1、 1 / 51 矩形、菱形与正方形矩形、菱形与正方形 一、选择题一、选择题 1. （ 2014安徽省,第 10 题 4 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2，若直线 l 满 足：来源:Zxxk.Com 点 D 到直线 l 的距离为； A、C 两点到直线 l 的距离相等 则符合题意的直线 l 的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 考点： 正方形的性质 分析： 连接 AC 与 BD 相交于 O，根据正方形的性质求出 OD=，然后根据点到直线的 距离和平行线间的距离相等解答 解答： 解：如图，连接 AC 与 BD 相交于 O， 正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2，
2、OD=， 直线 lAC 并且到 D 的距离为， 同理，在点 D 的另一侧还有一条直线满足条件， 故共有 2 条直线 l 故选 B 点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点 D 到 O 的距离小于是本题的关键 2 / 51 2. （ 2014福建泉州，第 5 题 3 分）正方形的对称轴的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 考点： 轴对称的性质 分析： 根据正方形的对称性解答 解答： 解：正方形有 4 条对称轴 故选 D 点评： 本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键 3. （2014珠海，第 2 题 3 分）边长为 3cm 的菱形的周长是
3、（ ） A 6cm B 9cm C 12cm D 15cm 考点： 菱形的性质 分析： 利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可 解答： 解：菱形的各边长相等， 边长为 3cm 的菱形的周长是：3 4=12（cm） 故选：C 点评： 此题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键 4.（2014广西玉林市、防城港市，第 6 题 3 分）下列命题是假命题的是（ ） A 四个角相等的四边形是矩形 B 对角线相等的平行四边形是矩形 C 对角线垂直的四边形是菱形 D 对角线垂直的平行四边形是菱形 考点： 命题与定理 分析： 根据矩形的判定对 A、B 进行判断；根据菱形的判定方法对 C、D 进
4、行判断 解答： 解：A、四个角相等的四边形是矩形，所以 A 选项为真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项为真命题； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以 C 选项为假命题； 3 / 51 D、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以 D 选项为真命题 故选 C 点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命 题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理 5.（2014毕节地区，第 8 题 3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BC 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OH 的长等于（ ） A 3.5
5、 B 4 C 7 D 14 考点： 菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理 分析： 根据菱形的四条边都相等求出 AB，菱形的对角线互相平分可得 OB=OD，然后判断出 OH 是ABD 的中位线，再根据三角形的 中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 OH= AB 解答： 解：菱形 ABCD 的周长为 28， AB=28 4=7，OB=OD， H 为 AD 边中点， OH 是ABD 的中位线， OH= AB= 7=3.5 故选 A 点评： 本题考查了菱形的对角线互相平分的性质， 三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关 键 6.（2014襄阳，
6、第 12 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE= AB， 将矩形沿直线 EF 折叠， 点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处， 连接 BP 交 EF 于点 Q， 4 / 51 对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF 是等边三角形其中正确的 是（ ） A B C D 考点： 翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质 分析： 求出 BE=2AE，根据翻折的性质可得 PE=BE，再根据直角三角形 30 角所对的直角边 等于斜边的一半求出APE=30 ，然后求出AEP=60 ，再根据翻折的性质求出 BEF=60 ，根据直角三角形两锐
7、角互余求出EFB=30 ，然后根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半可得 EF=2BE，判断出正确；利用 30 角的正切值 求出 PF=PE，判断出错误；求出 BE=2EQ，EF=2BE，然后求出 FQ=3EQ，判断 出错误；求出PBF=PFB=60 ，然后得到PBF 是等边三角形，判断出正确 解答： 解：AE= AB， BE=2AE， 由翻折的性质得，PE=BE， APE=30 ， AEP=90 30 =60 ， BEF= （180 AEP）= （180 60 ）=60 ， EFB=90 60 =30 ， EF=2BE，故正确； BE=PE， EF=2PE， EFPF， PF2P
