1、 福建省青少年“大梦杯”数学水平测试试卷福建省青少年“大梦杯”数学水平测试试卷 一、单选题一、单选题 1已知二次函数 的图象交 x 轴于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，交 y 轴于点 C(0，3)，若 ，且ABC的面积为 3，则 a+b（ ） A3 B-5 C3 D5 2已知实数 x，y 满足 且 ，则 的值为（ ） A B C D2 3将形如 3m 和 （m，n 为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为 若第 k个数 ，则 k 的值为（ ） A682 B683 C684 D685 4如图，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，点 M 是 CD 边的中点，点 E，F 分别是边 AB，BC
2、 上的点，且 AFME，G 为垂足.若 EB=2，BF=1，则四边形 BFGE 的面积为（ ） A B C D 5已知正整数 a，b，c，d 满足：abc6；当 n9 时，取 x1=x3=x5=x7=1，x2=x4=x6=x8=0，则 Sn=86，故 n7；当 n=7 时，设(x1-x2)(x2-x3)0，则(x1-x2)2+(x2-x1)2(x1-x3)21，故S71+(x3-x4)2+(x4-x5)2+(x5-x6)2+(x6-x7)2+(x7-x1)26，据此解答. 【解析】【解答】解：根据同余数定义，若 是同余数，则 ( 为正整数)也是同余数.由 5是同余数知， 也是同余数. 由 5
3、是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，可得 是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，即三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积. 将 ， ， ， 代入 ， ，计算得 ， . 于是 是椭圆曲线 上的一个有理点. 注：将 ， ， ， 代入 ， ，计算得 ， .于是 也是椭圆曲线 上的一个有理点. 故答案为： （25，75）(答案不唯一) . 【分析】根据 5 是同余数，知 20=522也是同余数，根据面积为 5 的直角三角形的三边长可得面积为 20 的直角三角形的三边长，代入 ， 中可得 x、y 的值，据此解答. 【解析】【分析】 （1）令 ax2+bx+c=ax+c 求出 x，根据抛物
4、线与直线 y=ax+c 至多有一个公共点，得a=b，由 ax2+bx+c=cx+a 结合 a=b 以及0可得的范围，进而可得的最大值； （2）当取最大值时，得顶点 C 的坐标，联立抛物线与直线解析式求出 x，得 AB=，CA=CB，设 I 为ABC的内心，D 为线段 AB 中点，则DBI=30，ABC=60，ABC为等边三角形，CD=3，据此可得 a 的值. 【解析】【分析】延长 BH 与直线 AD 相交于点 P，连接 CP，易得BPA=45，推出 P、A、B、C 四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得CBE=APC，连接 CE，根据圆周角定理可得CEA=CHB=90，推出 C、E、B、H 四点
5、共圆，得到CHE=CBE，连接 CF，同理可得APC=180-CHF，据此推出CHE=CBE=APC=180-CHF，据此证明. 【解析】【分析】设 aibi，i=1、2、8，且 a1a2a8，则 62=136-2(a1+a2+a8)，求出a1+a2+a8的值，易得 a77，则 S=(a1-b1)2+(a2-b2)2+(a8-b8)2=(12+22+162)-2(a1b1+a2b2+a8b8)，当 b1、b2、b8从小到大排列时， S=(1-8)2+(2-10)2+(3-11)2+(4-12)2+(5-13)2+(6-14)2+(7-15)2+(9-16)2，据此计算. 【解析】【分析】 （1
6、）将矩形 ABCD 的每条边向内缩进，得到一个长和宽分别为 20 和 18 的矩形A1B1C1D1，则矩形 A1B1C1D1的面积为 360，对矩形 ABCD 内任意放入的 114 个直径为 1 的圆，分别以这 114 个圆的圆心为圆心，直径为 2 作 114 个新的圆，求出这 114 个新圆的面积和，据此证明； （2）将矩形 ABCD 的每条边向内缩进，得到一个长和宽分别为 20 和 18 的矩形 A1B1C1D1，则矩形 A1B1C1D1的面积为 360，在小正方形的每条边的外部加一个长和宽分别为 1 和的矩形，4 个角上加上一个直径为 1 的四分之一圆弧，求出这 95 个加框的图形的面积和，据此证明.
