1、-1-6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2-第1课时课前篇自主预习激趣诱思知识点拨今年暑假期间,如果你想去北京旅游,可供选择的比较理想的旅游路线中,坐动车有三条,坐飞机有两条,坐汽车有两条,那么你可以选择的旅游的往返路线共有几条呢?课前篇自主预习激趣诱思知识点拨一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析应用分类加法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完成这件事.(2)完成这件事
2、的n类方案,无论用哪类方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属于某一类方案,不同类方案的任意两种方法不同,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类方案,则AB=,AB=U(U表示全集).课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习(1)已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,现从这两个班中任选一人去参加演讲比赛,则共有种不同的选法.(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3班,则此人的走法共有种.解析:(1
3、)若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则有56种不同的选法,所以共有110种不同的选法.(2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地.根据分类加法计数原理可得此人的走法共有4+3=7(种).答案:(1)110(2)7课前篇自主预习激趣诱思知识点拨二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.名师点析应用分步乘法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完成几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤
4、,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考如何区分“完成一件事”是分类还是分步?提示:区分“完成一件事”是分类还是分步,关键看一步能否完成这件事,若能完成,则是分类,否则,是分步.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习已知某乒乓球队有男队员9人、女队员8人,现从男、女队员中各选1人去参加比赛,则共有种不同的选法.解析:先从男队员中选1人,有9种不同的选法,再从女队员中选1人,有8种不同的选法.由分步乘法计数原理,
5、得共有98=72(种)不同的选法.答案:72课前篇自主预习激趣诱思知识点拨三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别1.联系:都是有关做一件事的不同方法种数的问题.2.区别:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.()(2)分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情.()(3)分
6、类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题.()(4)从甲地经丙地到乙地是分步问题.()答案:(1)(2)(3)(4)课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类加法计数原理分类加法计数原理例1某校高三共有三个班,各班人数如下表:班别男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测思路分析:(1)从每个班任选1名
7、学生担任学生会主席都能独立地完成这件事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分类加法计数原理.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有50+60+55=165(种)不同的选法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)从高三(1)班、(2)
8、班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有30+30+20=80(种)不同的选法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.分类加法计数原理的推广分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有
9、m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn种不同的方法.2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点(1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类;(2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事;(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.利用分类加法计数原理解题的一般步骤(1)分类,即将完成这件事情的方法分成若干类;(2)计数,求出每一类中的方法数;(3)结论,将各类的方法数相加得出结果.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1甲盒中有3个编号不
10、同的红球,乙盒中有5个编号不同的白球,某同学要从甲、乙两盒中摸出1个球,则不同的方法有()A.3种B.5种 C.8种D.15种解析:要完成“摸出1个球”这件事,有两类不同的方法.第1类,从甲盒中取出1个球,有3种不同的取法;第2类,从乙盒中取出1个球,有5种不同的取法.故共有3+5=8(种)不同的方法.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测分步乘法计数原理分步乘法计数原理例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重复)解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:第1步,有10种拨号方式,所以m1=10;
11、第2步,有10种拨号方式,所以m2=10;第3步,有10种拨号方式,所以m3=10;第4步,有10种拨号方式,所以m4=10.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10101010=10 000(个)四位数的号码.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:第1步,有10种拨号方式,即m1=10;第2步,去掉第1步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9;第3步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8;第4步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.根据分步乘法计
12、数原理,共可以组成N=10987=5 040(个)四位数的号码.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步,将完成这件事的过程分成若干步;(2)计数,求出每一步中的方法数;(3)结论,将每一步中的方法数相乘得最终结果.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2张老师要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则张老师从一层到三层有多少种不同的走法?解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法;第2步,从二层到三层有2种不同的走法.根据分步乘法计数原理知,张老师从教学楼的一层到三层的
13、不同走法有42=8(种).课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测两个计数原理的应用两个计数原理的应用例3现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4类,从四班学生中选1人,有10种选