8、E，故错误； 由翻折可知 EFPB， 5 / 51 EBQ=EFB=30 ， BE=2EQ，EF=2BE， FQ=3EQ，故错误； 由翻折的性质，EFB=BFP=30 ， BFP=30 +30 =60 ， PBF=90 EBQ=90 30 =60 ， PBF=PFB=60 ， PBF 是等边三角形，故正确； 综上所述，结论正确的是 故选 D 点评： 本题考查了翻折变换的性质， 直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质， 直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的 关键 7.（2014孝感，第 9 题 3 分）如图，正方形 OABC 的两边 OA、OC
9、 分别在 x 轴、y 轴上， 点 D（5，3）在边 AB 上，以 C 为中心，把CDB 旋转 90 ，则旋转后点 D 的对应点 D的 坐标是（ ） A （2，10） B （2，0） C （2，10）或（2， 0） D （10，2）或（2， 0） 考点： 坐标与图形变化-旋转 分析： 分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可 解答： 解：点 D（5，3）在边 AB 上， BC=5，BD=53=2， 6 / 51 若顺时针旋转，则点 D在 x 轴上，OD=2， 所以，D（2，0） ， 若逆时针旋转，则点 D到 x 轴的距离为 10，到 y 轴的距离为 2， 所以，D（2，10） ， 综上所述，
10、点 D的坐标为（2，10）或（2，0） 故选 C 点评： 本题考查了坐标与图形变化旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论 8 （2014 台湾，第 12 题 3 分）如图，D 为ABC 内部一点，E、F 两点分别在 AB、BC 上， 且四边形 DEBF 为矩形，直线 CD 交 AB 于 G 点若 CF6，BF9，AG8，则ADC 的 面积为何？( ) 来源:163文库 ZXXK A16 B24 C36 D54 分析：由于ADCAGCADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解 解：ADCAGCADG1 2 AG BC 1 2 AG BF 1 2 8 (69) 1 2 8 9603624
11、 故选：B 点评：考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算 9 （2014 台湾， 第 27 题 3 分） 如图， 矩形 ABCD 中， AD3AB， O 为 AD 中点， 是半圆 甲、 乙两人想在上取一点 P，使得PBC 的面积等于矩形 ABCD 的面积其作法如下： (甲) 延长 BO 交于 P 点，则 P 即为所求； (乙) 以 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交于 P 点，则 P 即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( ) 7 / 51 A两人皆正确 B两人皆错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确 分析：利用三角形的面积公式进而得出需 P甲HP
12、乙K2AB，即可得出答案 解：要使得PBC 的面积等于矩形 ABCD 的面积， 需 P甲HP乙K2AB 故两人皆错误 故选：B 点评： 此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质， 利用四边形与三角形面积关系得出 是解题关键 10 （2014浙江宁波，第 6 题 4 分）菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的边长是 （ ） A 10 B 8 C 6 D 5 考点： 菱形的性质；勾股定理 分析： 根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长 解答： 解：四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6， OB=OD=3，OA=OC=4，ACBD， 在 RtAOB 中， 由勾股定理得：AB=5
13、， 即菱形 ABCD 的边长 AB=BC=CD=AD=5， 8 / 51 故选 D 点评： 本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出 OA、OB 的长， 注意：菱形的对角线互相平分且垂直 11 （2014浙江宁波，第 11 题 4 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=1，CE=3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是（ ） A 2.5 B C D 2 考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理 分析： 连接 AC、 CF， 根据正方形性质求出 AC、 CF， ACD=GCF=45 ， 再求出ACF=90 ，然后利用勾股定理列式求
14、出 AF，再根据直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可 解答： 解：如图，连接 AC、CF， 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC=1，CE=3， AC=，CF=3， ACD=GCF=45 ， ACF=90 ， 由勾股定理得，AF=2， H 是 AF 的中点， 9 / 51 CH= AF= 2= 故选 B 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 正 方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角 形是解题的关键 11.（2014呼和浩特，第 9 题 3 分）已知矩形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O
15、 作 AC 的垂线 EF，分别交两边 AD，BC 于 E，F（不与顶点重合） ，则 以下关于CDE 与ABF 判断完全正确的一项为（ ） A CDE 与ABF 的周长都等于 10cm，但面积不一定相等 B CDE 与ABF 全等，且周长都为 10cm C CDE 与ABF 全等，且周长都为 5cm D CDE 与ABF 全等，但它们的周长和面积都不能确定 考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质 分析： 根据矩形的性质，AO=CO，由 EFAC，得 EA=EC，则CDE 的周长是矩形周长的 一半，再根据全等三角形的判定方法可求出CDE 与ABF 全等，进而得到问题答 案
