1、第第6节节 空间向量及其运算和空间位置关系空间向量及其运算和空间位置关系 最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空 间向量的正交分解及其坐标表示；2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示；3. 了解空间向量的数量积及其坐标表示 知 识 梳 理 1空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为 0 的向量 0 单位向量 长度(模)为 1 的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 ab 相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合的向量 ab 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关
2、定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在实数 ，使得 ba 推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是OP OA ta 其中 a 叫直线 l 的方向向量， tR， 在 l 上取AB a， 则可化为OP OA tAB 或 OP (1t)OA tOB (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR，a，b 为不共线向量， 推论的表达式为MP xMA yMB 或对空间任意一点 O， 有OP OM xMA yMB 或OP xOM yOA zOB ，其中 xyz1 (3)空间向量基本定理 如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量
3、，a 是空间任一向量，那么存在唯 一一组实数 1，2，3，使得 a1e12e23e3，空间中不共面的三个向量 e1， e2，e3叫作这个空间的一个基底 3空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做 向量 a 与 b 的夹角，记作a，b ，其范围是0，若a，b 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，记作 a b，即 a b|a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)
4、 b(a b)； 交换律：a bb a； 分配律：a (bc)a ba c 4空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a b a1b1a2b2a3b3 共线 ab(b0，R) a1b1，a2b2，a3b3 垂直 a b0 (a0，b0) a1b1a2b2a3b30 模 |a| a21a22a23 夹角 a，b(a0，b0) cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量： 如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重 合，
5、则称此向量 a 为直线 l 的方向向量 (2)平面的法向量：直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法 向量 6空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l1， l2的方向向量分 别为 n1，n2 l1l2 n1n2n1n2 l1l2 n1n2n1 n20 直线 l 的方向向量为 n， 平面 的法向量为 m l nmn m0 l nmnm 平面 ， 的法向量分别 为 n，m nmnm nmn m0 常用结论与微点提醒 1共线向量定理的推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是OP OA ta 其中 a 叫直线 l 的方向向量， tR， 在 l 上取AB a，
6、则可化为OP OA tAB 或 OP (1t)OA tOB . 2a b0a0 或 b0 或a，b 2. 3a b0 不等价为a，b为锐角，因为a，b可能为 0 . 诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面( ) (2)对任意两个空间向量 a，b，若 a b0，则 ab.( ) (3)若a，b，c是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量( ) (4)若 a b0，则a，b是钝角( ) 解析 对于(2)，因为 0 与任何向量数量积为 0，所以(2)不正确；对于(3)，若 a， b，c 中有一个是 0，则 a，b，c 共面，所以(3)
7、不正确；对于(4)，若a，b， 则 a b0，故(4)不正确 答案 (1) (2) (3) (4) 2在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3， 0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直 解析 由题意得，AB (3，3，3)，CD (1，1，1)， AB 3CD ，AB 与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点 ABCD. 答案 B 3 (选修 21P97A2 改编)如图所示， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 A1C1 与 B1D1的交点若AB a，AD b，AA 1c，则下列向
8、量中与BM 相等的向量是 ( ) A1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc 解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM BB 1B1M AA 11 2(AD AB )c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. 答案 A 4已知 a(2，3，1)，b(4，2，x)，且 ab，则|b|_ 解析 a b2(4)321 x0，x2， |b|（4）222222 6. 答案 2 6 5O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且OP 3 4OA 1 8OB tOC ，若 P， A，B，C 四点共面，则实数 t_ 解析 P，A，B，C 四点共面
