1、2015年中考数学压年中考数学压轴题轴题第一部分第一部分 函数图象中点的存在性问函数图象中点的存在性问题题 1.1 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例例1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120 （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM，求AOM的大小； （3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标 图图1 思路点拨思路点拨 1第（2）题把求AOM的大小，转化为求BOM的大小 2因为BOMABO30，因此点C在点B的右侧时，恰好有ABCAOM 3根据夹角相等对应边成比例
2、，分两种情况讨论ABC与AOM相似 （1）如图2，过点A作AHy轴，垂足为H 在RtAOH中，AO2，AOH30， 所以AH1，OH 所以A （-1, ） 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， 设yax(x2)，代入点A（-1，） 可得 a= 所以抛物线的表达式为 33333xxxxy332233233 图图2 （2）由 得抛物线的顶点M的坐标为(1, ) 所以 tanBOM 所以BOM30所以AOM150 xxxxy3322332333333考点伸展考点伸展 在本题情境下，如果ABC与BOM相似，求点C的坐标如图5，因为BOM是30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC也是底角为30
3、的等腰三角形，ABAC，根据对称性，点C的坐标为(4,0) 图图5例例2 图图1 图图2 图图3 考点伸展考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是而QOA与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾例例3 图图1 图图2 图图3 图图4例例4 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称
4、轴、解析式及顶点M的坐标； 解：抛物线的对称轴为直线 ， 解析式为 ， 顶点为M（1， ） 图图1 81 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3） （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标； 图图1图图2 图图1 图图2 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，
5、3）（3）在图）在图1中，设点中，设点D的坐标为的坐标为(1，3)，动点，动点P从点从点B出发，以每秒出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段个单位长度的速度沿着线段BC运动，运动，动点动点Q从点从点D出发，以与点出发，以与点P相同的速度沿着线段相同的速度沿着线段DM运动运动P、Q两点同时出发，当点两点同时出发，当点Q到达点到达点M时，时，P、Q两点同时停止运动设两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为两点的运动时间为t，是否存在某一时刻，是否存在某一时刻t，使得直线，使得直线PQ、直线、直线AB、x轴围成的三角形与直线轴围成的三角形与直线PQ、直线、直线AB、抛物线的对称轴围成、抛物线的对称轴
6、围成的三角形相似？若存在，请求出的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由 （3）设直线）设直线AB与与PQ交于点交于点G，直线，直线AB与抛物线的对称轴交于点与抛物线的对称轴交于点E，直，直线线PQ与与x 图图3 图图4例例5 2009年临沂市中考第年临沂市中考第26题题 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （1）求此抛物线的解析式 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求
7、出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由 图图3 图图4 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标 图图5 图图61.2 因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 如图1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90 （1）求ED、EC的长； （2）若BP2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若PDF为等腰三角形，求BP的长 例例2 2012年扬州市中考第年
8、扬州市中考第27题题（1）求抛物线的函数关系式；）求抛物线的函数关系式； 图图1（2）设点）设点P是直线是直线l上的一个动点，当上的一个动点，当PAC的周长最小的周长最小时，求点时，求点P的坐标的坐标 图图1图图2（3）在直线）在直线l上是否存在点上是否存在点M，使，使MAC为等腰三角形，若为等腰三角形，若直接写出所有符合条件的点直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 图图1 图图3 图图4 图图5例例3 2012年临沂市中考第年临沂市中考第26题题 如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点）求点B的坐标的
9、坐标 图图1（2）求经过）求经过A、O、B的抛物线的解析式；的抛物线的解析式； 图图2 图图3 如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置 （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 图图2 图图3考点伸展考点伸展 如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形 例例4 （1）求点）求点A和点和点B的坐标的坐标 （2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B
10、出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒 当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 图图2 图图3 图图4 图5 图6 图7例例5 如图1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求）求y关于关于x的函数关系式的函数关系式 图图1 （2）若m8，求x为何值
11、时，y的值最大，最大值是多少？ 图图2 图图3 图图4例例 6 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B60 （1）求点E到BC的距离 图图1 图图4 （2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PMEF交BC于M，过M作MN/AB交折线ADC于N，连结PN，设EPx 当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由； 当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由 图图2 图图3 图图4 图图5
12、图图7 图图6 考点伸展考点伸展 图图81.3 因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题例例1 （1）求点）求点A、B、C的坐标的坐标 图图1 （2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由 （3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 图2 图3例例2 2012年广州市中考第年广州市中考第24题题（1）求点A、B的坐标 图图1（2）设）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，为已知抛物线的对称轴上的任意
13、一点，当当ACD的面积等于的面积等于ACB的面积时，求点的面积时，求点D的坐标；的坐标； （3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式 图图2 图图3 图图3例例3 2012年杭州市中考第年杭州市中考第22题题（1）当）当k2时，求反比例函数的解析式；时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是）要使反比例函数与二次函数都是y随随x增大而增大，求增大而增大，求k应满应满足的条件以及足的条件以及x的取值范围；的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为）设二次函数的图象的顶点为Q，当，当ABQ是以是以AB
14、为斜边为斜边的直角三角形时，求的直角三角形时，求k的值的值 图图2 图图3例例4 2011年浙江省中考第年浙江省中考第23题题 （2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式 图图2 图图3例例5 2010年北京市中考第年北京市中考第24题题（1）求点）求点B的坐标；的坐标；例例6 2009年嘉兴市中考第年嘉兴市中考第24题题 图图1（1）求）求x的取值范围的取值范围（2）若）若ABC为直角三角形，求为直角三角形，求x的的值值 图图2 图图3例例 7 2008年河南省中考第年河南省中考第23题题人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