14、法.由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).(2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.由分步乘法计数原理知共有不同的选法N=78910=5 040(种).课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)分六类,每类又分两步.从一、二班学生中各选1人,有78种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有79种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有710种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有89种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有810种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有910种不同的选法.由分类加法计数原理知共有不同
15、的选法N=78+79+710+89+810+910=431(种).课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.使用两个原理的原则使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理.2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测
16、变式训练3如图,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:要从甲地到丙地共有两类不同的方案:第1类,从甲地经乙地到丙地,共需两步完成,第1步,从甲地到乙地,有3条公路可走;第2步,从乙地到丙地,有2条公路可走.根据分步乘法计数原理,从甲地经乙地到丙地有32=6(种)不同的走法.第2类,从甲地不经乙地到丙地,有2条水路可走,即有2种不同的走法.由分类加法计数原理知,从甲地到丙地共有6+2=8(种)不同的走法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类
17、讨论思想的应用分类讨论思想的应用典例在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A.10B.11C.12 D.15课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:分0个相同、1个相同、2个相同讨论.(1)若0个相同,则信息为1001,共1个.(2)若1个相同,则信息为0001,1101,1011,1000,共4个.(3)若2个相同,又分为以下情况:若位置一与二相同,则信息为0101;若位置一与三相同,则信息为0011;若位置一与四相同,则信息为0000;若
18、位置二与三相同,则信息为1111;若位置二与四相同,则信息为1100;若位置三与四相同,则信息为1010.共有6个.故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.答案:B 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛 利用分类加法计数原理解题时的注意点(1)切实理解“完成一件事”的含义,根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏;(2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必属于某一类方案,分类的关键在于做到“不重不漏”;(3)确定题目中是否有特殊条件限制.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.某校高一年级共8个班,高
19、二年级共6个班,从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务,安排方法共有()A.8种B.6种 C.14种D.48种解析:由分类加法计数原理,得完成升旗这一任务分两类,安排方法共有8+6=14(种).答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为()A.11B.28C.16 384D.2 401解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的选法.故共有47=28(种)不同的配法.答案:B课堂篇探究学习探究
20、一探究二探究三素养形成当堂检测3.(2020山东济南高三三模)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有()A.50种 B.60种C.80种D.90种课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有10种,此时有210=20(种)
21、不同的选法.若甲选择马或猴,此时甲的选择有2种,乙的选择有3种,丙的选择有10种,此时有2310=60(种)不同的选法.一共有20+60=80(种)不同的选法.故选C.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有个.解析:第1步,确定数b,有6种不同取值;第2步,确定数a,也有6种不同取值.根据分步乘法计数原理,知共有虚数66=36(个).答案:36课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.某校高中三年级一班有优秀团员8人,二班有优秀团员10人,三班有优秀团员6人,学校组织他们去参
22、观某爱国主义教育基地.若推选1人为总负责人,有种不同的选法.解析:分三类:第1类,从一班的8名优秀团员中产生,有8种不同的选法;第2类,从二班的10名优秀团员中产生,有10种不同的选法;第3类,从三班的6名优秀团员中产生,有6种不同的选法.由分类加法计数原理可得,共有N=8+10+6=24(种)不同的选法.答案:24-39-6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-40-第2课时课前篇自主预习激趣诱思知识点拨电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖决定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定
23、一名幸运伙伴,有多少种不同的选择?课前篇自主预习激趣诱思知识点拨两个计数原理的联系与区别1.联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨2.区别 类型分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类方案,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类方案中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类
24、方案之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析处理具体问题时,一是合理分类,准确分步:分类时,要不重不漏;分步时,要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步.二是特殊优先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考分类“不重不漏”的含义是什么?提示:分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类.一般地,标准不同,分类的结果也不同;其次,分类
25、时要注意满足一个基本要求:完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案.简单地说,就是应用分类加法计数原理时要做到“不重不漏”.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习(1)某小组有8名男生、6名女生,从中任选男生、女生各一名去参加座谈会,则不同的选法有()A.48种 B.24种C.14种D.12种(2)一项工作可以用两种方法完成,有3人会用第1种方法完成,有5人会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这项工作,不同的选法种数是()A.8B.15C.16 D.30(3)用数字2,3组成四位数,且数字2,3都至少出现一次,这样的四位数共有个.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨解析:(1)从8名男生