9、，3 4 1 8t1，t 1 8. 答案 1 8 6(2018 嘉兴测试)设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n(2，2，4)， 若 a(1，1，2)，则直线 l 与平面 的位置关系为_； 若 a(1，1，1)，则直线 l 与平面 的位置关系为_ 解析 当 a(1，1，2)时，a1 2n，则 l； 当 a(1，1，1)时，a n(1，1，1) (2，2，4)0，则 l 或 l. 答案 l l 或 l 考点一 空间向量的线性运算 【例 1】 如图所示，在空间几何体 ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形， 设AA1 a，AB b，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1
10、D1的中点，试用 a， b，c 表示以下各向量： (1)AP ；(2)MP NC1 . 解 (1)因为 P 是 C1D1的中点，所以AP AA 1 A1D1 D1P aAD 1 2D1C1 ac1 2AB ac1 2b. (2)因为 M 是 AA1的中点，所以MP MA AP 1 2A1A AP 1 2a ac1 2b 1 2a 1 2bc. 又NC1 NC CC1 1 2BC AA 1 1 2AD AA1 1 2ca， 所以MP NC1 1 2a 1 2bc a1 2 c 3 2a 1 2b 3 2c. 规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何 问题的基本要求
11、用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图 形， 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则 或平行四边形法则进行运算 (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向 量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算 【训练 1】 如图，三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，设OA a， OB b，OC c，用 a，b，c 表示NM ，则NM ( ) A.1 2(abc) B.1 2(abc) C.1 2(abc) D.1 2(abc) 解析 NM NA AM (OA
12、 ON )1 2AB OA 1 2OC 1 2(OB OA )1 2OA 1 2OB 1 2OC 1 2(abc) 答案 B 考点二 共线定理、共面定理的应用 【例 2】 已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，用向量方法求证： (1)E，F，G，H 四点共面； (2)BD平面 EFGH. 证明 (1)连接 BG，则EG EB BG EB 1 2(BC BD )EB BFEH EF EH ，由共面向量定理知 E，F，G，H 四点共面 (2)因为EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2(AD AB )1 2BD ，因为 E，H，B，D 四点
13、 不共线，所以 EHBD. 又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH， 所以 BD平面 EFGH. 规律方法 (1)证明空间三点 P，A，B 共线的方法 PA PB(R)； 对空间任一点 O，OP xOA yOB (xy1) (2)证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法 MP xMA yMB ； 对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB (xyz1)； PM AB (或PAMB 或PB AM ) (3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可 转化为向量共线、共面来证明 【训练 2】 (1)若 A(1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则
14、 mn _ (2)已知空间四点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，D(1，2，t)，若 四点共面，则 t 的值为_ 解析 (1)AB (3，1，1)，AC(m1，n2，2) A，B，C 三点共线，AB AC， m1 3 n2 1 2 1 ， m7，n4，mn3. (2)AB (1，1，0)，AC(1，0，2)，AD (3，2，t2)， A，B，C，D 四点共面， AB ，AC，AD 共面 设AD xAB yAC， 即(3，2，t2)(xy，x，2y)， 则 xy3， x2， 2yt2， 解得 x2， y1， t0. t 的值为 0. 答案 (1)3 (2)0 考点三 空间向
15、量数量积的应用 【例 3】 如图所示， 已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a， 点 M， N 分别是 AB，CD 的中点 (1)求证：MNAB，MNCD； (2)求 MN 的长； (3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值 (1)证明 设AB p，ACq，AD r. 由题意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三向量两两夹角均为 60 . MN AN AM 1 2(AC AD )1 2AB 1 2(qrp)， MN AB 1 2(qrp) p 1 2(q pr pp 2) 1 2(a 2cos 60 a2cos 60 a2)0. MN AB ，即 MNAB. 同理可证
