1、 八年级下学期选拨竞赛考试数学试卷八年级下学期选拨竞赛考试数学试卷 一、填空题一、填空题 1满足不等式 的整数 的个数是 . 【答案】4 【解析】【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， 故 1.6 与 5.24 之间的整数有 4 个. 故答案为：4. 【分析】对不等式组两边的式子进行分母有理化可得-4mBE 又 AB=AC，AE=AD AC+ADBE，故错误. 故答案为：. 【分析】首先利用 SAS 判断出BADCAE，根据全等三角形的对应边相等得出 BD=CE，故正确；根据全等三角形的对应角相等得出BDA=CEA=45，然后根据角的和差得出BDE=90，从而得出 BDCE；根据全等三角形的
2、对应角相等得出ACE=ABD从而根据角的和差及等量代换得出ABC=45；根据三角形三边的关系及等量代换得出 AC+ADBE，从而即可一一判断得出答案. 4已知 ，则 . 【答案】-2 或 0 或-1 或 2 【解析】【解答】解： ，分三种情况讨论： 或 x2-x-1=-1 且指数为偶数或 ， 当 时， ， 当 时 ， ， x2-x-1=-1 且指数为偶数时， x=0； 当 时， 因式分解得 解得 故答案为：-2 或 0 或-1 或 2. 【分析】根据零次幂的运算性质可得 x2-x-10 且 x+2=0，求解可得 x 的值；根据有理数的乘方法则可得 x2-x-1=-1 且 x+2 为偶数，求解可
3、得 x 的值；令 x2-x-1=1，求出 x 的值，据此解答. 5在平面直角坐标系内有两点 A，B，其坐标为 ， ，点 M 为 x 轴上的一个动点，若要使 的值最大，则点 M 的坐标为 . 【答案】（- ，0） 【解析】【解答】解：如图，作点 A（1，1）关于 x 轴的对称点 A（1，1） ，作直线 AB 交 x轴于点 M， 由对称性知：MAMA， MBMAMBMAAB， 若 N 是 x 轴上异于 M 的点，则 NANA，这时 NBNANBNAABMBMA， 点 M 就是使 MBMA 的值最大的点，MBMA 的最大值是 AB， 设直线 AB 的解析式为：ykx+b， 把 A（1，1） ，B（2
4、，4）代入得：， 解得：， 直线 AB 的解析式为 yx+2， 当 y0 时，x+20，解得 x2， 点 M 的坐标为（2，0）. 故答案为： （2，0）. 【分析】利用轴对称图形的性质可作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，交 x 轴于点 M，由对称性可得 MAMA，从而得到 MBMAMBMAAB，若 N 是 x 轴上异于 M 的点，则 NANA，这时 NBNANBNAABMBMA，因此点 M 就是使 MBMA 的值最大的点，MBMA 的最大值是 AB，再利用待定系数法求得直线 AB 的解析式为 yx+2，求得直线 AB 与 x 轴的交点 M 即为所求 6如图 14，在直角边分别为
5、 3 和 4 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图 10 中有 10 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 S1，S2，S3，S10，则 S1+S2+S3+S10= 【答案】 【解析】【解答】解： （1）图 1， 过点 O 做 OEAC，OFBC，垂足为 E、F，则OEC=OFC=90 C=90 四边形 OECF 为矩形 OE=OF 矩形 OECF 为正方形 设圆 O 的半径为 r，则 OE=OF=r，AD=AE=3r，BD=4r 3r+4+r=5，r= =1 S1=12= 2）图 2， 由 SABC= 34= 5CD CD= 由勾股定理得：AD= =
6、 ，BD=5 = 由（1）得：O的半径= = ，E的半径= = S1+S2= + = 3）图 3， 由 SCDB= = 4MD MD= 由勾股定理得：CM= = ，MB=4 = 由（1）得：O的半径= ， ：E的半径= = ， ：F的半径= = S1+S2+S3= + + = 图 4 中的 S1+S2+S3+S4= 则 S1+S2+S3+S10= 故答案为： 【分析】 （1）图 1，作辅助线构建正方形 OECF，设圆 O 的半径为 r，根据切线长定理表示出 AD 和BD 的长，利用 AD+BD=5 列方程求出半径 r= （a、b 是直角边，c 为斜边） ，运用圆面积公式=r2求出面积=； （2
