1、数学家大会欢您！数学家大会欢您！ 读一读读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦较长的直角边称为股，斜边称为弦.图图1-1称为称为“弦图弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽给出的，最早是由三国时期的数学家赵爽给出的.图图1-2是是在北京召开的在北京召开的2002年国际数学家大会（年国际数学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是的会标，其图案正是“弦图弦图”，它标志着中国古代的，它标志着中国古代的数学成就数学成就. 图1-1图1-2 18.1 勾股定理勾股定理教学目标教学目标：知识技能知识技能了解勾股定理的文化
2、背景，体验勾股定理的探索过程。数学思考数学思考在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力。解决问题解决问题1通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。2在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结 果。情感态度情感态度1通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。2在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。看一看看一看 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，面反映直角三角形三边的某种数量
3、关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？你能发现什么？数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方ABCABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系A的面的面积积(单位单位长度长度)B的面的面积积(单位单位长度长度)C的面的面积积(单位单位长度长度)图图1图图29918448AB
4、CABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形143 3182 分分“割割”成若干个直成若干个直角边为整数的三角形角边为整数的三角形（单位面积）（单位面积）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形216218（单位面积）（单位面积）把把C“补补” 成边长为成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2 SA+SB=SCA的面的面积积(单位单位长度长度)B的面的面积积(单位单
5、位长度长度)C的面的面积积(单位单位长度长度)图图19918图图1A、B、C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系448两直角边的平方和等于斜边的平方ABC图图3-1ABC图图3-2分割成若干个直角边为分割成若干个直角边为整数的三角形整数的三角形cS正方形25144 3 12 （面积单位）（面积单位）一般的直角三角形一般的直角三角形三边为边关系三边为边关系探究二：ABC图图3-1ABC图图3-2把把C“补补”成边长为成边长为7的的正方形面积加正方形面积加1单位面单位面积的一半积的一半cS正方形25（面积单位）（面积单位）思考：思考：面积面积A，B，C还有上述关系还有上述关系吗？吗
6、？）（17212ABC图图3-1ABC图图3-2（1）你能用三）你能用三角形的边长表示角形的边长表示正方形的面积吗？正方形的面积吗？（2）你能发现）你能发现直角三角形三边直角三角形三边长度之间存在什长度之间存在什么关系吗？与同么关系吗？与同伴进行交流。伴进行交流。议一议议一议 4232522232（ 13 ）2A AB BC Ca ac cb bS Sa a+S+Sb b=S=Sc c设：直角三角形的三边长分别是设：直角三角形的三边长分别是a、b、c猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a a2 2+b+b2 2=c=c
7、2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方. .勾勾股股弦弦 命题：命题：探究三：探究三： 你会用四个全等的直角三角形拼成哪些图形？你会用四个全等的直角三角形拼成哪些图形？abcabcabcabcacbabc22214)(cabab222cba22222cabaabb思考：大正方形面积怎么求？赵爽弦图赵爽弦图结论：a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方. .勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) )勾股
8、定理的由来这个定理在中国又称为这个定理在中国又称为“商高定理商高定理”，在外国称为，在外国称为“毕达哥拉毕达哥拉斯定理斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周。纪的中国人。当时中国的朝代是西周。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经周髀算经中记中记录着商高同周公的一段对话。商高说：录着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，故折矩，勾广三，股修勾广三，股修四，经隅五四，经隅五。“什么是什么是”勾、股勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成呢？在中国古代
9、，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为直角的手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”。商高那。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3 3（短边）（短边）和和4 4（长边）时，径隅（就是弦）则为（长边）时，径隅（就是弦）则为5 5。以后人们就简单地把这个。以后人们就简单地把这个事实说成事实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作的话中，所以人们就把这个定理叫作 商高定理商高定理 。毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（Pythagora