26、中任意挑选一名参加座谈会,有8种不同的选法;从6名女生中任意挑选一名参加座谈会,有6种不同的选法.由分步乘法计数原理知,不同选法共有86=48(种).(2)第1类,从会第1种方法的3人中选1人,有3种不同的选法;第2类,从会第2种方法的5人中选1人,有5种不同的选法,共有5+3=8(种)不同的选法.(3)可用排除法,这个四位数每一位上的数只能是2或3,则这样的四位数共有24个.而题目要求数字2,3都至少出现一次,所以全是2或全是3的四位数不满足,即满足要求的四位数有24-2=14(个).答案:(1)A(2)A(3)14课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测组数问题组数问题例1用0,1
27、,2,3,4五个数字,(1)可以组成多少个三位数字的电话号码?(2)可以组成多少个三位数?(3)可以组成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)三位数字的电话号码,百位上的数字可以是0,数字也可以重复,每个位置上的数字都有5种取法,可以组成555=53=125(个)三位数字的电话号码.(2)三位数的百位上的数字不能为0,但可以有重复数字,首先考虑百位上的数字的取法,除0外共有4种取法,个、十位上的数字可以取0,因此,可以组成455=100(个)三位数.(3)被2整除的数即偶数,个位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是个位数字是0,
28、可以组成43=12(个)三位数;一类是个位数字不是0,则个位上的数字有2种取法,即2或4,再考虑百位上的数字,因为0不能是百位上的数字,所以有3种取法,十位有3种取法,因此有233=18(个)三位数.因而有12+18=30(个)三位数.即可以组成30个能被2整除的无重复数字的三位数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?解:完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第1步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第2步定千位,把1,2,3,4中除去用过的一个数,在剩下的3个数中任取一个,有3种方法;第3步,第4
29、步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位,有3种方法,再排十位,有2种方法.由分步乘法计数原理知共能组成2332=36(个)无重复数字的四位奇数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 对于组数问题应掌握的原则(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其
30、中奇数的个数为()A.24B.18C.12 D.6解析:由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3种情况),之后十位(2种情况),最后百位(2种情况),共12种情况;如果是第二种偶奇奇的情况,则个位(3种情况),十位(2种情况),百位(不能是0,一种情况),共6种.因此总共有12+6=18(种)情况.故选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测抽取抽取(分配分配)问题问题例2高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有()
31、A.16种 B.18种C.37种D.48种思路分析:解决此类问题可以用直接法先分类再分步,也可用排除法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(方法一直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类.第1类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种;第2类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配方案有33=9(种);第3类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案有333=27(种).综上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37(种).(方法二间接法)先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即有444-333=37(种)
32、不同的分配方案.答案:C 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法.(2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2 7名学生中有3名学生会下象棋但不会下围棋,有2名学生会下围棋但不会下象棋,另2名学生既会下象棋又会下围棋.现
33、从中选出会下象棋和会下围棋的学生各1人参加比赛,共有多少种不同的选法?课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N1=32=6(种).第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N2=32=6(种).第3类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N3=22=4(种).第4类,从2名既会下象棋又会下围
34、棋的学生中选1名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛,有N4=2种.综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(种).课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测涂色问题涂色问题例3将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?思路分析:注意考虑不相邻区域颜色是否相同. 课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有43=12(种)不同
35、的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5123=180(种)不同的涂法.当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有544=80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180+80=260(种)不同的涂法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种?课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:依题意,可分两类:不同色;同色. 第1类,不同色,则所涂的颜色各不相同,我们可将这件事情分成四步来完成.
36、第1步涂,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第2步涂,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第3步涂与第4步涂时,分别有3种涂法和2种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5432=120(种).第2类,同色,则不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.第1步涂,有5种涂法;第2步涂,有4种涂法;第3步涂,有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有543=60(种).综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(种).课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法:(1)按区域的不
37、同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.(3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题.种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有种.解析:先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,再涂三棱柱的三个侧面,由分
38、步乘法计数原理,共有3212=12(种)不同的涂法.答案:12课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测元素重复选取的计数问题元素重复选取的计数问题典例(1)5名学生从4项体育项目中选取一项参赛,若每一名学生只能参加一项,则有多少种不同的参赛方法?(2)若5名学生争夺4项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限,没有并列冠军),则冠军获得者有几种不同情况?解:(1)每名学生都可从4项体育项目中选一项,有4种选法,故5名学生的参赛方法有44444=45=1 024(种).(2)每个冠军皆有可能被5名学生中任1人获得,则冠军获得者的不同情况有5555=54=625(种).课堂篇探究学习探究一探究二探
