1、1 第四章第四章三角函数、解三角形 4.2 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 专题 1 三角函数的定义域、值域、最值 (2015银川二中高三一模,三角函数的定义域、值域、最值,选择题,理 9)若函数 f(x)=2sin x(0) 在(0,2)上恰有两个极大值和一个极小值,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析:依题意,0) 的部分图象如图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)的值为( ) 2 A.0 B.3 C.6 D.- 解析:利用三角函数图象得解析式.由图象可得周期 T=8,则 =,又 A=2,所以 f(x)=2sinx,则 f(1)+f(2)+f(
2、8)=0,所以 f(1)+f(2)+f(2015)=-f(8)=-2sin2=0,故选 A. 答案:A (2015辽宁重点中学协作体高考模拟,三角函数的图象与变换,选择题,理 3)函数 f(x)=sin 所对应的图 象向左平移个单位后的图象与 y 轴距离最近的对称轴方程为( ) A.x= B.x=- C.x=- D.x= 解析:依题意,当 2x+=k,即 x=,kZ时,y=f=cos 取得最值,因此所求的直线方程是 x=-,故选 B. 答案:B (2015辽宁东北育才高三第五次模拟,三角函数的图象与变换,选择题,理 9)将函数 y=sin的图象向左 平移个单位,再向上平移 1个单位,所得图象的
3、函数解析式是( ) A.y=2cos2x B.y=2sin2x C.y=1+sin D.y=cos 2x 解析:将函数 y=sin 的图象向左平移个单位,得到函数 y=sin=cos2x的图象,再向上平移 1 个单位,得到 函数 y=cos2x+1 的图象,因为 y=cos2x+1=2cos2x,故选 A. 答案:A 专题 2 函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用 (2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,填空题,理 13)函 数 y=sin x+cos x 的单调递增区间是 . 解析:化简解析式后结合正弦函数的图象求解.y=sinx+cos
4、x=sin,x的单调递增区间即为 0x+与 x 的交集,所以单调递增区间为. 答案: (2015江西重点中学盟校高三第一次联考,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理 8)已知 f(x)=3sin 2x+acos 2x,其中 a 为常数,f(x)的图象关于直线 x=对称,则 f(x)在以下区间上是单调函数的是 ( ) A. B. C. D. 解析:由题意知 f=,解得 a=,所以 f(x)=3sin2x+cos2x=2sin,当 x时,2x+,所以 f(x)在上是单调函数,故 选 B. 答案:B (2015银川一中高三二模,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理
5、 9)若 f(x)=2cos(x+)+m,对任意实数 t都有 f=f(-t),且 f=-1,则函数 m 的值等于( ) A.1 B.3 C.-1或 3 D.-3或 1 解析:依题意得 f(x)的图象关于直线 x=对称,于是有 f=2+m=-1,即 m=-3 或 m=1,故选 D. 答案:D (2015辽宁重点中学协作体高考模拟,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,解答题,理 17)已知函数 f(x)=2cos(x+)的最小正周期为 ,点为它的图象的一个对称中心. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在ABC中,a,b,c分别为角 A,B,C的对应边,若 f,a=3,求 b+c
6、 的最大值. 解:(1)f(x)的最小正周期 T=,=2. 为 f(x)的图象的对称中心, 2+=k+(kZ),且 0, =,f(x)=2cos. 3 令 2k-2x+2k,则 k-xk-. 故函数 f(x)的单调递增区间为,kZ. (2)f=2cos, cos. -A-,A-,A=. a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc. (b+c)2=9+3bc9+3,b+c6, 当且仅当 b=c=3时取等号, 故 b+c的最大值为 6. (2015东北三省三校高三二模,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理 6)函数 f(x)=sin x+sin 图象的一条对称轴为(
7、) A.x= B.x= C.x= D.x= 解析:依题意得 f(x)=sinx+cosx=sin,当 x=时,f(x)取得最大值,因此 f(x)图象的一条对称轴为直线 x=,故 选 D. 答案:D (2015东北三省三校高三第一次联考,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,填空题,理 16)已知函数 y=sin(x+)-2cos(x+)(0)的图象关于直线 x=1对称,则 sin 2= . 解析:依题意得 sin(+)-2cos(+)=, 即-sin+2cos=, 联立 解得(舍去); 联立解得 符合题意,故 sin2=2sincos=-. 答案:- (2015东北三省三校高三第一次联考
8、,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,解答题,理 17)已知 ABC 的面积为 2,且满足 04,设的夹角为 . (1)求 的取值范围; (2)求函数 f()=2sin2cos 2的取值范围. 解:(1)设ABC中角 A,B,C的对边分别为 a,b,c, 则由题意得 bcsin=2,0a)上的 函数 f(x)=sin x-cos x 的值域是,则 b-a的最大值 M和最小值 m 分别是( ) A.m=,M= B.m=,M= C.m=,M=2 D.m=,M= 解析:依题意得 f(x)=sin,在坐标平面内画出函数 y=f(x)的大致图象,结合图象可知,当函数 y=f(x)的值 域是时,m
9、=,M=2m=.故选 D. 答案:D 4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式两角和与差的正弦、余弦与正切公式 专题 3 两角和与差公式的应 用 4 (2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,两角和与差公式的应用,填空题,理 16)底面是同一个边 长为 a 的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球,它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面,球的半 径为 R.设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 ,则 tan(+)的值是 . 解析:利用几何体的性质求解,由题意可得三棱锥都是正三棱锥,且底面圆半径 r=a,底面圆心到正三角 形的边的距离 d=r=a.设小正三棱锥的高为 h,hR,则 R2=r2+(R-