16、 解答： 解：AO=CO，EFAC， EF 是 AC 的垂直平分线， EA=EC， CDE 的周长=CD+DE+CE=CD+AD= 矩形 ABCD 的周长=10cm， 同理可求出ABF 的周长为 10cm， 根据全等三角形的判定方法可知：CDE 与ABF 全等， 10 / 51 故选 B 点评： 本题考查了矩形的对角线互相平分的性质， 还考查了线段垂直平分线的性质以及全等 三角形的判定方法，题目的难度不大 12. （2014湘潭，第 7 题，3 分）以下四个命题正确的是（ ） A 任意三点可以确定一个圆 B 菱形对角线相等 C 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D 平行四边形的四条边相等
17、考点： 命题与定理 分析： 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个 选项判断后即可确定答案 解答： 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误； C、正确； D、平行四边形的四条边不一定相等 故选 C 点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角 三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般 13. （2014株洲，第 7 题，3 分）已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从AB=BC， ABC=90 ，AC=BD，ACBD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABC
18、D 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A 选 B 选 C 选 D 选 考点： 正方形的判定；平行四边形的性质 11 / 51 分析： 要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形 解答： 解：A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行 四边形是矩形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； B、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是 矩形，所以不能得出平行四边形 ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意； C、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是 矩形，所以平行四边形 ABC
19、D 是正方形，正确，故本选项不符合题意； D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边 形是菱形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意 故选 B 点评： 本题考查了正方形的判定方法： 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角 还可以先判定四边形是平行四边形，再用 1 或 2 进行判定 14. （2014 年江苏南京，第 6 题，2 分）如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是（2，1） ， 点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的坐标分别是（ ） （第 3 题图） A （ ，3）
20、 、 （ ，4） B （ ，3） 、 （ ，4） C （ ， ） 、 （ ，4） D （ ， ） 、 （ ，4） 考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。 分析：首先过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴， 过点 A 作 AFx 轴，交点为 F，易得CAFBOE，AODOBE，然后由相似三 角形的对应边成比例，求得答案 12 / 51 解答：过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴，过 点 A 作 AFx 轴，交点为 F， 四边形 AOBC 是矩形，ACOB，A
21、C=OB，CAF=BOE， 在ACF 和OBE 中，CAFBOE（AAS） ， BE=CF=41=3，AOD+BOE=BOE+OBE=90 ， AOD=OBE，ADO=OEB=90 ，AODOBE，即， OE= ，即点 B（ ，3） ，AF=OE= ， 点 C 的横坐标为：（2 ）= ，点 D（ ，4） 故选 B 点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性 质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 二二.填空题填空题 1. （ 2014福建泉州，第 14 题 4 分）如图，RtABC 中，ACB=90 ，D 为斜边 AB 的中 点，AB=
22、10cm，则 CD 的长为 5 cm 考点： 直角三角形斜边上的中线 分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD= AB 解答： 解：ACB=90 ，D 为斜边 AB 的中点， CD= AB= 10=5cm 故答案为：5 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关 键 13 / 51 2(2014 年四川资阳，第 15 题 3 分)如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上的 一点，且 AE=3，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则BEQ 周长的最小值为 考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质 分析： 连接 BD，D
