ ） A3 B C D3 【答案】D 【解析】【解答】解： 当与时，函数值相等， 与 的函数值相等， 当 时， ， 当 时， . 故答案为：D. 【分析】由题意可得 x=2022 与 x=0 的函数值相等，令 x=0，求出 y 的值，据此解答. 6二次函数 yax2+bx+c
5、 的自变量 x 和函数 y 的部分对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 4 5 4 4 20 45 则该二次函数 y 在所给自变量 x（2x2）的取值范围内的最小值是（ ） A45 B20 C4 D0 【答案】B 【解析】【解答】解：由表中数据得到对称轴为直线 x ， 当 x 时，y 随 x 的增大而增大，当 x 时，y 随 x 的增大而减小， x2 时，y20，x2 时，y4，x 时，y5， 二次函数 y 在所给自变量 x（2x2）的取值范围内的最小值是20， 故答案为：B. 【分析】由表中数据得到对称轴为直线 x ，根据二次函数性质可知，当 x 时，y 随 x 的增大而增大，当 x 时
6、，y 随 x 的增大而减小，再由-2x2，当 x=-2 时，y20，x2 时，y4，x 时，y5，即可求出二次函数的最小值. 7已知二次函数 （其中 m0） ，下列说法正确的是（ ） A当 x2 时，都有 y 随着 x 的增大而增大 B当 x3 时，都有 y 随着 x 的增大而减小 C若 xn 时，都有 y 随着 x 的增大而减小，则 D若 xn 时，都有 y 随着 x 的增大而减小，则 【答案】D 【解析】【解答】解：在 y（x ） （mx4m）中，令 y0 得 x 或 x4， 抛物线的对称轴是直线 x 2+ ， m0， 抛物线开口向上，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小， 若 xn 时
7、，都有 y 随着 x 的增大而减小，则 故答案为：D. 【分析】根据二次函数两根式求出与 x 轴交点的横坐标，即 x 或 x4，可求出抛物线的对称轴为 x=2+，再根据 m0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，若 xn时，都有 y 随着 x 的增大而减小，则，即可求出正确结论. 8如图，函数的图象过点和，请思考下列判断： ；. 正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线交 y 轴于正半轴， c0， 0， b0， abc0，故正确， x2 时，y0， 4a2bc0，即 4ac2b，故正确， yax2bxc 的图象过点（1
8、，0）和（m，0） ， 1m ，am2bmc0， ， ，故正确， 1m ， aamb， amab， am2（2ab）mabc am2bmc2amab 2a2bab 3ab0，故正确， m1 ， m1 ， |ama| ，故正确. 故答案为：C. 【分析】由图象可知：抛物线开口向下，交 y 轴于正半轴，对称轴在 y 轴右侧，判断出 a、b、c 的正负，进而判断；根据 x=-2 对应的函数值为负可判断；根据图象与 x 轴的交点坐标结合根与系数的关系可得1m，am2bmc0，进而判断；根据根与系数的关系可得-1m-，则 am=ab，据此判断；结合求根公式表示出 m+1，进而判断. 9在特定条件下，篮球
9、赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为 P，篮框中心点为 Q，他可以选择让篮球在运行途中经过 A，B，C，D 四个点中的某一点并命中 Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P 的可能性最大的线路是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】【解答】解：B、D 两点，横坐
10、标相同，而 D 点的纵坐标大于 B 点的纵坐标，显然，B 点上升阶段的水平距离长；A、B 两点，纵坐标相同，而 A 点的横坐标小于 B 点的横坐标，等经过.A 点的篮球运行到与 B 点横坐标相同时，显然在 B 点上方，故 B 点上升阶段的水平距离长；同理可知 C点路线优于 A 点路线，综上：PBQ 是被“盖帽”的可能性最大的线路 故答案为：B 【分析】分类讨论投篮线路经过 A、B、C、D 四个点时篮球上升阶段的水平距离求解即可。 10某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价 800 元旅行社对超过 30 人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低 10 元，若这个旅行社
11、要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（ ） A55 B56 C57 D58 【答案】A 【解析】【解答】解：设一个旅行团的人数是 x 人，营业额为 y 元，根据题意得， 即当一个旅行团的人数是 55 人时，这个旅行团可以获得最大的营业额， 故答案为：A 【分析】设一个旅行团的人数是 x 人，营业额为 y 元，根据题意列出函数解析式 ，再利用二次函数的性质求解即可。 二、填空题二、填空题 11二次函数 yaxbxc（a0）的图象过点 A（0，1）和 C（1，0） （1）若函数图象的对称轴是 x1，则函数解析式为 （2）当 a2 时，作直线 xh（h0）交直线 AC 于 P，交抛物线于点 Q，交
