1、1 第十四章第十四章选修模块 14.1 几何证明选讲几何证明选讲 专题 2 相似三角形的判定与性 质 (2015江西重点中学盟校高三第一次联考,相似三角形的判定与性质,解答题,理 22)选修 41:几何 证明选讲 如图,O 的半径为 6,线段 AB 与O相交于点 C,D,AC=4,BOD=A,OB与O相交于点 E. (1)求 BD的长; (2)当 CEOD时,求证:AO=AD. 解:(1)OC=OD,OCD=ODC, OCA=ODB. BOD=A,OBDAOC,. OC=OD=6,AC=4,BD=9. (2)证明:OC=OE,CEOD, COD=BOD=A. AOD=180-A-ODC=180
2、-COD-OCD=ADO. AD=AO. (2015辽宁东北育才高三第五次模拟,相似三角形的判定与性质,解答题,理 22)选修 41:几何证明 选讲 如图,AB 是O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE都是O的割线,已知 AB=AC. (1)求证:FGAC; (2)若 CG=1,CD=4,求的值. 解:(1)证明:因为 AB为切线,AE 为割线,所以 AB2=AD AE,又因为 AC=AB,所以 AD AE=AC2. 所以,又因为EAC=DAC, 所以ADCACE,所以ADC=ACE, 又因为ADC=EGF, 所以EGF=ACE,所以 FGAC. (2)由题意可得 G,E,D
3、,F四点共圆. 所以CGF=CDE,CFG=CED. 所以CGFCDE,所以. 又因为 CG=1,CD=4,所以=4. 专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线 (2015银川二中高三一模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理 22)选修 41:几何证明选讲 如图,已知 AB 为圆 O的直径,C,D是圆 O 上的两个点,CEAB于点 E,BD 交 AC于点 G,交 CE于点 F,CF=FG,求证: 2 (1)C是劣弧 BD的中点; (2)BF=FG. 证明:(1)CF=FG,CGF=FCG. AB 为圆 O的直径,ACB=ADB=. CEAB,CEA=. CBA=-CAB,ACE=-CAB, CBA
4、=ACE. CGF=DGA,DGA=ABC, -DGA=-ABC, CAB=DAC,C 为劣弧 BD的中点. (2)GBC=-CGB,FCB=-GCF, GBC=FCB,CF=FB,BF=FG. 专题 5 圆内接四边形的判定及性质 (2015辽宁大连高三双基测试,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理 22)选修 41:几何证明 选讲 如图,已知O1与O2相交于 A,B两点,P是O1上一点,PB的延长线交O2于点 C,PA 交O1于点 D,CD 的延长线交O1于点 N. (1)点 E 是上异于 A,N的任意一点,PE交 CN于点 M,求证:A,D,M,E四点共圆; (2)求证:PN2=PB PC
5、. 证明:(1)连接 AB,A,B,P,E四点共圆, ABC=E. 又ABC=ADC,ADC=E, A,D,M,E四点共圆. (2)连接 BN,PNB=PAB=C,BPN=NPC, PNBPCN, PN2=PB PC. (2015辽宁重点中学协作体高考模拟,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明 选讲 如图,已知 AB 是O 的直径,CEAB 于点 H,与O交于点 C,D,且 AB=10,CD=8,DE=4,EF 与O 切 于点 F,BF与 HD 交于点 G. (1)证明:EF=EG; (2)求 GH的长. 解:(1)证明:连接 AF,OE,OF,则 A,F,G,H
6、四点共圆. 3 EF 是切线,OFEF, FGE=BAF=EFG,EF=EG. (2)OE2=OH2+HE2=OF2+EF2, EF2=OH2+HE2-OF2=32+82-52=48, EF=EG=4,GH=EH-EG=8-4. 专题 6 圆的切线的性质与判 定 (2015江西八所重点中学高三联考,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明选 讲 如图,直线 PQ 与O相切于点 A,AB是O的弦,PAB 的平分线 AC交O于点 C,连接 CB,并延长 与直线 PQ相交于 Q点. (1)求证:QC BC=QC2-QA2; (2)若 AQ=6,AC=5,求弦 AB的长. 解:(
7、1)证明:PQ与O相切于点 A, PAC=CBA. PAC=BAC,BAC=CBA, AC=BC=5. 由切割线定理得 QA2=QB QC=(QC-BC)QC, QC BC=QC2-QA2. (2)由 AC=BC=5,AQ=6及(1),知 QC=9. 由QAB=ACQ,知QABQCA, ,AB=. (2015银川一中高三二模,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 为半圆 O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过 A 点作 ADCD 于点 D,交半圆于点 E,DE=1. (1)证明:AC平分BAD; (2)求 BC的长. 解:
8、(1)证明:连接 OC,OA=OC,OAC=OCA. 4 CD为半圆的切线,OCCD,OCAD. OCA=CAD,OAC=CAD, AC平分BAD. (2)连接 CE,由OAC=CAD 知 BC=CE, 又A,B,C,E四点共圆, cosB=cosCED,. 又DE=1,AB=4,BC=2. (2015东北三省三校高三第一次联考,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在ABC中,ABC=90,以 AB 为直径的圆 O交 AC于点 E,点 D 是 BC边的中点,连接 OD交圆 O于点 M. 求证:(1)DE是圆 O 的切线; (2)DE BC=DM AC+DM
9、 AB. 证明:(1)连接 OE. 点 D是 BC的中点,点 O是 AB的中点, ODAC,A=BOD,AEO=EOD. OA=OE,A=AEO,BOD=EOD. 在EOD 和BOD中, OE=OB,EOD=BOD,OD=OD, EODBOD, OED=OBD=90,即 OEED. E是圆 O 上一点,DE是圆 O的切线. (2)延长 DO交圆 O于点 F. EODBOD,DE=DB. 点 D是 BC的中点,BC=2DB. DE,DB 是圆 O的切线,DE=DB. DE BC=DE 2DB=2DE2. AC=2OD,AB=2OF, DM AC+DM AB=DM (AC+AB)=DM (2OD+
10、2OF)=2DM DF. DE是圆 O的切线,DF 是圆 O 的割线, DE2=DM DF,DE BC=DM AC+DM AB. 专题 7 与圆有关的比例线 段 (2015东北三省三校高三二模,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知点 C 在圆 O直径 BE的延长线上,CA切圆 O于点 A,CD 是ACB 的平分线,交 AE 于点 F,交 AB 于点 D. (1)求证:CE AB=AE AC; (2)若 ADDB=12,求证:CF=DF. 5 证明:(1)CA 为圆 O的切线,CAE=CBA. 又ACE=BCA, ACEBCA,得,CE AB=AE AC.