39、究三素养形成当堂检测方法点睛 解答这类问题,切忌死记公式“mn”和“nm”.而应弄清哪类元素必须用完,从而以它为主进行分析,再用分步乘法计数原理求解.实际上,哪类元素允许重复选取,就以哪类元素的个数为幂的底数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为()A.30B.20C.10 D.6解析:从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为偶数可分为两类,取出的两数都是偶数,共有3种取法;取出的两数都是奇数,共有3种取法.故由分类加法计数原理得,共有N=3+3=6(种)取法.答案
40、:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异色,若只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法共有()A.48种 B.72种C.96种 D.108种解析:设四棱锥为P-ABCD.当A,C颜色相同时,先染P有4种方法,再染A,C有3种方法,然后染B有2种方法,最后染D也有2种方法.根据分步乘法计数原理知,共有4322=48(种)方法;当A,C颜色不相同时,先染P有4种方法,再染A有3种方法,然后染C有2种方法,最后染B,D都有1种方法.根据分步乘法计数原理知,共有43211=24(种)方法.综上,共有48+24=72(种)方法.故
41、选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.(2020甘肃靖远第四中学高二期中)我校兼程楼共有5层,每层均有两个楼梯,由一楼到五楼的走法有()A.10种 B.16种C.25种D.32种解析:走法共分四步,一层到二层2种,二层到三层2种,三层到四层2种,四层到五层2种,一共24=16(种).故选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法?解:由题意可知,在艺术小组9人中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲),只会钢琴
42、的有6人,只会小号的有2人.把从中选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类.第1类,甲入选,另1人只需从其他8人中任选1人,故这类选法共8种;第2类,甲不入选,则会钢琴的只能从6个只会钢琴的人中选出,有6种不同的选法,会小号的也只能从只会小号的2人中选出,有2种不同的选法,所以这类选法共有62=12(种).因此共有8+12=20(种)不同的选法.-71-6.2.1排列6.2.2排列数课前篇自主预习激趣诱思知识点拨经历了7月高考的洗礼,考生们就可以报考自己理想的大学了.大学录取的依据是考生所填写的高考录取志愿表和考生的考分.大学录取是按批次进行的,每个批次里考生可以选择若干个学校.假如你已经选中了
43、第一批本科中较为满意的8个学校和5个专业,那么在填写录取志愿表时,将有多少种不同的填写方法呢?课前篇自主预习激趣诱思知识点拨一、排列的相关概念1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.名师点析理解排列应注意的问题(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考如何判断一个具体问题是否为排列问题?提示:(1)首先要保证元素无重复性,即从n
44、个不同元素中,取出m个不同的元素,否则不是排列问题.(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习下列问题中:10本不同的书分给10名同学,每人一本;10位同学互通一次电话;10位同学互通一封信;10个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有()A.1个B.2个C.3个 D.4个解析:由排列的定义可知是排列,不是排列.答案:B课前篇自主预习激趣诱思知识点拨二、排列数与排列数公式1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元
45、素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?提示:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习从5面不同颜色的小旗中取出三面,按从上到下的顺序排在一起表示信号,不同的顺序表示不同的信号,则一共可表示种不同的信号.
46、解析:一共可表示 =543=60(种)不同的信号.答案:60课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测简单的排列问题简单的排列问题例1(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?(2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?思路分析:(1)从5个不同的科研小课题中选出3个分给3个兴趣小组,要注意各个小组得到不同的科研课题属于不同的情况;(2)从12名选手中选出3名选手分别得一等奖、二等奖、三等奖.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当
47、堂检测解:(1)从5个不同的科研小课题中选出3个,由3个学习兴趣小组进行研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列.因此不同的安排方法有 =543=60(种).(2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次,共有 =121110=1 320(种)不同的获奖情况.反思感悟 对简单的没有限制条件的排列问题,在分清元素和位置的情况下,直接用排列数公式进行计算.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B.甲乙丙、乙丙甲C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D.甲乙、甲丙、乙丙解析:从三人中选出两人,而且要考
48、虑这两人的顺序,所以有如下几种站法:甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测排列数公式排列数公式例2求解下列问题:(1)用排列数表示(55-n)(56-n)(69-n)(nN*,且n55).思路分析:(1)用排列数公式的定义解答即可;(2)直接用排列数公式计算;(3)用排列数的公式展开得方程求解,要注意x的取值范围,并检验根是否合理.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)因为55-n,56-n,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15(个),课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测解得x
49、3,xN*.根据排列数公式,原方程化为(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140 x(x-1)(x-2).因为x3,两边同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2),即4x2-35x+69=0,解得x=3或x= (因为x为整数,所以应舍去).所以原方程的解为x=3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 应用排列数公式时应注意三个方面问题(1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算.(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律,进行数据的组合,可以提高运算的速度和
50、准确性.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测“邻邻”与与“不邻不邻”问题问题例37人站成一排.(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?思路分析:若元素相邻,则可将相邻元素视为一个元素,即将甲、乙或甲、乙、丙“捆绑”在一起,视为一个元素,与其他元素一起排列.至于不相邻问题,可以用“总”的排法减去“相邻”的排法,也可以用插空法解决.课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三素养形成
