1、1 第十二章第十二章概率与统计 12.2 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 专题 1 古典概型的概 率 (2015辽宁丹东二模,古典概型的概率,填空题,理 15)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同 的信封中,若每个信封放 2张,则标号为 1,2 的卡片放入同一个信封的概率为 . 解析:由题意,将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6张卡片放入 3个不同的信封中,若每个信封放 2 张,共有=90种. 先从 3 个信封中选一个放 1,2有 3种不同的选法,再从剩下的 4个数中选两个放一个信封有=6, 余下放入最后一个信封, 标号为 1,2的卡片放入同一个信封共有
2、3=18 种. 标号为 1,2的卡片放入同一个信封的概率为. 答案: 专题 3 几何概型在不同测度中的概率 (2015河北邯郸二模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理 12)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx,对任意 的 b,c-3,3,f(x)在(-1,1)内既有极大值又有极小值的概率为( ) A. B. C. D. 解析:由题意 f(x)=3x2+2bx+c. f(x)在(-1,1)内既有极大值又有极小值, f(x)=3x2+2bx+c=0 的两个根在(-1,1)内, 对应区域的面积为 2=6, b,c-3,3, 对应区域的面积为 36. f(x)在(-1,1)内既有极大值又有极小
3、值的概率为. 答案:D (2015辽宁葫芦岛二模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理 8)如图所示,一个圆形靶子的中心 是一个“心形”图案,其中“心形”图案是由上边界 C1(虚线 L上方部分)与下边界 C2(虚线 L 下方部分)围 成,曲线 C1是函数 y=的图象,曲线 C2是函数 y=-的图象,圆的方程为 x2+y2=8,某人向靶子射出一箭(假 设箭一定能射中靶子且射中靶中任何一点是等可能的),则此箭恰好命中“心形”图案的概率为( ) A. B. C. D. 解析:由 y=-得 x=1. 当 x0时,y 轴右边的面积 S=-(-)dx=(2)dx=2dx+)dx, dx 的几何意义为单位
4、圆的面积 )dx=-, 则 S=, 2 故阴影部分的面积为 2S=2, 大圆的面积 S=8=8,故此箭恰好命中“心形”图案的概率 P=. 答案:B 12.4 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 专题 2 离散型随机变量的均值与方差 (2015茂名一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18) 第 117 届中国进出口商品交易会(简称 2015 年春季交广会)将于 2015年 4月 15 日在广州市举行,为 了搞好接待工作,组委会在广州某大学分别招募 8名男志愿者和 12 名女志愿者,现将这 20 名志愿者 的身高组成如图所示的茎叶图(单位:m),若身高在 175 cm以
5、上(包括 175 cm)定义为“高个子”,身高在 175 cm以下(不包括 175 cm)定义为“非高个子”. (1)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数); (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试写出 的分布列, 并求 的数学期望. 解:(1)根据茎叶图,得: 男志愿者的平均身高为: 176.1(cm), 女志愿者身高的中位数为:=168.5(cm). (2)由茎叶图知“高个子”有 8 人,“非高个子”有 12人, 而男志愿者的“高个子”有 5 人,女志愿者的高个子有 3 人, 的可能取值为 0,1,2,3, P(=0)=,
6、 P(=1)=, P(=2)=, P(=3)=, 的分布列为: 0 1 2 3 P E=0+1+2+3. (2015江西南昌三模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18) 某单位招收技术员工需参加笔试和面试两部分,把参加笔试的 40名应聘人员的成绩分组:第 1 组 75,80),第 2组80,85),第 3组85,90),第 4 组90,95),第 5 组95,100),得到的频率分布直方图如图所示: (1)分别求出成绩在第 3,4,5组的人数; (2)现决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 人进行面试. 已知甲和乙的成绩均在第 3组,求甲或乙进入面试的概率; 若从
7、这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D的面试,设第 4组中有 X 名学生被考官 D 面试,求 X 的分布列和数学期望. 3 解:(1)第 3组的人数为 0.06540=12;第 4组的人数为 0.04540=8;第 5组的人数为 0.02540=4. (2)按分层抽样方法在第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. 设“甲或乙进入面试”为事件 A,则 P(A)=1-,即甲或乙进入面试的概率为. X的可能取值为 0,1,2,所以 X 的分布列为: X 0 1 2 P 所以 EX=0+1+2. (2015河北保定二模改编,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18)某学校就