12、 x 轴于点 D，当PQQD 时，h 【答案】（1） （2） 【解析】【解答】解： （1） 二次函数 yaxbxc（a0）的图象过点 A（0，1）和 C（1，0） ，函数图象的对称轴是 x1， ，解得 ， 函数解析式为， 故答案为： （2）设直线 AC：， 把点 A（0，1）和 C（1，0）代入得， ， 解得， 直线 AC：， 二次函数 yaxbxc（a0）的图象过点 A（0，1）和 C（1，0） ，a2， ，解得 函数解析式为， 直线 xh（h0）交直线 AC 于 P，交抛物线于点 Q，交 x 轴于点 D， ， PQQD， ， 解得：（舍去） ， 故答案为： 【分析】 （1）利用待定系数法求
13、出二次函数解析式； （2）利用待定系数法求出直线 AC 和二次函数解析式，再求出点 P、Q、D 的坐标，根据 PQQD列方程，解之即可。 12如图，某农场拟建一矩形饲养室，饲养室的一面靠墙（墙足够长） ，并在图中所示位置开 2m 的门，已知建筑围栏的材料可建围墙共 66m，设饲养室的长为 x（m） ，占地面积为 y（m2） ，请列出 y关于 x 的函数关系式： .（不用写 x 的取值范围） 【答案】y x2+34x 【解析】【解答】解：设饲养室的长为 x（m） ， 饲养室的长用的材料是（x2）m， 饲养室的宽是 （34 x）m， y（34 x）x x2+34x. 故答案为：y x2+34x.
14、【分析】设饲养室的长为 x（m） ，则饲养室的长用的材料是（x2）m，宽用的材料是（34 x）m，根据矩形面积=长宽，可得 y=（34x）x，整理即可求得 y 与 x 的函数关系式. 13若把函数 y=x 的图象用 E(x，x)记，函数 y=2x+1 的图象用 E（x，2x+1）记，则 E(x，)图象上的最低点是 . 【答案】（1，2） 【解析】【解答】解：根据题意得：该函数为， 当 时，有最小值，最小值为 ， 即 E(x， )图象上的最低点是（1，2）. 故答案为： （1，2）. 【分析】根据题意得：该函数为 y=x2-2x+3，将其化为顶点式，据此可得最低点的坐标. 14二次函数 y=ax
15、2+bx+c 的图象如图所示，虚线为其对称轴，有下列结论：abc0；b2-4ac0；4a+2b+c0；若点（-2，y1） ， （15，y2）均在抛物线上，则 y1y2.其中正确的有 个. 【答案】1 【解析】【解答】由图可知，图象开口向下，所以 a0，又因为对称轴 x=-0，所以 b0，所以错误；由图可知，二次函数图象与 x 轴有两个交点，所以 b-4ac0，错误；当x=2 时，y=4a+2b+c，由图象可知此时 y0,所以正确；由图可知，二次函数对称轴 x，所以错误。故其中正确的结论有 1 个。 【分析】本题考查二次函数图象的性质，注意结合图形进行分析。 15如图所示的抛物线是二次函数的图象
16、，那么的值是 . 【答案】-1 【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0） ， 所以 a2-1=0，解得 a=1， 图象开口向下，a0， a=-1. 故答案为：-1. 【分析】由图象可知：抛物线经过原点（0，0） ，代入 y=ax2-3x+a2-1 中可得 a 的值，然后结合图象开口方向即可确定出 a 的值. 16若二次函数 的图象经过点 ，则 的值为 . 【答案】10 【解析】【解答】解：二次函数 的图象经过点 ， ， 故答案为：10. 【分析】将点 P 的坐标代入函数解析式，可得到关于 a 的方程，解方程求出 a 的值. 三、计算题三、计算题 17求不等式x26x160 的解
17、集 【答案】解：设 抛物线开口向下，顶点坐标为（-3，25） 令 y=0，则 抛物线与 x 轴的交点坐标为（-8，0） ， （2，0） ， 函数图象如图所示， x 轴上方的部分表示x26x160 x26x160 的解集为 【解析】【分析】设，先求出抛物线与 x 轴的交点坐标，再结合图象求出答案即可。 18 （1）解方程：2x2+13x； （2）将二次函数 配方成 ya（xh）2+k 的形式 【答案】（1）解：2x23x+10， （2x1） （x1）0， 解得：x1 ，x21； （2）解： ， ， 【解析】【分析】 （1）利用因式分解法解方程即可； （2）将二次函数的一般式配方求解即可。 四、综
18、合题四、综合题 19如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，且，同时交反比例函数在第一象限的图象于点，反比例函数图象上的点 P 的纵坐标，轴交直线 AB 于点 Q，D 是 x 轴上任意一点，连接 PD，QD （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求PDQ面积的最大值 【答案】（1）解：， A（4，0） ， 把 A（4，0） ，代入一次函数， 得： 解得：， 一次函数的关系式为：； 把代入， 得：， 解得：， ， 把代入反比例函数， 得， 反比例函数的表达式为： （2）解：反比例函数图象上的点 P 的纵坐标， P（，） ， 轴交直线 AB 于点 Q，
