1、 勾股定理的逆定理复习卷勾股定理的逆定理复习卷 一、单选题一、单选题 1如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA3，PB4，PC5，以 BC 为边在ABC外作BQCBPA，连接 PQ，则以下结论中正确有（ ） BPQ是等边三角形；PCQ是直角三角形；APB150；APC120 A B C D 【答案】A 【解析】【解答】解：ABC是等边三角形， ABC=60， BQCBPA， BQ=BP，CBQ=ABP，CQ=PA=3，BPA=BQC， PBQ=PBC+CBQ=PBC+ABP=ABC=60， BPQ是等边三角形，故正确； BPQ是等边三角形， PQ=PB=4， PC=5，CQ=3，
2、CQ2+PQ2=PC2， PQC=90， PCQ是直角三角形，且PQC=90，故正确； BPQ是等边三角形， BPQ=BQP=60， BPA=BQC=60+90=150，故正确； APC=360-150-60-QPC=150-QPC， PQC=90，CQPC， QPC30， APC120，故错误， 正确的结论是. 故答案为：A. 【分析】根据等边三角形的性质，得出ABC=60，根据全等三角形的性质得出 BQ=BP，CBQ=ABP，CQ=PA=3，BPA=BQC，从而得出PBQ=ABC=60，即可得出BPQ是等边三角形，故正确； 根据等边三角形的性质得出 PQ=PB=4，从而得出 CQ2+PQ2
3、=PC2，根据勾股定理的逆定理得出PCQ是直角三角形，故正确； 根据等边三角形的性质得出BPQ=BQP=60，从而得出BPA=BQC=150，故正确； 先求出APC=150-QPC，再根据PQC=90，CQPC，得出QPC30，即可得出APC120，故错误. 2下列各组数不是勾股数的是（ ） A3，4，5 B5，12，13 C7，24，25 D0.6，0.8，1 【答案】D 【解析】【解答】解：A、32+42=52，3、4、5 是正整数， 3、4、5 是勾股数，A 不符合题意； B、52+122=132，5、12、13 是正整数， 5、12、13 是勾股数，B 不符合题意； C、72+242=
4、252，7、24、25 是正整数， 7、24、25 是勾股数，C 不符合题意； D、0.6、0.8 不是正整数， 0.6、0.8、1 不是勾股数，D 符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据勾股数满足条件：满足 a2+b2=c2，且三个数为正整数，据此判断即可得出符合题意的选项. 3如图，在ABC中，点 D 是 AB 上一点，连接 CD，AC=2 ，BC=2，DB=1，CD= ，则 AB 的长为（ ） A5 B4 C3 D2 【答案】B 【解析】【解答】解：BD2+CD2=1+3=4，BC2=22=4， BD2+CD2=BC2， CDB=ADC=90， AB=AD+BD=3+1=4. 故答案为
5、：B. 【分析】分别求出 BD2+CD2和 BC2的值，可得到 BD2+CD2=BC2，由此可证得CDB=ADC=90；再利用勾股定理求出 AD 的长；然后根据 AB=AD+BD，代入计算求出 AB 的长. 4下列各组数据作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A B C D1.5，2，3 【答案】C 【解析】【解答】解：A、42，不能构成直角三角形，故 A 不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故 B 不符合题意； C、，能构成直角三角形，故 C 符合题意； D、，不能构成直角三角形，故 D 不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断，即可得出答案. 5
6、有下列说法： 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形；三边长为 ， ，3 的三角形为直角三角形；等腰三角形的两条边长为 2，4，则等腰三角形的周长为 10；一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形其中正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】B 【解析】【解答】解：根据等边三角形的判定定理：有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形，可知的说法正确； 由 ，可得三边长为 ， ，3 的三角形为直角三角形，故的说法正确； 等腰三角形的两条边长为 2，4，当腰为 2，底为 4 时不构成三角形；当腰为 4，底为 2 时，构成三角形，周长为 10，故说法正确； 一边
7、上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形，故说法错误. 正确的说法有 3 个. 故答案为：B. 【分析】利用等边三角性判定定理，可直接判断；利用勾股定理的逆定理，计算出三边的平方，可判断；根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系，分类讨论 2 为腰以及 4 为腰的情况，可判断；根据三角形的中线性质以及等腰直角三角形的判定可判断，由此可得出答案. 6如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A3 B C D 【答案】A 【解析】【解答】解： RtABC AC2+BC2=AB2=3 S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2=
8、 AB2+ AB2=AB2=3. 故答案为：A. 【分析】利用勾股定理求出 AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积. 7已知ABC中，A、B、C所对的边分别是 a、b、c，满足下列条件的三角形中，不能判定ABC为直角三角形是的（ ） AA：B：C3：4：5 BACB Ca：b：c5：12：13 DA：B：C1：2：3 【答案】A 【解析】【解答】解：A、 A：B：C3：4：5， 故 A 选项符合题意； B、 则 故 B 选项不符合题意； C、 a：b：c5：12：13，设 则 所以能构成直角三角形，故 C 选项不符合题意； D、 A：B：C1：2：3， 故 D 选