23、E，根据正方形的性质可知点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，故 DE 的长 即为 BQ+QE 的最小值，进而可得出结论 解答： 解：连接 BD，DE， 四边形 ABCD 是正方形， 点 B 与点 D 关于直线 AC 对称， DE 的长即为 BQ+QE 的最小值， DE=BQ+QE=5， BEQ 周长的最小值=DE+BE=5+1=6 故答案为：6 点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键 3.（2014孝感，第 16 题 3 分）如图，已知矩形 ABCD，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在 点 E 处，连接 DE、BE，若ABE 是等边三角形，则= 14
24、/ 51 考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 过E作EMAB于M， 交DC于N， 根据矩形的性质得出DC=AB， DCAB， ABC=90 ， 设 AB=AE=BE=2a，则 BC=a，即 MN=a，求出 EN，根据三角形面积公 式求出两个三角形的面积，即可得出答案 解答： 解： 过 E 作 EMAB 于 M，交 DC 于 N， 四边形 ABCD 是矩形， DC=AB，DCAB，ABC=90 ， MN=BC， ENDC， 延 AC 折叠 B 和 E 重合，AEB 是等边三角形， EAC=BAC=30 ， 设 AB=AE=BE=2a，则 BC=a， 即 MN=a， ABE 是等边三角形，EMA
25、B， AM=a，由勾股定理得：EM=a， DCE 的面积是 DC EN= 2a （aa）=a2， ABE 的面积是 AB EM= 2aa=a2， = ， 故答案为： 点评： 本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质的应用，解此题 的关键是求出两个三角形的面积，题目比较典型，难度适中 15 / 51 4 （2014 浙江金华，第 15 题 4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点， 有 AE=4，BE 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G，若 G 是 CD 的 中点，则 BC 的长是 【答案】7. 【解析】 考点
26、：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.线段垂直平分线的性质； 5.方程思想的应用. 5. （2014泰州，第 16 题，3 分）如图，正方向 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点， DAE=30 ，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若 PQ=AE， 则 AP 等于 1 或 2 cm （第 1 题图） 16 / 51 考点： 来源: 学_科 _网 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形 分析： 根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到 AD=DC=PN，在直
27、角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而利 用勾股定理求出 AE 的长， 根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长， 利用 HL 得到三角形 ADE 与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到 DE=NQ， DAE=NPQ=30 ，再由 PN 与 DC 平行，得到PFA=DEA=60 ，进而得到 PM 垂 直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的 长，再利用对称性确定出 AP的长即可 解答： 解：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N， 四边形 ABCD 为正方形， AD=DC=PN
28、， 在 RtADE 中，DAE=30 ，AD=3cm， tan30 =，即 DE=cm， 根据勾股定理得：AE=2cm， M 为 AE 的中点， AM= AE=cm， 在 RtADE 和 RtPNQ 中， ， RtADERtPNQ（HL） ， DE=NQ，DAE=NPQ=30 ， PNDC， PFA=DEA=60 ， PMF=90 ，即 PMAF， 在 RtAMP 中，MAP=30 ，cos30 =， 17 / 51 AP=2cm； 由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm， 综上，AP 等于 1cm 或 2cm 故答案为：1 或 2 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的
29、性质，熟练掌握全等三角形的判定与 性质是解本题的关键 三三.解答题解答题 1. （ 2014福建泉州，第 20 题 9 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB， CD 边上，BE=DF，连接 CE，AF求证：AF=CE 考点： 矩形的性质；平行四边形的判定与性质 专题： 证明题 分析： 根据矩形的性质得出 DCAB，DC=AB，求出 CF=AE，CFAE，根据平行四边形的 判定得出四边形 AFCE 是平行四边形，即可得出答案 解答： 证明：四边形 ABCD 是矩形， DCAB，DC=AB， CFAE， DF=BE， CF=AE， 18 / 51 四边形 AFCE 是平行
30、四边形， AF=CE 点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且 平行，平行四边形的对边相等 2. （ 2014福建泉州，第 25 题 12 分）如图，在锐角三角形纸片 ABC 中，ACBC，点 D， E，F 分别在边 AB，BC，CA 上 （1）已知：DEAC，DFBC 判断 四边形 DECF 一定是什么形状？ 裁剪 当 AC=24cm，BC=20cm，ACB=45 时，请你探索：如何剪四边形 DECF，能使它的面积最 大，并证明你的结论； （2）折叠 请你只用两次折叠，确定四边形的顶点 D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和 理由 考点：
