1、3.2立体几何中的向量方法(二) 空间向量与垂直关系学习目标1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l1的方向向量为1(1，3，2)，直线l2的方向向量为2(1，1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案l1与l2垂直，因为121320，所以12，又1，2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂
2、直，否则不垂直.梳理梳理设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lm .a1b1a2b2a3b30ab0知识点二向量法判断线面垂直思考答案垂直，因为1 2，所以12，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l的方向向量与平面的法向量共线l.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直直线与平面平行或直线在平面内.(3)直线l的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量垂直l.梳理梳理设直线l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量(a2，b2，c2)，则la .ak(kR)知识点三向量法判断
3、面面垂直思考平面，的法向量分别为1(x1，y1，z1)，2(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面，垂直的关系式是什么？x1x2y1y2z1z20.答案梳理梳理若平面的法向量为(a1，b1，c1)，平面的法向量为(a2，b2，c2)，则0 .a1a2b1b2c1c20题型探究类型一证明线线垂直例例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN CC1.求证：AB1MN.证明设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的
4、坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.反思与感悟直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，跟踪训练跟踪训练1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.证明类型二证明线面垂直例例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正
5、三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中， 平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.又因为BA1BDB，所以AB1平面A1BD.反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练跟踪训练2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为D
6、D1的中点.求证：直线PB1平面PAC.证明又PAPCP，所以PB1平面PAC.类型三证明面面垂直例例3在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E为BB1的中点，求证：平面AEC1平面AA1C1C.证明设平面AA1C1C的法向量为n1(x，y，z)，令x1，得y1，故n1(1，1，0).设平面AEC1的法向量为n2(a，b，c)，令c4，得a1，b1，故n2(1，1，4).因为n1n2111(1)040，所以n1n2.所以平面AEC1平面AA1C1C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2
7、)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练跟踪训练3在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.证明设平面ABC的法向量为n1(x1，y1，z1)，n1(1，1，0)为平面ABC的一个法向量.设n2(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得n2(1，1， ).n1n2(1，1，0)(1，1， )0，平面BEF平面ABC.当堂训练1.下列命题中，正确命题的个数为若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则 n1n20；若n是平面的法向量，a与平面平行，则na
8、0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.4中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知正确.答案解析234512.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为A.a(1，0，0)，b(3，0，0)B.a(0，1，0)，b(1，0，1)C.a(0，1，1)，b(0，1，1)D.a(1，0，0)，b(1，0，0)因为a(0，1，0)，b(1，0，1)，所以ab0110010，所以ab，故选B.23451答案解析234513.若直线l的方向向量为a(1， 0， 2)， 平面的法向量为(2， 0， 4)， 则A.l B.l C.l D.
9、l与斜交a，l.答案解析234514.平面的一个法向量为m(1， 2， 0)， 平面的一个法向量为n(2， 1， 0)，则平面与平面的位置关系是A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定(1，2，0)(2，1，0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直.答案解析234515.已知平面与平面垂直，若平面与平面的法向量分别为(1，0，5)，(t，5，1)，则t的值为_.5平面与平面垂直，平面的法向量与平面的法向量垂直，0，即(1)t05510，解得t5.答案解析规律与方法空间垂直关系的解决策略 几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90 .(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m与n相交，则l.(2)若lm，m，则l(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线l，m和平面，(1)若l，l，则.(2)若l，m，lm，则.(3)若平面与相交所成的二面角为直角，则证明两个平面的法向量互相垂直