8、某岛有关常识随机 抽取了 16 名学生进行测试,用“10 分制”以茎叶图方式记录了他们对该岛的了解程度,分数以小数点 前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶. (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若所得分数不低于 9.5分,则称该学生对该岛“非常了解”.求从这 16 人中随机选取 3 人,求至多有 1 人“非常了解”的概率; (3)以这 16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据,若从该所学校(人数可视为很多)任选 3 人, 记 表示抽到“非常了解”的人数,求 的分布列及数学期望. 解:(1)众数:8.6;中位数:=8.75. (2)设 Ai表示所取 3 人中有 i个人对该岛“非常了
9、解”,至多有 1 人对该岛“非常了解”记为事件 A, 则 P(A)=P(A0)+P(A1)=. (3) 的可能取值为 0,1,2,3. P(=0)=;P(=1)=; P(=2)=;P(=3)=. 所以 的分布列为: 0 1 2 3 P E=0+1+2+3=0.27. 另解: 的可能取值为 0,1,2,3,则 B, P(=k)=. 所以 E=3=0.75. (2015河北邯郸二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18)某市教育局邀请教育专家深入该 市多所中小学,开展听课、访谈及随堂检测等活动.他们把收集到的 180节课分为三类课堂教学模式: 教师主讲的为 A模式,少数学生参与的为 B模式
10、,多数学生参与的为 C模式.A,B,C三类课的节数比例 为 321. (1)为便于研究分析,教育专家将 A模式称为传统课堂模式,B,C 统称为新课堂模式,根据随堂检测结果, 把课堂教学效率分为高效和非高效,根据检测结果统计得到如下 22列联表(单位:节) 高效 非高效 统计 新课堂模式 60 30 90 传统课堂模式 40 50 90 统计 100 80 180 请根据统计数据回答:有没有 99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关?并说明理由. (2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的 180节课中选出 18节课作为样本进行研究,并从样本的 B 模式和 C 模式课堂中随机抽取 3节课. 求
11、至少有一节为 C模式课堂的概率; 设随机抽取的 3节课中含有 C模式课堂的节数为 X,求 X的分布列和数学期望. 参考临界值表: P(K2k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 4 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 参考公式:K2=,其中 n=a+b+c+d. 解:(1)由列联表中的统计数据计算随机变量 K2的观测值为:k=96.635. 由临界值表 P(K26.635)0.010. 故有 99%的把握认为课堂效率与教学模式有关. (2)从样本中的 B,C 模式课堂中随机抽取 3节课,故该实验为古典概型. 事件
12、M 表示“抽取的 3节课中至少有一节课为 C模式课堂”. 则 P(M)=. X的所有取值为 0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=. 所以随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX=0+1+2+3=1. (2015河北衡水中学高三一调,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18)为了参加 2015年市级 高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学校选出 12 人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源 人数如下表: 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 4 4 2 2 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言. (
13、1)求这两名队员来自同一学校的概率; (2)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ,求随机变量 的分布列及数学期望 E. 解:(1)“从这 12名队员中随机选出两名,两人来自于同一学校”记作事件 A, 则 P(A)=. (2) 的所有可能取值为 0,1,2. 则 P(=0)=, P(=1)=, P(=2)=. 的分布列为: 0 1 2 P E=0+1+2. (2015辽宁丹东二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18)为了参加一项数学能力测试团体 赛,某校对甲、乙两个实验班级进行了一段时间的“限时抢分”强化训练,现分别从强化训练期间两班 的若干次平均成绩中随机抽取 6 次(满分 100
14、分),记录如下表: 甲平均成绩 83 91 80 79 92 85 乙平均成绩 92 93 80 84 82 79 根据这 6次的数据回答: (1)现要选派一个实验班参加测试团体赛,从统计学角度,你认为选派哪个实验班合理?说明理由; (2)对选派的实验班在团体赛的三次比赛成绩进行预测,记这三次平均成绩中不低于 85分的次数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 EX. 解:(1)=8.5, 又25,30.67, 相对来讲甲的成绩更加稳定,所以选派甲合适. (2)依题意得甲不低于 8 的频率为, 的可能取值为 0,1,2,3,则 XB. 所以 P(X=k)=,k=0,1,2,3. 所以 X的分布列