19、 Q（，） ， ， 当时，取最大值，最大值为， PDQ面积的最大值为 【解析】【分析】 （1）先求出 A（-4,0） ，利用待定系数法求出一次函数的关系式为，把 C（a,5）代入解析式中求出 a 值即得点 C 坐标，再将点 C 坐标代入中求出 m 值即可； （2）由点 P 在反比例函数图象上，可得 P（，） ，由于 PQx轴可得 Q（，） 从而求出 ，继而得出 ，根据二次函数的性质即可求解. 202022 年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆每个纪念品进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且不高于 52 元销售期间发现，当销
20、售单价定为 44 元时，每天可售出 300 个，销售单价每上涨 1 元，每天销量减少 10个现商家决定提价销售，设每天销售量为 y 个，销售单价为 x 元 （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润 w 元最大？最大利润是多少元？ （3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出 200 元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 2200 元，求销售单价 x 的范围 【答案】（1）y=10 x+740（44x52） （2）解：根据题意得：w=（10 x+740） （x-40）=10 x2+11
21、40 x-29600=10（x-57）2+2890， 100， 当 x57 时，w 随 x 的增大而增大， 44x52， 当 x=52 时，w 有最大值，最大值为 2640， 将纪念品的销售单价定为 52 元时，商家每天销售纪念品获得的利润 w 元最大，最大利润是 2640元 （3）解：由题意可得：-10（x-57）2+2890-200=2200， 解得：x1=64，x2=50， 44x52， 为了保证捐款后每天剩余利润不低于 2200 元，销售单价 x 的范围是 50 x52 【解析】【解答】(1)根据题意得：y=300-10（x-44）=10 x+740， y 与 x 之间的函数关系式为
22、y=10 x+740（44x52） ； 【分析】 （1）根据题意写出函数关系式和自变量取值范围 （2）根据利润=销售量（销售价-进价） ，代入（1）中的销售量，根据函数的性质求得最大利润和销售单价 （3）利用（2）中利润的函数，根据题意求出单价取值范围。 21某商贸公司购进某种商品的成本为 20 元/千克，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天的销售单价 y（元/千克）与时间（天）之间的函数关系式为：y= ，且为整数，且日销量 m（千克）与时间（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间 x（天） 1 3 6 10 日销量 m（千克） 142 138 132 124 （1）求 m
23、与的函数关系式； （2）当 120 时，最大日销售利润是多少？ （3）求：在未来 40 天中，有多少天销售利润不低于 1550 元？ 【答案】（1）解：设 m=kx+b，将（1，142）和（3，138）分别代入， 得 ，解得 m=-2x+14 （2）解：120， y=0.25x+30， w=m（y-20）=（-2x+144） （0.25x+30-20）= （x-16）2+1568， 当 x=16 时，w 最大，最大为 1568， 当 120 时，最大日销售利润是 1568 元. （3）解：120 时，由（2）知 W= （x-16）2+1568， 令 W=1550，得 1550=- （x-16）
24、2+1568，解得 x1=10，x2=22. 0，对称轴为直线 x=16， 10 x20，共 11 天； 当 20 x40 时，W=m（y-20）=-30 x+2160， 令 W=1550，得 1550=-30 x+2160，解得 x= . -300， 20 x ，无整数解，即 0 天， 综上所述，在未来 40 天中，有 11 天销售利润不低于 1550 元. 【解析】【分析】 （1）由表中知一次函数通过点（1，142）和（3，138） ，设一次函数关系式为m=kx+b，将点代入解析式，列出方程组解得 k 和 b，即可求出 m 与 x 的函数关系式； （2）根据总利润=销量一件产品利润，可列出
25、现关系式为 W=（-2x+144） （0.25x+30-20） ，整理得W= （x-16）2+1568，由 0，当 120 时，代入 x=16，即可求出 W 的最大值； （3）分两种情况讨论：120 时，由（2）知 W=（x-16）2+1568，令 W=1550，即 1550=（x-16）2+1568，解得 x=10 或 x=22，再由0，对称轴 x=16，根据二次函数增减性可得当W1550 时，1020，共 11 天；20 x40 时，w=（-2x+144） （35-20）=-30 x+2160，再令W=1550，即 1550=-30 x+2160，解得 x=，再由-300，根据一次函数增减性可得当 W1550 时， 20 x，无整数解，即 0 天. 据此分析即可求出在未来 40 天中，销售利润不低于 1550 元的天数.
