1、6.3 数学归纳法(二) 一、基础达标 1用数学归纳法证明等式 123(n3)n3n4 2 (nN*)，验证 n1 时，左边应取的项是 ( ) A1 B12 C123 D1234 答案 D 解析 等式左边的数是从 1 加到 n3. 当 n1 时，n34，故此时左边的数为从 1 加到 4. 2用数学归纳法证明“2nn21 对于 nn0的自然数 n 都成立”时，第一步证 明中的起始值 n0应取 ( ) A2 B3 C5 D6 答案 C 解析 当 n 取 1、2、3、4 时 2nn21 不成立，当 n5 时，2532521 26，第一个能使 2nn21 的 n 值为 5，故选 C. 3用数学归纳法证
2、明不等式 11 2 1 4 1 2n 1127 64 (nN*)成立，其初始值至 少应取 ( ) A7 B8 C9 D10 答案 B 解析 左边11 2 1 4 1 2n 1 1 1 2n 11 2 2 1 2n 1，代入验证可知 n 的最小 值是 8. 4用数学归纳法证明不等式 1 n1 1 n2 1 2n 11 24(nN *)的过程中，由 nk 递推到 nk1 时，下列说法正确的是 ( ) A增加了一项 1 2k1 B增加了两项 1 2k1和 1 2k1 C增加了 B 中的两项，但又减少了一项 1 k1 D增加了 A 中的一项，但又减少了一项 1 k1 答案 C 解析 当 nk 时，不等
3、式左边为 1 k1 1 k2 1 2k，当 nk1 时，不等 式左边为 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 2k2，故选 C. 5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9 整除”，要利用归纳 假设证 nk1 时的情况，只需展开_ 答案 (k3)3 解析 假设当nk时， 原式能被9整除， 即k3(k1)3(k2)3能被9整除 当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将 (k3)3展开，让其出现 k3即可 6已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an(nN*)依次计算出 S1， S2，S3，S4后，可猜想 Sn的表达
4、式为_ 答案 Sn 2n n1 解析 S11，S24 3，S3 3 2 6 4，S4 8 5，猜想 Sn 2n n1. 7已知正数数列an(nN*)中，前 n 项和为 Sn，且 2Snan 1 an，用数学归纳法 证明：an n n1. 证明 (1)当 n1 时a1S11 2 a1 1 a1 ， a211(an0)，a11，又 1 01， n1 时，结论成立 (2)假设 nk(kN*)时，结论成立，即 ak k k1. 当 nk1 时，ak1Sk1Sk 1 2 ak1 1 ak1 1 2 ak 1 ak 1 2 ak1 1 ak1 1 2 k k1 1 k k1 1 2 ak1 1 ak1 k
5、 a2k12 kak110， 解得 ak1 k1 k(an0)， nk1 时，结论成立 由(1)(2)可知，对 nN*都有 an n n1. 二、能力提升 8 k(k3， kN*)棱柱有 f(k)个对角面， 则(k1)棱柱的对角面个数 f(k1)为( ) Af(k)k1 Bf(k)k1 Cf(k)k Df(k)k2 答案 A 解析 三棱柱有 0 个对角面，四棱柱有 2 个对角面020(31)；五棱 柱有 5 个对角面232(41)；六棱柱有 9 个对角面545(5 1)； .猜想： 若 k 棱柱有 f(k)个对角面， 则(k1)棱柱有 f(k)k1 个对角面 9对于不等式 n2nn1(nN*)
6、，某学生的证明过程如下：当 n1 时， 12111，不等式成立 假设 nk(nN*)时，不等式成立，即k2kk1，则 nk1 时， k12k1 k23k2 1 2 1 n2.假设 nk 时，不等式成 立则当 nk1 时，应推证的目标不等式是_ 答案 1 22 1 32 1 k2 1 k12 1 k22 1 2 1 k3 解析 观察不等式中的分母变化知， 1 22 1 32 1 k2 1 k12 1 k22 1 2 1 k3. 11求证： 1 n1 1 n2 1 3n 5 6(n2，nN *) 证明 (1)当 n2 时，左边1 3 1 4 1 5 1 6 5 6，不等式成立 (2)假设当 nk(
7、k2，kN*)时命题成立，即 1 k1 1 k2 1 3k 5 6. 则当 nk1 时， 1 k11 1 k12 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k1 1 k1 1 k2 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 3 1 3k3 1 k1 5 6， 所以当 nk1 时不等式也成立 由(1)和(2)可知，原不等式对一切 n2，nN*均成立 12已知数列an中，a12 3，其前 n 项和 Sn 满足 anSn 1 Sn2(n2)，计算 S1，S2，S3，S4，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明 解 当 n2
8、 时，anSnSn1Sn 1 Sn2. Sn 1 Sn12(n2) 则有：S1a12 3， S2 1 S12 3 4， S3 1 S22 4 5， S4 1 S32 5 6， 由此猜想：Snn1 n2(nN *) 用数学归纳法证明： (1)当 n1 时，S12 3a1，猜想成立 (2)假设 nk(kN*)猜想成立， 即 Skk1 k2成立， 那么 nk1 时，Sk1 1 Sk2 1 k1 k22 k2 k3 k11 k12. 即 nk1 时猜想成立 由(1)(2)可知，对任意正整数 n，猜想结论均成立 三、探究与创新 13已知递增等差数列an满足：a11，且 a1，a2，a4成等比数列 (1)
9、求数列an的通项公式 an； (2)若不等式 1 1 2a1 1 1 2a2 1 1 2an m 2an1对任意 nN *， 试猜想出 实数 m 的最小值，并证明 解 (1)设数列an公差为 d(d0)， 由题意可知 a1 a4a22，即 1(13d)(1d)2， 解得 d1 或 d0(舍去) 所以，an1(n1) 1n. (2)不等式等价于1 2 3 4 5 6 2n1 2n m 2n1， 当 n1 时，m 3 2 ；当 n2 时，m3 5 8 ； 而 3 2 3 5 8 ，所以猜想，m 的最小值为 3 2 . 下面证不等式1 2 3 4 5 6 2n1 2n 3 2 2n1对任意 nN *恒成立 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当 n1 时，1 2 3 2 3 1 2，成立 (2)假设当 nk 时，不等式，1 2 3 4 5 6 2k1 2k 3 2 2k1成立， 当 nk1 时，1 2 3 4 5 6 2k1 2k 2k1 2k2 3 2 2k1 2k1 2k2， 只要证 3 2 2k1 2k1 2k2 3 2 2k3， 只要证 2k1 2k2 1 2k3， 只要证 2k1 2k32k2， 只要证 4k28k34k28k4，只要证 34，显然成立 所以，对任意 nN*，不等式1 2 3 4 5 6 2n1 2n 3 2 2n1恒成立