15、为 5 X 0 1 2 3 P 所以 EX=0+1+2+3. (2015辽宁丹东一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 19)某校理科实验班的 100 名学生期 中考试的语文数学成绩都不低于 100 分,其中语文成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间 是:100,110),110,120),120,130),130,140),140,150.这 100名学生语文成绩某些分数段的人数 x 与数 学成绩相应分数段的人数 y 之比如下表所示: 分组区间 100,110) 110,120) 120,130) 130,140) xy 12 21 34 11 (1)估计这 100 名学生数学成绩
16、的中位数; (2)从数学成绩在130,150的学生中随机选取 2 人,该 2 人中数学成绩在140,150的人数为 X,求 X的 数学期望 EX. 解:(1)0.052+0.4+0.3=0.70.5,0.7-0.5=0.2, 这 100名学生数学成绩的中位数是 130-10=125. (2)数学成绩在100,140)之内的人数为100=90, 数学成绩在140,150的人数为 100-90=10 人, 而数学成绩在130,140)的人数为 0.2100=20 人,X可取 0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,X的分 布列为: X 0 1 2 P EX=0+1+2. (20
17、15辽宁葫芦岛二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 19)某电视台推出一档游戏类综艺 节目,选手面对 1-5号五扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐,选手需正确回答这首歌的 名字,回答正确,大门打开,并获得相应的家庭梦想基金,回答每一扇门后,选手可自由选择带着目前的 奖金离开,还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金,但是一旦回答错误,游戏结束并将之前获得 的所有梦想基金清零;整个游戏过程中,选手有一次求助机会,选手可以询问亲友团成员以获得正确答 案. 1-5 号门对应的家庭梦想基金依次为 3 000 元、6 000元、8 000 元、12 000元、24 000 元(以上基
18、金 金额为打开大门后的累积金额,如第三扇大门打开,选手可获基金总金额为 8 000 元);设某选手正确回 答每一扇门的歌曲名字的概率为 pi(i=1,2,5),且 pi=(i=1,2,5),亲友团正确回答每一扇门的歌曲名 字的概率均为,该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为. (1)求选手在第三扇门使用求助且最终获得 12 000元家庭梦想基金的概率; (2)若选手在整个游戏过程中不使用求助,且获得的家庭梦想基金数额为 X(元),求 X 的分布列和数学 期望. 解:设事件“该选手回答正确第 i扇门的歌曲名称”为事件 Ai,“使用求助回答正确歌曲名称”为事件 B, 事件“每
19、一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件 C;则 P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,P(A5)=,P(B)=,P(C)=. 6 (1)设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金”为事件 A,则 A=A1CA2CBCA4,故 P(A)=. 选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金的概率为. (2)X 的所有可能取值为:0,3000,6000,8000,12000,24000; P(X=3000)=P(A1)=; P(X=6000)=P(A1CA2)=; P(X=8000)=P(A1CA2CA3)=; P(X=12000)=P
20、(A1CA2CA3CA4)=; P(X=24000)=P(A1CA2CA3CA4CA5)=; P(X=0)=P()+P(A1C)+P(A1CA2C)+P(A1CA2CA3C)+P(A1CA2CA3CA4C)=; (或 P(X=0)=1-(P(X=3000)+P(X=6000)+P(X=8000)+P(X=12000)+P(X=24000)=1-=1-. X的分布列为: X 0 3000 6000 8000 12000 24000 P EX=0+3000+6000+8000+12000+24000=1250+1000+500+250+250=3250(元). 选手获得的家庭梦想基金数额为 X的数
21、学期望为 3250元. (2015辽宁锦州二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 19)心理学家分析发现视觉和空间能 力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50名同学 (男 30女 20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解析.选题情况如 下表:(单位:人) 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解析一道几何题所用的时间在 57 分钟,乙每次解析一道几何题所用的时 间
22、在 68 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解析完的概率. (3)现从选择做几何题的 8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生 被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX. 附表及公式: P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=. 解:(1)由表中数据得 K2的观测值 k=5.5565.024, 所以根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关. (2)设甲、乙解析一道几何题的时间分别为 x,