16、 MNCD. (2)解 由(1)可知MN 1 2(qrp)， |MN |21 4(qrp) 2 1 4q 2r2p22(q rp qr p) 1 4 a2a2a22 a2 2 a 2 2 a 2 2 1 42a 2a 2 2 . |MN | 2 2 a. MN 的长为 2 2 a. (3)解 设向量AN 与MC 的夹角为 . AN 1 2(AC AD )1 2(qr)， MC AC AM q1 2p， AN MC 1 2(qr) (q 1 2p) 1 2(q 21 2q pr q 1 2r p) 1 2(a 21 2a 2cos 60 a2cos 60 1 2a 2cos 60 ) 1 2(a
17、 2a 2 4 a 2 2 a 2 4 )a 2 2 . 又|AN |MC | 3 2 a， AN MC |AN |MC |cos 3 2 a 3 2 acos a 2 2 . cos 2 3，向量AN 与MC 的夹角的余弦值为2 3， 因此异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为2 3. 规律方法 利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与 夹角直接计算；二是利用坐标运算可解决有关垂直、夹角、长度问题 (1)a0，b0，aba b0； (2)|a| a2； (3)cosa，b a b |a|b|. 【训练 3】 如图所示，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边
18、形，以顶 点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60 . (1)求 AC1的长； (2)求证：AC1BD； (3)求 BD1与 AC 夹角的余弦值 (1)解 记AB a，AD b，AA1 c， 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， a bb cc a1 2. |AC1 |2(abc)2a2b2c22(a bb cc a) 1112 1 2 1 2 1 2 6， |AC 1| 6，即 AC1的长为 6. (2)证明 AC1 abc，BD ba， AC1 BD (abc) (ba) a b|b|2b c|a|2a ba cb ca c |b|c|cos 60 |a|c|cos
19、60 0. AC1 BD ，AC1BD. (3)解 BD1 bca，AC ab， |BD1 | 2，|AC | 3， BD1 AC (bca) (ab) b2a2a cb c1. cosBD1 ，AC BD1 AC |BD1 |AC | 6 6 . AC 与 BD1夹角的余弦值为 6 6 . 考点四 利用空间向量证明平行与垂直 【例 4】 (一题多解)如图，在四面体 ABCD 中，AD平面 BCD，BCCD， AD2，BD2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ3QC. 证明：PQ平面 BCD. 证明 法一 如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原
20、点，OD，OP 所在射线分别为 y， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz. 由题意知，A(0， 2，2)，B(0， 2，0)，D(0， 2，0) 设点 C 的坐标为(x0，y0，0) 因为AQ 3QC ， 所以 Q 3 4x0， 2 4 3 4y0， 1 2 . 因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， 2，1) 又 P 为 BM 的中点，故 P 0，0，1 2 ， 所以PQ 3 4x0， 2 4 3 4y0，0 . 又平面 BCD 的一个法向量为 a(0，0，1)，故PQ a0. 又 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD. 法二 在线段 CD 上取点 F，使得 DF3FC，连接
21、 OF，同法一建立空间直角坐 标系，写出点 A，B，C 的坐标，设点 C 坐标为(x0，y0，0) CF 1 4CD ，设点 F 坐标为(x，y，0)，则 (xx0，yy0，0)1 4(x0， 2y0，0)， x3 4x0， y 2 4 3 4y0， OF 3 4x0， 2 4 3 4y0，0 又由法一知PQ 3 4x0， 2 4 3 4y0，0 ， OF PQ ，PQOF. 又 PQ平面 BCD，OF平面 BCD， PQ平面 BCD. 规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量 法证明平行和垂直的关键 (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向
22、量的数量积为 零， 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向 量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何 的证明问题转化为向量运算 (3)用向量证明垂直的方法 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定 理用向量表示 面面垂直： 证明两个平面的法向量垂直， 或将面面垂直的判定定理用向量表示 【训练 4】 如图所示， 已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形， ABCBCD 90 ，ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD.证明： (1)PAB
23、D； (2)平面 PAD平面 PAB. 证明 (1)取 BC 的中点 O，连接 PO， 平面 PBC底面 ABCD，PBC 为等边三角形， PO底面 ABCD. 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线 为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 不妨设 CD1，则 ABBC2，PO 3. A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0， 3) BD (2，1，0)，PA (1，2， 3) BD PA (2)1(1)(2)0( 3)0， PA BD ，PABD. (2)取 PA 的中点 M，连接 D