31、四边形综合题 分析： （1）根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，根据 ADFABC 推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出 h 与 x 之间的函数关 系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积 S 关于 h 的二次函数表达式，求 出顶点坐标，就可得出面积 s 最大时 h 的值 （2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1 重合，得到三角形 ABB1，第二步， 沿 B1 对折，使 DA1BB1 解答： 解： （1）DEAC，DFBC， 19 / 51 四边形 DECF 是平行四边形 作 AGBC，交 BC 于 G，交 DF 于 H， ACB=45 ，AC=24c
32、m AG=12， 设 DF=EC=x，平行四边形的高为 h， 则 AH=12h， DFBC， =， BC=20cm， 即：= x= 20， S=xh=x 20=20hh2 =6， AH=12， AF=FC， 在 AC 中点处剪四边形 DECF，能使它的面积最大 （2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1重合，得到三角形 ABB1，第二步， 沿 B1对折，使 DA1BB1 理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值关键在于根据 相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式， 求出二次函数表达式， 即可求出结论 20 / 5
33、1 3. （ 2014福建泉州，第 26 题 14 分）如图，直线 y=x+3 与 x，y 轴分别交于点 A，B，与 反比例函数的图象交于点 P（2，1） （1）求该反比例函数的关系式； （2）设 PCy 轴于点 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 A； 求ABC 的周长和 sinBAC 的值； 对大于 1 的常数 m，求 x 轴上的点 M 的坐标，使得 sinBMC= 考点： 反比例函数综合题； 待定系数法求反比例函数解析式； 勾股定理； 矩形的判定与性质； 垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义 专题： 压轴题；探究型 分析： （1）设反比例函数的关系式 y= ，然后把点 P 的
34、坐标（2，1）代入即可 （2）先求出直线 y=x+3 与 x、y 轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出ABC 的周长； 过点C作CDAB， 垂足为D， 运用面积法可以求出CD长， 从而求出sinBAC 的值 由于 BC=2，sinBMC= ，因此点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的E 上，因而点 M 应是E 与 x 轴的交点然后对E 与 x 轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的 判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点 M 的坐标 解答： 解： （1）设反比例函数的关系式 y= 点 P（2，1）在反比例函数 y= 的图象上， k=2 1=2 反比例函数的关系式 y= （2）过点 C
35、作 CDAB，垂足为 D，如图 1 所示 21 / 51 当 x=0 时，y=0+3=3， 则点 B 的坐标为（0，3） OB=3 当 y=0 时，0=x+3，解得 x=3， 则点 A 的坐标为（3，0） ，OA=3 点 A 关于 y 轴的对称点为 A， OA=OA=3 PCy 轴，点 P（2，1） ， OC=1，PC=2 BC=2 AOB=90 ，OA=OB=3，OC=1， AB=3，AC= ABC 的周长为 3+2 SABC= BCAO= ABCD， BCAO=ABCD 2 3=3 CD CD= CDAB， sinBAC= ABC 的周长为 3+2，sinBAC 的值为 当 1m2 时，
36、作经过点 B、C 且半径为 m 的E， 连接 CE 并延长，交E 于点 P，连接 BP， 过点 E 作 EGOB，垂足为 G， 过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2所示 CP 是E 的直径， PBC=90 sinBPC= 22 / 51 sinBMC= ， BMC=BPC 点 M 在E 上 点 M 在 x 轴上 点 M 是E 与 x 轴的交点 EGBC， BG=GC=1 OG=2 EHO=GOH=OGE=90 ， 四边形 OGEH 是矩形 EH=OG=2，EG=OH 1m2， EHEC E 与 x 轴相离 x 轴上不存在点 M，使得 sinBMC= 当 m=2 时，EH=EC E 与
37、 x 轴相切 切点在 x 轴的正半轴上时，如图 2所示 点 M 与点 H 重合 EGOG，GC=1，EC=m， EG= OM=OH=EG= 点 M 的坐标为（，0） 切点在 x 轴的负半轴上时， 同理可得：点 M 的坐标为（，0） 当 m2 时，EHEC E 与 x 轴相交来源:学科网 交点在 x 轴的正半轴上时， 23 / 51 设交点为 M、M，连接 EM，如图 2所示 EHM=90 ，EM=m，EH=2， MH= EHMM， MH=MH MH EGC=90 ，GC=1，EC=m， EG= OH=EG= OM=OHMH=， OM=OH+HM=+， M（，0） 、M（+，0） 交点在 x 轴
38、的负半轴上时， 同理可得：M（+，0） 、M（，0） 综上所述：当 1m2 时，满足要求的点 M 不存在； 当 m=2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0）和（，0） ； 当 m2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0） 、 （+， 0） 、 （+， 0） 、 （， 0） 24 / 51 点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形 的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的 高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大由 BC=2， sinBMC= 联想到点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的E 上是