9、项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据三角形的内角和定理求出三角形中最大内角的度数，据此判断 A、B、D；设 a=5k，则 b=12k，c=13k，利用勾股定理逆定理可判断 C. 8下列命题中，是真命题的有（ ） 以 1、 、 为边的三角形是直角三角形，则 1、 、 是一组勾股数； 若一直角三角形的两边长分别是 5、12，则第三边长为 13； 二次根式 是最简二次根式； 在实数 0，0.3333， ，0.020020002， ，0.23456， 中，无理数有 3个； 东经 113，北纬 35.3能确定物体的位置. A B C D 【答案】D 【解析】【解答】解：以 1、 、 为边的三角形
10、是直角三角形，但 1、 、 不是勾股数，故该项不是真命题； 若一直角三角形的两边长分别是 5、12，则第三边长为 13 或 ，故该项不是真命题； 二次根式 不是最简二次根式，故该项不是真命题； 在实数 0，0.3333， ，0.020020002， ，0.23456， 中，无理数有 3个，故该项是真命题； 东经 113，北纬 35.3能确定物体的位置，故该项是真命题； 故答案为：D. 【分析】勾股数就是满足其中两个数的平方和等于第三个数的平方的三个正整数，据此进行判断；分两种情况：12 为直角边或 12 为斜边，利用勾股定理分别计算，再判断即可；最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母和
11、被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：开方开不尽的数，与 有关的数，锐角三角函数，如 sin60等，据此逐一判断；地图上确定物体的位置：经度和纬度，据此判断即可. 9如图，五根小木棒，其长度分别为 5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】A、对于ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理ADC也不是直角三角形，故不合题意； B、对于ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理ADC也不是直角三角形，故不合题意； C、对于ABC，由于，则此三角形是直角三角
12、形，同理BDC也是直角三角形，故符合题意； D、对于ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理BDC也不是直角三角形，故不合题意 故答案为：C 【分析】利用直角三角形的判定方法判断即可。 10如图有一个水池，水面 BE 的宽为 16 尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面 2 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ） A26 尺 B24 尺 C17 尺 D15 尺 【答案】C 【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得： ， 解得：， 所以 即：这个芦苇的高度是 17 尺 故答案为：C 【分析】根据题意，设水池的深度为尺，列出方程解答即可。 二
13、、填空题二、填空题 11一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则这个三角形的面积为 【答案】 【解析】【解答】解：三角形的三边长分别为， （）2+（）2=8=（）2， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积=. 故答案为： . 【分析】先根据三角形的三边满足勾股定理的逆定理，判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积公式代入数据求出面积即可. 12如图，已知 RtABC，C=90，AC=BC=2，点 M，N 分别为 CB，CA 上的动点，且始终保持BM=CN，则 AM+BN 的最小值为 【答案】2 【解析】【解答】解：如图，过点 B 作 BDAC，使得 BD=AC=BC=2，连接 AD，交 BC
14、于点 N，再过点 DEAB于 E 点， NC=MB，C=MBD=90，BC=BD， CBNBDM（SAS） ， BN=MD， AM+BN=AM+MD， 当 A、M、D 三点共线时，AM+MD 最小，最小为 AD，即 AM+BN 最小值为 AD 长， BD=CB=2, BE=DE=，AB=2 AE=AB+BE=2+=3, 在 RtAED中，由勾股定理得 AD=, AM+BN 的最小值为 2. 故答案为：2 . 【分析】过点 B 作 BDAC，使得 BD=AC=BC=2，连接 AD，交 BC 于点 N，再过点 DEAB于 E点，易证明CBNBDM，可得 BN=MD，进而得 AM+BN=AM+MD，
15、因此当 A、M、D 三点共线时 AM+BN 最小，最小值为 AD 长；再分别求出 DE 和 AE 得长，由勾股定理即可求得 AD 的长，即可求出 AM+BN 的最小值. 13如图所示的长方体中，长 AB5cm，宽 BC3cm，高 CD6cm，一只蚂蚁从顶点 A 处沿长方体的表面爬行到点 D 处，它爬行的最短距离为 . 【答案】10cm 【解析】【解答】解：如图，蚂蚁从前面与右侧面经过时，连接 AD 由题意得： 如图，蚂蚁从前面与上面经过时，连接 AD 由题意得： 如图，蚂蚁从左面与上面经过时，连接 AD 由题意得： 而 所以蚂蚁爬行的最短距离为 10cm. 故答案为：10cm. 【分析】蚂蚁从
16、前面与右侧面经过时，连接 AD，由题意得 AC=8，CD=6，利用勾股定理可得AD；蚂蚁从前面与上面经过时，连接 AD，由题意得 AB=5，BD=9，利用勾股定理求出 AD；蚂蚁从左面与上面经过时，连接 AD，由题意得 AG=3，DG=11，利用勾股定理求出 AD，然后进行比较即可得到最短距离. 14如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高.一只蚂蚱从 B 点爬到 D 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m 的路程. 【答案】 【解析】【解答】解：将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接 BD 根据题意，展开平面图中的 一只蚂蚱从 B 点爬到 D 点，最短路径长度为展开平面