7、）图 2，先求斜边上的高 CD 的长，再由勾股定理求出 AD 和 BD，利用半径 r= （a、b 是直角边，c 为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=； （3）图3，继续求高 DM 和 CM、BM，利用半径 r= （a、b 是直角边，c 为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=；综上所述：发现 S1+S2+S3+S10= 7如图，P 为 RtABC内一点，其中BAC=90，并且 PA=3，PB=7，PC=9，则 BC 的最大值为 . 【答案】14 【解析】【解答】解：如图，过 P 点分别作 PDAB于 D、PFAC于 F，再过 B 作 BGPF于 G，过 C 作 CEPD于 E
8、，交 BG 于 H，连接 AH、PH BAC=90， 四边形 ADPF、四边形 ADEC、四边形 ABGF、四边形 PGHE、四边形 ABHC 都是矩形 PD=BG，PF=AD=EC，PG=HE，BC=AH PA=3，PB=7，PC=9 ， 解得 PAH中，PA=3， 当 A、P、H 三点共线时 当 A、P、H 三点共线时 最大 故答案为：14. 【分析】过 P 点分别作 PDAB于 D、PFAC于 F，过 B 作 BGPF于 G，过 C 作 CEPD于 E，交 BG 于 H，连接 AH、PH，则四边形 ADPF、ADEC、ABGF、PGHE、ABHC 都是矩形，由矩形对边相等得 PD=BG，
9、PF=AD=EC，PG=HE，BC=AH，则 PB2+PC2=PA2+PH2=PF2+PE2+PG2+PD2，代入数据可得 PH 的值，根据两点之间，线段最短的性质可得：当点 P、A、H 共线时，AH 取得最大值，即 BC 取得最大值，据此解答. 二、解答题二、解答题 8已知实数 a，b，c 满足 ， ，求 的值. 【答案】解： ， ，两边同时平方得 ， 即 ， ， 又 ， ， ， 即 ， 同理可得 ， ， 原式= = = = = = = = = = = = . 【解析】【分析】根据 a+b+c=0 得 a+b=-c，两边同时平方得 2ab=c2-(a2+b2)，结合 a2+b2+c2=1 得
10、 ab=c2-，同理得 ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算. 9已知： .求 的值. 【答案】解： ， 把 代入 得： 原式 【解析】【分析】根据偶次幂的非负性以及绝对值的非负性，由两个非负数的和为 0，则每一个都为0 可得 m+2=0，n-1=0，求出 m、n 的值，根据去括号法则以及合并同类项法则对待求式进行化简，然后将 m、n 的值代入进行计算. 10如图，RtABC中，ACBC，ACB=90，CD 是ABC的中线，点 E 在 CD 上，且AED=B，求证：AE=BC. 【答案】证明：延长 CD 到 F 使 DF=CD，连接 AF，如图 CD 是ABC的中线， AD=B
11、D， 在ADF与BCD中， ， ADFBDC（SAS） ， F=BCD，BC=AF， ACB=90，CD 是ABC的中线， CD=BD， B=BCD， 又AED=B AED=BCD， ADFBDC， F=BCD， AED=F ， AE=AF， BC=AF， AE=BC. 【解析】【分析】延长 CD 到 F 使 DF=CD，连接 AF，根据中线的性质可得 AD=BD，证明ADFBDC，得到F=BCD，BC=AF，根据直角三角形斜边上中线的性质可得 CD=BD，根据等腰三角形的性质可得B=BCD，结合已知条件可得AED=BCD，根据全等三角形的性质可得F=BCD，推出 AE=AF，然后结合 BC=
12、AF 进行证明. 11某同学对矩形纸片 ABCD 进行了如下的操作：如图，先沿直线 AG 折叠，使点 B 落在对角线AC 上的点 P 处，再沿直线 CH 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 Q 处.若 ， ，求四边形 的面积. 【答案】解：四边形 ABCD 是矩形， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知 AP=AB=5，BG=PG，B=APG=90，CQ=CD=5， CP=8，CPG=90， 设 CG=x，则 BG=PG=12-x， 由勾股定理可得： ， 解得： ， 即 CG=，同理 AH=， CG=AH， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， 四边形 AGCH 是平行四边形， . 【解析】