10、sPythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，纪的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几。希腊另一位数学家欧几里德（里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右的人）在编著，是公元前三百年左右的人）在编著几何原本几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为定理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理。（为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做
11、的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理百牛定理”）走进数学史勾股定理的证明方法（这里有六种）证法一证法二证法三（邹元治证明）（邹元治证明）（赵爽证明）（赵爽证明） 赵爽赵爽:我国古代数学家我国古代数学家走进数学史勾股定理的证明方法证法四证法五证法六（加菲尔德证明）（加菲尔德证明） 加菲尔德加菲尔德:第二十任总统第二十任总统（梅文鼎证明）（梅文鼎证明） 梅文鼎梅文鼎:清代天文、数学家清代天文、数学家（项明达证明）（项明达证明） 项明达项明达:清代数学家清代数学家走进数学史做一做：做一做： P62540026xP的面积的面积 =_X=_X=_2432262
12、2x24225BACAB=_AC=_BC=_2515202.2.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169x x比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！3.3.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x勾股定理，想得再多一点 国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部妈妈买了一部42英寸英
13、寸（106厘米厘米）的电视机）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85厘米厘米长和长和64厘米厘米宽，他觉得一定是售货员宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？为什么吗？走进生活走进生活 作业作业 教材第教材第69页习题页习题18.1第第1、2、3题题 -八年级数学下册教材分析数与代数与代数数实践与运用实践与运用空间与图形空间与图形统计与概率统计与概率八八年年级级数数学学分式分式数据的分析数据的分析勾股定理勾股定理四边形四边形课题学习课题学习综合应用综合应用实践活动实践活动一、人教
14、版八年级数学下册内容的安排一、人教版八年级数学下册内容的安排反比例函反比例函数数分式基分式基本性质本性质分式分式运算运算分式分式方程方程分式分式定义定义约分通分性质加减乘方乘除整数指数幂定义解方程方程的解应用意义应用定义 第十六章第十六章分式分式二、教材内容分析二、教材内容分析二、教材内容分析二、教材内容分析 勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理验验证证应用应用勾股定理勾股定理的逆定理的逆定理毕达哥拉斯毕达哥拉斯茄菲尔德茄菲尔德赵爽赵爽已知直角三角形的两边求第三已知直角三角形的两边求第三边边实际问实际问题题在数轴上表示无理数在数轴上表示无理数命命题题互逆互逆定理定理内内容容验证验证应应用用已知三边
15、判断形已知三边判断形状状实际问题实际问题内内容容构造全等的直角三角构造全等的直角三角形形互逆互逆命题命题逆逆命命题题原原命命题题二、教材内容分析二、教材内容分析有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等不规则的几何图形重不规则的几何图形重心心有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角四四边边形形平行四边形平行四边形矩形矩形菱菱形形正方形正方形等腰梯形等腰梯形直角直角梯形梯形两组对边两组对边分别平行分别平行有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等一组对边平一组对边平行、另一组行、另一组对边不平行对边不平行 两条腰相等两条腰相等有一个角是直角有一个角是直
16、角 梯形梯形重心重心中点中点四边形四边形对角线相等的四边形的中点四边形是对角线相等的四边形的中点四边形是菱形菱形对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形形规则的几何图形重心规则的几何图形重心几何中心几何中心 悬线法悬线法 一般一般四边形四边形四边形四边形特殊特殊四边四边形形在平面内在平面内, ,四条线段四条线段首首尾顺次相接组成的图尾顺次相接组成的图形形二、教材内容分析二、教材内容分析数据的分析数据的分析数据的代表数据的代表数据的波动数据的波动平平均均数数中中位位数数众众数数极极差差方方差差反映数据向其中心值聚反映数据向其中心值聚集的程度集的程度反映数据分
17、布的离反映数据分布的离散程度散程度统计与概率统计与概率二、教材内容分析二、教材内容分析第十六章：分式第十六章：分式 1、以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2、类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3、类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4、结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5、结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。三、新课标对本年级、本学科的基本要求三、新课