39、解决本题的关键 4. （ 2014广东，第 25 题 9 分）如图，在ABC 中，AB=AC，ADAB 于点 D，BC=10cm， AD=8cm点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时， 垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、 AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0） （1）当 t=2 时，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当P
40、EF 的面积最大时，求 线段 BP 的长； （3）是否存在某一时刻 t，使PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存 在，请说明理由 考点： 相似形综合题 25 / 51 分析： （1）如答图 1 所示，利用菱形的定义证明； （2）如答图 2 所示，首先求出PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求 解； （3）如答图 3 所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解 解答： （1）证明：当 t=2 时，DH=AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答图 1 所示 又EFAD，EF 为 AD 的垂直平分线，AE=DE，AF=DF AB=AC，ADAB 于点 D，ADBC，B=
41、C EFBC，AEF=B，AFE=C， AEF=AFE，AE=AF， AE=AF=DE=DF，即四边形 AEDF 为菱形 （2）解：如答图 2 所示，由（1）知 EFBC， AEFABC， ，即，解得：EF=10 t SPEF= EFDH= （10 t）2t= t2+10t= （t2）2+10 当 t=2 秒时，SPEF存在最大值，最大值为 10，此时 BP=3t=6 （3）解：存在理由如下： 若点 E 为直角顶点，如答图 3所示， 此时 PEAD，PE=DH=2t，BP=3t PEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在； 若点 F 为直角顶点，如答图 3所示， 此时 PEAD，PF=DH
42、=2t，BP=3t，CP=103t PFAD，即，解得 t=； 26 / 51 若点 P 为直角顶点，如答图 3所示 过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则 EM=FN=DH=2t， EMFNAD EMAD，即，解得 BM= t， PM=BPBM=3t t= t 在 RtEMP 中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（ t）2=t2 FNAD，即，解得 CN= t， PN=BCBPCN=103t t=10t 在 RtFNP 中， 由勾股定理得： PF2=FN2+PN2= （2t） 2+ （10 t） 2= t285t+100 在 RtPEF 中，
43、由勾股定理得：EF2=PE2+PF2， 即： （10 t）2=（t2）+（t285t+100） 化简得：t235t=0， 解得：t=或 t=0（舍去） t= 综上所述，当 t=秒或 t=秒时，PEF 为直角三角形 点评： 本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义； 第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三 角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想 27 / 51 5. （ 2014珠海，第 21 题 9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 的延长线上，连结 EF 与
44、边 CD 相交于点 G， 连结 BE 与对角线 AC 相交于点 H， AE=CF， BE=EG （1）求证：EFAC； （2）求BEF 大小； （3）求证：= 考点： 四边形综合题 分析： （1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定 （2） 先确定三角形 GCF 是等腰直角三角形， 得出 CG=AE， 然后通过BAEBCG， 得出 BE=BG=EG，即可求得 （3）因为三角形 BEG 是等边三角形，ABC=90 ，ABE=CBG，从而求得 ABE=15 ，然后通过求得AHBFGB，即可求得 解答： 解： （1）四边形 ABCD 是正方形， ADBF， AE=CF， 四边形 AC
45、FE 是平行四边形， EFAC， （2）连接 BG， EFAC， F=ACB=45 ， GCF=90 ， CGF=F=45 ， CG=CF， AE=CF， 28 / 51 AE=CG， 在BAE 与BCG 中， ， BAEBCG（SAS） BE=BG， BE=EG， BEG 是等边三角形， BEF=60 ， （3）BAEBCG， ABE=CBG， BAC=F=45 ， AHBFGB， =，来源:Z,xx,k.Com EBG=60 ABE=CBG，ABC=90 ， ABE=15 ， = 点评： 本题考查了平行四边形的判定及性质，求得三角形的判定及 性质，正方形的性质， 相似三角形的判定及性质，连接 BG 是本题的关键 6. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 25 题 10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90 得到线段 MN，在 CD 边上取点 P 使 CP=BM，连接 NP，BP 29 / 51 （1）求证：四边形 BMNP 是平行四边形； （2）线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若MCQAMQ，则 BM 与 MC 存在怎样的 数量关系？请说明理由 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质 分析： （1）根据