10、h)2=a2+(R-h)2,得 h(2R-h)=a2,则 tan(+)=-. 答案:- 4.5 三角恒等变换三角恒等变换 专题 1 三角函数式的化简、求 值 (2015辽宁大连高三双基测试,三角函数式的化简、求值,填空题,理 13)若 sin =,则 cos 2= . 解析:依题意得 cos2=1-2sin2=. 答案: (2015江西重点中学盟校高三第一次联考,三角函数式的化简、求值,选择题,理 11)坐标平面上的点 集 S满足 S=,将点集 S 中的所有点向 x 轴作投影,所得投影线段的长度为( ) A.1 B. C. D.2 解析:因为 2sin4y+2cos4y=2(1-2sin2yc
11、os2y)=21,2,所以 log2(x2-x+2)1,2,2x2-x+24,解得 x- 1,01,2,所以投影长度为 2,故选 D. 答案:D (2015江西八所重点中学高三联考,三角函数式的化简、求值,填空题,理 15)如图,圆 O与 x 轴的正 半轴的交点为 A,点 C,B在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B的坐标为,AOC=,若|BC|=1,则 cos2- sincos 的值为 . 解析:利用三角公式求解.由题意可得BOC为正三角形,则 B,又 B,所以 sin=-cos2-sincossin-cos- sin=sin=-sin. 答案: 4.6 解三角形解三角形 专题 1 利
12、用正弦定理、余弦定理解三角形 (2015东北三省四市教研联合体高三模拟一,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理 17)ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,B=,tan=-. (1)求角 C; (2)若 b-c=,求ABC的面积. 解:(1)B=,0A,A+. tan=-,A+, A=.C=. (2)sinB=,sinC=,bc=. b-c=,b=,c=. sinA=sin(B+C)=. 5 S ABC =bcsinA=. (2015江西重点中学盟校高三第一次联考,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题,理 13)在 ABC 中,a=3,b=2,A=30,则 cos B= .
13、 解析:由正弦定理得,所以 sinB=,又因为 ba,所以 B30,cosB=. 答案: (2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理 4)已知 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2=b2+c2-bc,bc=4,则ABC的面积为( ) A. B.1 C. D.2 解析:利用正弦定理、余弦定理求解.因为 b2+c2-a2=2bccosA=bc,所以 cosA=,因为 A(0,),所以 A=, 所以ABC 的面积为 bcsinA=4,故选 C. 答案:C (2015银川二中高三一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理 1
14、7)已知函数 f(x)=sin+2cos2x-1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间,并说明由 f(x)图象经过怎样的变换可得到 g(x)=sin 2x 的图象; (2)若在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C的对边,且 a=1,b+c=2,f(A)=,求ABC的面积. 解:(1)f(x)=sin+2cos2x-1 =sin2x-cos2x+cos2x =sin2x+cos2x=sin, 函数 f(x)的单调递增区间是(kZ). 可将 f(x)的图象向右平移个单位得到 g(x)=sin2x 的图象. (2)f(A)=,sin, 又 0A,2A+, 2A+,故 A=. 在ABC中,a
15、=1,b+c=2,A=, 1=b2+c2-2bccosA,即 1=4-3bc,bc=1, S ABC =bcsinA=. (2015辽宁东北育才高三第五次模拟,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理 17)已知ABC 是斜三角形,内角 A,B,C所对的边的长分别为 a,b,c.若 csin A=acos C. (1)求角 C; (2)若 c=,且 sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求ABC的面积. 解:(1)由正弦定理,得 csinA=asinC, csinA=acosC,asinC=acosC, tanC=,C(0,),C=. (2)sinC+sin(B-A)=5sin2A,
16、C=,且 sinC=sin(A+B), sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A, 2sinBcosA=25sinAcosA, ABC为斜三角形,cosA0, sinB=5sinA, 由正弦定理可知 b=5a, 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 21=a2+b2-2ab. 由解得 a=1,b=5. S ABC =absinC=15. (2015东北三省三校高三二模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题,理 15)ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 a,b,c成等比数列,若 sin B=,cos B=,则 a+c的值为 . 解析:依题意得 cosB
17、=,ac=13,b2=ac=13,由余弦定理得 b2=13=a2+c2-2accosB,即(a+c)2- 2ac(1+cosB)=13,(a+c)2-213=13,(a+c)2=63,所以 a+c=3. 答案:3 专题 3 测量距离、高度及角度问题 (2015银川一中高三二模,测量距离、高度及角度问题,解答题,理 17) 6 如图,在海岛 A 上有一座海拔 1千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮船在岛北偏东 30,俯角为 30的 B处,到 11 时 10分又测得该船在岛北偏西 60,俯角为 60的 C处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米? (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A有多远? 解:(1)在 RtPAB 中,APB=60,PA=1, AB=(千米). 在 RtPAC 中,APC=30,AC=(千米). 在ACB中,CAB=30+60=90, BC=. =2(千米/时). (2)DAC=90-60=30, sinDCA=sin(180-ACB)=sinACB=. sinCDA=sin(ACB-30) =sinACB cos30-cosACB sin30 = =. 在ACD中,据正弦定理得, 解得 AD=. 此时船距岛 A为千米.