13、【分析】根据矩形的性质可得 AB=CD=5，B=90，利用勾股定理可得 AC，由折叠的性质可知 AP=AB=5，BG=PG，B=APG=90，CQ=CD=5，设 CG=x，则 BG=PG=12-x，利用勾股定理求出 x，得出 CG 的长，同理得出 AH，然后判断出四边形 AGCH 是平行四边形，然后根据 S四边形AGCH=CGAB 进行计算. 12已知关于 x 的方程 只有一个实数根，求实数 a 的值. 【答案】解：去分母得整式方程，2x22x+1a=0，=4（2a1） ， （1）当=0，即 a= 时，显然 x= 是原方程的解. （2）当0，即 a 时，x1= （1+ ） ，x2= （1 ）
14、， 显然 x10，x11，x10，它是原方程的解， 只需 x2=0 或1 时，x2为增根，此时原方程只有一个实数根， 当 x2=0 时，即 （1 ）=0，得：a=1； 当 x2=1 时，即 （1 ）=1，得：a=5. 综上，当 a= ，1，5 时原方程只有一个实数根. 【解析】【分析】将原方程去分母得到整式方程，算出方程根的判别式的值，分当=0时，a=，显然 x=是原方程的解；当0 时，根据求根公式求出 x，只需 x2为增根，此时原方程只有一个实数根，求解可得 a 的值. 13设 为非零实数，两个函数 与 的图象相交于 ， 两点，若 ，求 的值. 【答案】解：由题意可令 ，整理得： ， ，解得
15、： ， 由韦达定理可得： ， ， 解得： . 【解析】【分析】联立一次函数与反比例函数解析式可得关于 x 的一元二次方程，结合0可得 k 的范围，根据根与系数的关系可得 x1+x2=-2，x1x2=-k，则|x1-x2|=，求解可得 k 的值. 14回答下列问题： （1）如图，当 时， ，将PAB绕 B 点顺时针旋转 90画出旋转后的图形； （2）在（1）中，若 ， ， ，求 的大小. （3）如图， ， ，且 ， ， ，则 面积是 . （4）如图，ABC中， ， ，点 P 在ABC内，且 ， ， ，求ABC的面积. 【答案】（1）解：如图 1 所示， 即为所求； （2）解：如图 2，连接 .
16、将 绕 点顺时针旋转 ，与 重合， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， . 在 中， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ； （3） （4）解：如图，作 ，使得 ， ，连接 PQ，取 AQ 的中点 N，连接 PN， ， ， ABQ与ACP的相似比为 2， ， ， ， ， ， ， 点 N 是 AQ 的中点， ， APN是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 作 AMBQ于点 M，延长 AC，使得 AC=CK，即 AB=AK， ABK是等边三角形， 由 ， ， ， ， ABK是等边三角形， ， 设ABK的高为 h，则 ， . 【解析】【解答】解： （3）如图 3，将 绕 点逆时针旋转
17、得到 ，连接 ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ； ， ； 如图 3， 同理可求： 和 的面积的和 ， 和 的面积的和 ， 的面积 ， 的面积 的面积 与 的面积的和 . 故答案为： . 【分析】 （1）将点 P、A 绕点 B 顺时针旋转 90可得点 P、C，顺次连接可得旋转后的图形； （2）连接 PP，根据旋转的性质可得 BP=BP，APB=CPB，AP=CP=2，根据等腰直角三角形的性质可得 PP=，BPP=45，根据勾股定理逆定理知CPP为直角三角形，然后根据CPB=BPP+CPP进行计算； （3）将PAB绕 A 点逆时针旋转 60得P1