23、y分钟,则基本事件满足的区域为(如图所示). 设事件 A 为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为 xy, 由几何概型 P(A)=,即乙比甲先解析完的概率为. (3)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有=28种,其中甲、乙两人没 有一个人被抽到有=15 种;恰有一人被抽到有=12 种;两人都被抽到有=1种,X可能取值为 0,1,2, P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=. X 的分布列为: X 0 1 2 7 P EX=0+1+2. (2015辽宁锦州一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 19)某市一所高中随机抽取部分高一 学生调查其上学路上所需时间
24、(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路 上所需时间的范围是0,100,样本数据分组为0,20),20,40),40,60),60,80),80,100. (1)求频率分布直方图中 x的值; (2)如果上学路上所需时间不少于 1小时的学生可申请在学校住宿,若招生 1 200 名,请估计新生中有 多少名学生可以申请住宿; (3)从学校的高一学生中任选 4名学生,这 4名学生中上学路上所需时间少于 20分钟的人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率) 解:(1)由直方图可得:20x+0.02520+0.006520+0.003220=1. 所
25、以 x=0.0125. (2)新生上学所需时间不少于 1小时的频率为: 0.003220=0.12, 因为 12000.12=144, 所以 1200 名新生中有 144名学生可以申请住宿. (3)X 的可能取值为 0,1,2,3,4. 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=. 所以 X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P EX=0+1+2+3+4=1. 所以 X的数学期望为 1. 12.5 二项分布与正态分布二项分布与正态分布 专题 1 条件概率 (2015江西南昌三模,条件概率
26、,选择题,理 7)从 1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取 2个数,事件 A=“第一次取到的是奇数”,B=“第二次取到的是奇数”,则 P(B|A)=( ) A. B. C. D. 答案:D (2015辽宁锦州一模,条件概率,选择题,理 5)已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外 形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他 第 1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第 2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D. 8 解析:在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下,这时盒子中还有 2 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡
27、, 这时,第 2次抽到的是卡口灯泡的概率为. 答案:D 专题 4 正态分布下的概 率 (2015辽宁丹东一模,正态分布下的概率,选择题,理 4)下列结论中正确的是( ) A.若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 0 B.在某项测量中,测量结果 服从正态分布 N(1,2)(0),若 位于区域(0,1)的概率为 0.4,则 位于区 域(1,+)内的概率为 0.6 C.从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 4 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽 样是分层抽样 D.利用随机变量 K2来判断“两个独立事件 X,Y 的关系”时,算出的 K2值越大,判断“X与 Y 有关”的把
28、握 就越大 解析:A.两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近 1,因此不正确; B.变量 N(1,2), 位于区域(1,+)内的概率为 0.5,因此不正确; C.从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 4 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样 的抽样是系统(等距)抽样,不是分层抽样,因此不正确; D.利用随机变量 K2来判断“两个独立事件 X,Y 的关系”时,算出的 K2值越大,判断“X与 Y 有关”的 把握就越大,正确. 答案:D (2015江西南昌三模,正态分布下的概率,选择题,理 2)设随机变量 XN(2,32),若 P(Xc)=P(Xc),则 c 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C