17、图中 BD 长度 是长方形地面 故答案为：. 【分析】将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接 BD，可得一只蚂蚱从 B 点爬到 D点，最短路径长度为展开平面图中 BD 长度，利用勾股定理求出 BD 即可. 15如图，是的角平分线，则的长为 【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点作于点， ， 是直角三角形 是的角平分线， 在与中 设，则 在中， 即 解得 在中 故答案为： 【分析】过点作于点，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，可得 BE=BC=9，进而求出 AE 的长，再利用勾股定理列出方程求解即可。 三、解答题三、解答题 16如图，一棵竖直生长的竹子高为 8 米，一阵强
18、风将竹子从 C 处吹折，竹子的顶端 A 刚好触地，且与竹子底端的距离 AB 是 4 米求竹子折断处与根部的距离 CB 【答案】解：由题意知 BCAC8，CBA90， 设 BC 长为 x 米，则 AC 长为（）米， 在 RtCBA中，有， 即：x2+16=(8-x)2， 解得：， 竹子折断处 C 与根部的距离 CB 为 3 米 【解析】【分析】由题意可设 BC 长为 x 米，则 AC 长为（）米，在 RtCBA中，利用勾股定理列出方程，求解即可。 17学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端 A 系有一根升旗用的绳子,绳子垂直到地面时还剩 1 米长在地面（如图）,小芳为了测量旗杆 AB 的高度,将绳子拉
19、直,使绳子的另一端 C 刚好着地（如图） 量得 BC5 米,求旗杆 AB 的高度 【答案】解：设旗杆的高度为，则， 在中，由勾股定理即可得 解得： 故旗杆的高度为米 【解析】【分析】设旗杆的高度为，则，利用勾股定理可得，求出 x 的值即可。 18如图所示，A，B 两地之间有一-座山，汽车原来从 A 地到 B 地时需经过 C 地沿折线 ACB行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知 AC=10 km，A=30B=45则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？ 【答案】解：作 CDAB于点 D 在 RtACD中， A= 30， CD= AC=5 km， AD= ( km)
20、B=45， BD=CD=5 km，BC= (km)， AC+ BC- AB=10+ -( +5)=(5+ - ) km， 汽车从 A 地到 B 地比原来少走(5+ - ) km 【解析】【分析】作 CDAB于点 D，利用 30角所对的直角边等于斜边的一半，可求出 CD 的长，再利用勾股定理求出 AD 的长，利用等腰直角三角形的性质可求出 BD 的长，利用勾股定理求出 BC的长；然后根据汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 AC+BC-AB，代入计算求出其结果. 19如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13 米，此人以 0.5 米每秒的速度收绳
21、，10 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】解：在 RtABC中： CAB=90，BC=13 米，AC=5 米， （米） ， 此人以 0.5 米每秒的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置， CD=13-0.510=8（米） ， （米） ， BD=AB-AD=12- （米） ， 答：船向岸边移动了（12- ）米 【解析】【分析】在 RtABC 中利用勾股定理求出 AB 的长，再根据题意得出 CD 的长，再利用勾股定理计算出 AD 的长，再利用 AB=AD 即可得出 BD 的长。 20如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，若
22、AB5，BD3，AD4，AC8，求 CD 的长 【答案】解：AB5，BD3，AD4， ， ， ， 在 RtADC中，AC=8， 【解析】【分析】根据AB5，BD3，AD4，得出 ，在 RtADC 中，AC=8，利用勾股定理得出 DC 的值。 21小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点 A，小王的赛车从点 C 出发，以 4 米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点 B 出发，以 3 米/秒的速度由南向北行驶（如图） 已知赛车之间的距离小于或等于 25 米时，遥控信号会产生相互干扰，AC40 米，AB30 米出发 3 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】解：如图，出发 3 秒钟时， 米
23、， 米， AC=40 米，AB=30 米， AC1=28 米，AB1=21 米， 在 中， 米25 米， 出发 3 秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰 【解析】【分析】根据题意求得 米， 米， 得出 AC1=28 米，AB1=21 米， ，根据勾股定理即可得出结论。 22如图，在 ABC 中，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，若 AB=13，BD=5，AD=12，CD=16，求AC 的长度 【答案】解：AB=13，BD=5，AD=12， ， ABD是直角三角形，ADB90 ADC90，ADC是直角三角形 DC=16， AC= =20 【解析】【分析】由三角形三边的关系可判断ABD是直角三角形，然后由勾股定理即可求出 AC 的长。