18、标对本年级、本学科的基本要求第十七章：反比例函数第十七章：反比例函数 1、使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2、能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点；3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；4探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型；5使学生在学习一次函数之后，进一步理解
19、常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。三、新课标对本年级、本学科的基本要求三、新课标对本年级、本学科的基本要求第十八章第十八章 ：勾股定理：勾股定理 1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题； 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。三、新课标对本年级、本学科的基本要求三、新课标对本年级、本学科的基本要求第十九章：四边形第十九章：四边形 1、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系；2、探索并掌握平行四边形、矩
20、形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算；3、探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心的物理意义；4、通过经历特殊四边形性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力；5、结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；6、通过分析四边形与特殊四边形，以及平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生认识到特殊与一般的关系，从而体会事物之间总是互相联系又是互相区别的，进一步培养学生的辩证唯物主义观点。三、新课标对本年级、本学科的基本要求三、新
21、课标对本年级、本学科的基本要求第二十章第二十章 ：数据的分析：数据的分析 1、进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义；2、会计算加权平均数，理解“权”的意义，能选择适当的统计量表示数据的集中趋势；3、会计算极差和方差，理解它们的统计意义，会用它们表示数据的波动情况；4、能用计算器的统计功能进行统计计算，进一步体会计算器的优越性；5、会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想；6、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的
22、科学态度。三、新课标对本年级、本学科的基本要求三、新课标对本年级、本学科的基本要求1 122 23 36 6四、本书编写特点四、本书编写特点加强与实际的联系，体现知识的形成和应用加强与实际的联系，体现知识的形成和应用注意揭示数学的本质注意揭示数学的本质为学生创设探索和交流的机会，加大为学生创设探索和交流的机会，加大学生思维的空间学生思维的空间遵循认知遵循认知 规律规律正确处理正确处理 关系关系编编 写写特特点点 数学课程数学课程学生学生教师教师学生学生数学数学社会社会适应形势适应形势关注需要关注需要更新认识更新认识着眼长远发展着眼长远发展培养精神意识培养精神意识提高能力提高能力创造空间创造空间
23、营造氛围营造氛围互动提供资源互动提供资源教材教材改进呈现方式改进呈现方式提高兴趣提高兴趣现代技术现代技术体体例例安安排排章章节节习题习题章前图、引言章前图、引言节、习题节、习题数学活动数学活动小结小结供学生预习供学生预习实践性实践性导入新课材料导入新课材料开放性开放性综合性综合性知识结构图知识结构图回顾与思考回顾与思考正文正文选学选学观观察察思思考考探探究究讨讨论论归归纳纳各栏目以问题、留白、各栏目以问题、留白、填空等形式为学生提供填空等形式为学生提供思维发展、合作交流的思维发展、合作交流的空间空间观观察察与与猜猜想想实实验验与与探探究究阅阅读读与与思思考考信信息息技技术术应应用用为加深对相关
24、内容的认识为加深对相关内容的认识 扩大学生的知识面扩大学生的知识面 运用现代信息技术手段学运用现代信息技术手段学习习练习练习习题习题复习题复习题课上使用课上使用所学所学内容内容的的的的巩固巩固与延与延伸伸课内课外作业课内课外作业复习全章使用复习全章使用正文边空正文边空小小贴贴示示云云朵朵介绍与正介绍与正文相关的文相关的背景知识背景知识有助于理有助于理解正文的解正文的问题问题复习巩固复习巩固综合应用综合应用拓广探索拓广探索四、体例安排四、体例安排值值得得关关注注的的问问题题加强知识之间的相互联系，加强知识之间的相互联系，在已有经验的基础上进行教学在已有经验的基础上进行教学对于推理的要求对于推理的
25、要求 重视文化传承，关注人文教育重视文化传承，关注人文教育 如：如：在“分式”一章中，分式的有关概念、性质和运算法则与分数的相应内容紧密相关，分式方程最后要转化为整式方程才得以解决，在分式方程的编写思路上，同整式方程一样，也强调了分式方程是解决实际问题的数学模型的思想； 在在“勾股定理勾股定理”一章中，对于勾股定一章中，对于勾股定理及其逆定理的证明方法，实际上是理及其逆定理的证明方法，实际上是过计算进行证明的，这种方法与前面过计算进行证明的，这种方法与前面学过的一些判定方法不同。学过的一些判定方法不同。 如：如：在在“勾股定理勾股定理”一章，一章，教科书结合具体内容，介绍教科书结合具体内容，介
26、绍了我国古算书了我国古算书周髀算经周髀算经关于关于“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”的记载，介绍了赵爽弦图，的记载，介绍了赵爽弦图，以及赵爽利用弦图证明勾股以及赵爽利用弦图证明勾股定理的思路。定理的思路。 五、值得关注的问题五、值得关注的问题 1 灵活使用教材，设计新颖教程。2鼓励学生自主探索与合作交流。 3尊重学生个性差异，满足多样化的学习需求。六、教材处理六、教材处理教法与学法教法与学法学生享受合作学生享受合作探究的乐趣探究的乐趣师生互动师生互动 和谐发展和谐发展激起学生思激起学生思考的火花考的火花三维目标的三维目标的落实落实七、理想的数学课堂七、理想的数学课堂谢谢 谢谢 大大 家！家！欢欢 迎迎 指指 导导