24、M，则 M 1 2，1， 3 2 . DM 3 2，0， 3 2 ，PB (1，0， 3)， DM PB 3 2100 3 2 ( 3)0， DM PB ，即 DMPB. DM PA 3 210(2) 3 2 ( 3)0， DM PA ，即 DMPA. 又PAPBP，DM平面 PAB. DM平面 PAD，平面 PAD平面 PAB. 基础巩固题组 一、选择题 1(2017 台州统考)已知向量 a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且 ab， 则实数 m 的值等于( ) A.3 2 B2 C0 D.3 2或2 解析 ab，2m1 2 3 m m1 m ，解得 m2. 答案 B 2 在正方体 A
25、BCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 AA1和 BB1的中点， 则 sin CM ， D1N 的值为( ) A.1 9 B.4 5 9 C.2 5 9 D.2 3 解析 如图，设正方体棱长为 2，则易得CM (2，2，1)，D1N (2，2，1)， cosCM ，D1N CM D1N |CM |D1N | 1 9， sinCM ，D1N 1 1 9 2 4 5 9 . 答案 B 3空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等，E 是 BC 的中点，那么( ) A.AE BCAE CD B.AE BCAE CD C.AE BCAE CD D.AE BC与AE CD 的大小不能比较 解析
26、取 BD 的中点 F，连接 EF，则 EF 綉1 2CD，因为AE ，EFAE，CD 90 ，因为AE BC0，AE CD 0，所以AE BCAE CD . 答案 C 4已知向量 a(1，1，0)，b(1，0，2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是( ) A1 B.4 3 C.5 3 D.7 5 解析 由题意得，kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2)所以(kab) (2a b)3(k1)2k225k70，解得 k7 5. 答案 D 5已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC， AD 的中点，则AE AF的值为( ) Aa2 B.1
27、 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 解析 如图，设AB a，ACb，AD c， 则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60 . AE 1 2(ab)，AF 1 2c， AE AF1 2(ab) 1 2c 1 4(a cb c) 1 4(a 2cos 60 a2cos 60 )1 4a 2. 答案 C 6.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD， BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则： A1MD1P； A1MB1Q； A1M平面 DCC1D1； A1M平面 D1PQB1. 以上说法正确的个数为( ) A1 B
28、2 C3 D4 解析 A1M A1A AM A1A 1 2AB ， D 1P D1D DP A1A 1 2AB ， A 1M D1P ， 所以 A1MD1P，由线面平行的判定定理可知，A1M平面 DCC1D1，A1M平面 D1PQB1.正确 答案 C 二、填空题 7已知 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，a c4，|b|12，则以 b，c 为方向向量的两直线的夹角为_ 解析 由题意得，(2ab) c0102010. 即 2a cb c10，又a c4，b c18， cosb，c b c |b| |c| 18 12 144 1 2， b，c120 ，两直线的夹角为 60 . 答案 60
29、8(2018 湖州月考)已知 a(2，1，3)，b(1，2，1)，a 与 b 夹角的余弦值 为_；若 a(ab)，则 _ 解析 a(2， 1， 3)， b(1， 2， 1)， cos a， b a b |a|b| 223 14 6 21 6 ； 由题意 a (ab)0，即 a2a b0，又 a214，a b7，1470， 2. 答案 21 6 2 9(2018 温州质检)已知AB (1，5，2)，BC(3，1，z)，若ABBC，BP(x 1，y，3)，且 BP平面 ABC，则 x_，y_，z_ 解析 由条件得 352z0， x15y60， 3（x1）y3z0， 解得 x40 7 ，y15 7
30、，z4. 答案 40 7 15 7 4 10设 A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的 5 个不同的点，则使 成立的点 M 的个数有_ 解析 设 M(a，b，c)，Ak(xk，yk，zk)(k1，2，3，4，5) 则MAk (xka，ykb，zkc)， a 1 5（x1x2x3x4x5）， b1 5（y1y2y3y4y5）， c1 5（z1z2z3z4z5）， 存在唯一点 M. 答案 1 三、解答题 11已知空间中三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB ，b AC . (1)若|c|3，且 cBC ，求向量 c. (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值
31、 解 (1)cBC ，BC(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)， cmBC m(2，1，2)(2m，m，2m)， |c| （2m）2（m）2（2m）23|m|3， m 1.c(2，1，2)或(2，1，2) (2)a(1，1，0)，b(1，0，2)， a b(1，1，0) (1，0，2)1， 又|a|121202 2， |b|（1）20222 5， cosa，b a b |a| |b| 1 10 10 10 ， 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 10 10 . 12(2018 丽水测试)如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形， PACD，PA1，PD 2，E 为