18、AC ，连接 PP1，则 AP=AP1，PAP1=60，CP1=BP=4，推出PAP1是等边三角形，得到 PP1=AP=3，利用勾股定理逆定理知CP1P是直角三角形，根据=+可得四边形 APCP1的面积，据此解答； 同理可求ABP和BPC的面积和，APC和BPC的面积的和，然后根据 SAPC=SABC-(SAPB+SBPC)进行计算； （4）作ABQ，使得QAB=PAC，ABQ=ACP，连接 PQ，取 AQ 的中点 N，连接 PN，则QABPAC，由相似三角形性质得 AQ、BQ，易得APN是等边三角形，根据等边三角形的性质得 AN=QN=AP=PN，ANP=60，利用勾股定理可得 PQ，推出P
19、QB=90，作 AMBQ于点M，延长 AC，使得 AC=CK，即 AB=AK，利用三角函数的概念可得 QM、AM，根据勾股定理求出AB，然后根据三角形的面积公式进行计算. 15设 为质数，m 为整数，满足 ，求 和 m 的所有可取值. 【答案】解：设 为质数，m 为整数，满足 ， ， ， ， m 为整数， 为质数， 1+4P 为平方数 9 1+4P=9， P=2， . 【解析】【分析】对已知条件变形可得 m2-m(p-2)+1-p-p3=0，根据求根公式表示出 m，根据 m 为整数，p 为质数可得 1+4P=9，求出 p 的值，进而可得 m 的值. 16解方程组： . 【答案】解：把 代入 得
20、： 把 代入 得： 去分母得： 整理得： 解得 当 时， ， 当 时， ， ， 方程组的解为： 或 【解析】【分析】将第三个方程代入第一个方程中可得 y=，将第二个方程代入 y=中可得 y的值，然后求出 z、x 的值，进而可得方程组的解. 17已知点 M、N 分别在ABC的边 AB、AC 上，且不同于所在边的端点，满足 ， ，P 关于直线 BC 的对称点为 A，证明：PA 是MPN的角平分线. 【答案】证明： ， ， 由对称性可知 ， ， 四点共圆，如下图所示， ， ， ， ， PA 是MPN的角平分线. 【解析】【分析】由等腰三角形性质得AMC=BAC，由对称性知BPC=BAC，则BPC+B
21、MC=180，推出 B、M、C、P 四点共圆，由角的和差关系得MPA=ABC+ACB-90，NPA=ABC+ACB-90，推出NPA=MPA，据此证明. 18如图 1，抛物线 yax2（a3）x3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，在 x轴上有一动点 E（m，0） （0m4） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB于点 M. （1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； （2）设PMN的周长为 C1，AEN的周长为 C2，若，求 m 的值； （3）如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到
22、 OE，旋转角为 （090） ，连接 EA、EB，求 EAEB 的最小值. 【答案】（1）解：将点代入抛物线，得 ，解得，此时抛物线解析式为 A（4，0） ，B（0，3） ， 设直线 AB 解析式为 ykx+b，则，解得， 直线 AB 解析式为. （2）解：由题意可得：，则， 如图 1 中，PMAB，PEOA， PMNAEN， PNMANE， PNMANE， ， NEOB， ， 抛物线解析式为， ， ，解得. （3）解：如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M使得 OM，连接 AM，在 AM上取一点 E使得 OEOE. OE2， ， ， ， ， ， ， ，当 A、M、E共线时，最小，为， 由勾股
23、定理可得 即最小值为 【解析】【分析】 （1）将 A（4，0）代入 y=ax2+(a+3)x+3 中可得 a 的值，据此可得抛物线的解析式，令 x=0，求出 y 的值，可得点 B 的坐标，将 A、B 的坐标代入 y=kx+b 中求出 k、b 的值，进而可得直线 AB 的解析式； （2）由题意可得 OA=4，OB=3，OE=m，则 AB=5，AE=4-m，易证PNMANE，ANEABO，根据相似三角形的性质可得 AN，表示出 PN，然后根据就可求出 m 的值； （3）在 y 轴上取一点 M使得 OM，连接 AM，在 AM上取一点 E使得 OEOE，易证MOEEOB，根据相似三角形的性质可得 ME=BE，当 A、M、E共线时，AE+BE最小，为 AM，利用勾股定理求解即可.
