1、第1章1.2函数的概念和性质1.2.1对应、映射和函数 学习目标 1.能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象.2.会判断给出的对应是否是映射.3.能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域.4.能说出函数的三要素.1 预习导学 挑战自我，点点落实2 课堂讲义 重点难点，个个击破3 当堂检测 当堂训练，体验成功预习导引1.映射(1)在数学里，把集合到集合的 说成是映射.(2)映射的定义：设A，B是两个非空的集合.如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：AB.(3)在映射f：AB中
2、，集合A叫作映射的 ，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的 ，记作yf(x)，x叫作y的 .确定性的对应任何一个唯一定义域象原象2.函数(1)函数就是 的映射.(2)函数的定义：设A，B是两个非空的 .如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有_和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：AB，或者yf(x)(xA，yB).数集到数集数集唯一的数y(3)在函数yf(x)(xA，yB)中，A叫作函数的 ，与xA对应的数y叫x的 ，记作yf(x)，由所有xA的象组成的集合叫作函数的 .(4)函数的三要素： ； ； .定义域象值域对应法则定义域值域要点一映射定义
3、的理解例1判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射.哪些不是，为什么？解任一个x都有两个y与之对应，不是映射.解对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，是映射.(3)A0,1,2,9，B0,1,4,9,64，f：ab(a1)2.解在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，是映射.规律方法判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是不是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”.一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射.说明一个对应不是映射，
4、只需举一个反例即可.跟踪演练1下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？解当x1时，y的值不存在，不是映射，更不是函数.解是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素.(3)A0，)，BR，f：xy2x；解当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，不是映射，更不是函数.(4)Ax|x是平面M内的矩形，Bx|x是平面M内的圆，f：作矩形的外接圆.解是映射，但不是函数，A，B不是非空的数集.要点二映射的象与原象例2已知映射f：AB，其中ABR，对应法则f：xyx22x.(1)求A中元素1和3的象；解令x1得y(1)22(1)1，令x3得y322315，所以1的象是1,3的象是15.
5、(2)求B中元素0和3的原象；解令x22x0，解得x0或2，所以0的原象是0或2.令x22x3.解得x1或3，所以3的原象是1或3.(3)B中的哪一些元素没有原象？解由于yx22x(x1)211，所以只有当y1时，它在A中才有原象，而当y1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于1的元素没有原象.规律方法1.解答此类问题的关键：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则.2.对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解.跟踪演练2(1)映射f：AB，A3，2，1,1,2,3,4，对于任意aA，在集合B中和它对应的元
6、素是|a|，则集合B中元素的最少个数是()A.7B.6C.5D.4解析由映射定义知，B中至少有元素1,2,3,4，即B中至少有4个元素，选D.D(2)设Ax|x是锐角，B(0,1)，从A到B的映射是“求正弦”，与A中元素60相对应的B中的元素是_，与B中元素 相对应的A中的元素是_.解析60角的正弦等于 ，45角的正弦等于 ，所以60的象是 ， 的原象是45.45要点三映射的个数问题例3已知Ax，y，Ba，b，c，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？解分两类考虑：(1)集合A中的两个元素都对应B中相同元素的映射有3个.(2)集合A中的两个元素对应B中不同元素的映射有6个.A到B的映射共有9
7、个.规律方法1.若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有mn个，从B到A的映射有nm个.2.对于给出A到B的映射需要满足某些特殊要求时，求映射的个数的问题，其关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图示法、数形结合法等).跟踪演练3(1)在例3中，从集合B到集合A可以建立多少个不同的映射？解可以建立以下8个不同的映射：(2)已知集合Aa，b，B2,0，2，f是从A到B的映射，且f(a)f(b)0，求这样的映射f的个数.解符合要求的映射f有以下3个：要点四函数的概念例4下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A.x2y21，xA，yBB.A1,2,3,4，B1,1，对应法则如图所示
8、选项B中，对于任意xA，都有唯一yB；选项C中，x1时，通过法则f，y值不存在；答案B意值，y不唯一；规律方法判断由一个式子是否确定y是x的函数的一般程序：(1)将原式等价转化为用x表示的形式；(2)看x的取值集合是否为 ，若是 ，则不是函数，若不是 ，再看x与y的对应法则；(3)判断对于原式有意义的每一个x值，是否都有唯一的y值与之对应.若是，则确定y是x的函数，若不是，则不能确定y是x的函数.另外还要注意若题目是图象的形式，就要观察图象中是否有一个自变量对应多个函数值的形式，若有这种情况则构不成函数.跟踪演练4下列各图中，可表示函数yf(x)图象的只可能是()解析由函数定义知，对于x的每一
9、个值应有唯一的y的值与之对应，只有D项正确.D1.给出下列四个对应法则，是映射的是()1 2 3 4 5A.B.C. D.解析中c没有与之对应的元素，不是映射；中a有两个与之对应的元素，不是映射，所以选C.答案C1 2 3 4 52.对于集合A到集合B的映射，下列理解不正确的是()A.A中的元素在B中一定有象B.B中的元素在A中可能没有原象C.集合A中的元素与B中的元素一一对应D.设ABR，那么yx2是A到B的一个映射解析在A到B的映射中，A中的元素与B中的元素不一定是一一对应，可以多对一，选C.1 2 3 4 5C1 2 3 4 51 2 3 4 5答案C1 2 3 4 51 2 3 4 5
10、D选项中y ，x的每一个值都有2个y值与之对应，不是函数，C项中由于x20且1x0，所以x的值不存在，也不能确定函数，只有A项正确.答案A1 2 3 4 55.设集合Aa，b，B0,1，则从A到B的映射共有_个.解析可以构成4个映射，它们是4课堂小结1.映射的定义(1)从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非空集合A和B，建立一个对应法则f：AB，且满足映射的对应关系.(2)对应关系有三种：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”.根据映射的定义可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映射，而“一对多”不可以.(3)映射的定义涉及两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合.2.函数符号yf(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应法则f的作用下即可得到唯一确定的值y”.在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应法则，甚至认为函数就是函数值.3.正确理解函数的三要素，其中对应法则是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义.