32、 PD 上一点，PE2ED. (1)求证：PA平面 ABCD； (2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF平面 AEC？若存在，指出 F 点的位 置，并证明；若不存在，说明理由 (1)证明 PAAD1，PD 2， PA2AD2PD2，即 PAAD. 又 PACD，ADCDD，PA平面 ABCD. (2)解 以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)， C(1，1，0)，P(0，0，1)， E 0，2 3， 1 3 ，AC (1，1，0)， AE 0，2 3， 1 3 .设平面 AEC 的法向量为
33、n(x，y，z)， 则 n AC0， n AE 0，即 xy0， 2yz0，令 y1， 则 n(1，1，2) 假设侧棱 PC 上存在一点 F，且CF CP(01)， 使得 BF平面 AEC，则BF n0. 又BF BCCF(0，1，0)(，)(，1，)， BF n120，1 2， 存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点 能力提升题组 13在空间四边形 ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ( ) A1 B0 C1 D不确定 解析 如图， 令AB a，ACb，AD c，则AB CD AC DB AD BC a (cb)b (ac)c (ba) a ca bb a
34、b cc bc a0. 答案 B 14若a，b，c是空间的一个基底，且向量 pxaybzc，则(x，y，z)叫向量 p 在基底a，b，c下的坐标 已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向 量 p 在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量 p 在基底ab，ab，c 下的坐标是( ) A(4，0，3) B(3，1，3) C(1，2，3) D(2，1，3) 解析 设 p 在基底ab，ab，c下的坐标为 x，y，z.则 px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc， 因为 p 在a，b，c下的坐标为(4，2，3)， p4a2b3c， 由得 xy4， xy2，
35、 z3， x3， y1， z3， 即 p 在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3) 答案 B 15已知 O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA (1，2，3)，OB (2，1，2)， OP (1，1，2)，且点 Q 在直线 OP 上运动，当QA QB 取得最小值时，OQ 的坐标 是_ 解析 点 Q 在直线 OP 上，设点 Q(，2)， 则QA (1，2，32)，QB (2，1，22)， QA QB (1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106 4 3 2 2 3. 即当4 3时，QA QB 取得最小值2 3. 此时OQ 4 3， 4 3， 8 3 . 答案 4 3， 4 3， 8 3
36、 16如图，在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1中，E，F 分别是棱 AB，BC 上的动点，且 AEBFx，其中 0xa，以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz. (1)写出点 E，F 的坐标； (2)求证：A1FC1E； (3)若 A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F 1 2A1C1 A1E . (1)解 E(a，x，0)，F(ax，a，0) (2)证明 A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， A1F (x，a，a)，C1E (a，xa，a)， A1F C1E axa(xa)a20， A1F C1E ， A1FC1E. (3)证明 A1，E，F，C1四点共面， A1E
37、 ，A1C1 ，A1F 共面 选A1E 与A1C1 为在平面 A1C1E 上的一组基向量， 则存在唯一实数对(1， 2)， 使A1F 1A1C1 2A1E ， 即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a) (a1，a1x2，a2)， xa1， aa1x2， aa2， 解得 11 2，21. 于是A1F 1 2A1C1 A1E . 17.如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F， G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算： (1)EF BA；(2)EG 的长； (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 解 设AB a，ACb，AD c. 则|a|b
38、|c|1， a，bb，cc，a60 ， (1)EF 1 2BD 1 2c 1 2a，BA a， EF BA 1 2c 1 2a (a) 1 2a 21 2a c 1 4， (2)EG EB BCCG 1 2aba 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c， |EG |21 4a 21 4b 21 4c 21 2a b 1 2b c 1 2c a 1 2，则|EG | 2 2 . (3)AG 1 2b 1 2c，CE CAAEb1 2a， cosAG ，CE AG CE |AG |CE | 2 3， 由于异面直线所成角的范围是 0， 2 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为2 3.