11、 (2)CD平分ACB,ACF=BCD. AC为圆的切线,CAE=CBD, ACFBCD. ACF+CAE=BCD+CBD, 即AFD=ADF,AF=AD. ACFBCD, CF=DF. 14.2 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化 (2015东北三省三校高三二模,直角坐标方程与极坐标方程的互化,解答题,理 23)选修 44:坐标系 与参数方程 已知点 P 的直角坐标是(x,y),以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点,x轴的正半轴为极轴,建立极 坐标系.设点 P 的极坐标是(,),点 Q 的极坐标是(,+0),其中 0是常数.设点 Q的平面直角坐标是 (
12、m,n). (1)用 x,y,0表示 m,n; (2)若 m,n满足 mn=1,且 0=,求点 P的直角坐标(x,y)满足的方程. 解:(1)由题意知 即 所以 (2)由题意知 所以=1. 整理得=1. 专题 5 参数方程与普通方程的互化 (2015银川二中高三一模,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)选修 44:坐标系与参数 方程 已知曲线 C:=1,直线 l:(t为参数). (1)写出曲线 C的参数方程,直线 l的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P作与 l夹角为 30的直线,交 l于点 A,求|PA|的最大值及此时 P 点的坐标. 解:(1)曲线 C的参数方程为直线 l的
13、普通方程为 x+2y-6=0. (2)设曲线上任意一点 P 的坐标为(4cos,2sin), 则|PA|的距离是 P 到直线距离的两倍, 即|PA|=2d=2=2, 当 sin=-1时,|PA|有最大值. 此时 P的坐标为(-2,-3). 专题 6 极坐标方程与参数方程的应用 (2015辽宁重点中学协作体高考模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 44: 坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程为(t为参数),已知曲线 C2的极坐标方程为=1. (1)写出曲线 C1,C2的直角坐标方程; (2)若曲线 C1和 C2有且只有一个公共点,求实数 m 的值. 解:(1)曲线 C1
14、:y=mx-2m-1, 曲线 C2:x2+y2-4y=0(y0), 6 即 x2+(y-2)2=4(y0). (2)当直线与圆相切时,d=2, m=-. 当直线过点(0,0)时,-2m=1,m=-. 综上所述,m=-或 m=-. (2015东北三省三校高三第一次联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 44:坐标 系与参数方程 已知曲线 C的极坐标方程是 =2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平 面直角坐标系,直线 l的参数方程是(t为参数). (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l的普通方程; (2)设点 P(m,0),若直线 l与曲线 C
15、交于 A,B 两点,且|PA| |PB|=1,求实数 m的值. 解:(1)由 =2cos 得 2=2cos, x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1, 曲线 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1. 由得 x=y+m,即 x-y-m=0, 直线 l的普通方程为 x-y-m=0. (2)将代入(x-1)2+y2=1 得=1, 整理得 t2+(m-1)t+m2-2m=0, 令 0,即 3(m-1)2-4(m2-2m)0, 解得-10,00, 故可设 t1,t2是上述方程的两实数根, 所以又直线 l过点 P(3,). A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2, 所以|PA|+|PB|=|t1
16、|+|t2|=t1+t2=3. (2015江西重点中学盟校高三第一次联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 4-4:坐 标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l的极坐标方程 =, 曲线 C的参数方程为 (1)写出直线 l与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l的直线与曲线 C 交于 A,B两点,若|MA|-|MB|=,求点 M轨迹的直角坐标方程. 解:(1)直线 l:y=x,曲线 C:+y2=1. (2)设点 M(x0,y0)及过点 M的直线为 l1:(t为参数). 由直线 l1与曲线 C相交可
17、得 tx0+2ty0+2-2=0. |MA|+|MB|=, 即+2=6,x2+2y2=6 表示一椭圆. 取 y=x+m代入+y2=1 得 3x2+4mx+2m2-2=0, 由 0得-m, 故点 M 的轨迹是椭圆 x2+2y2=6 夹在平行直线 y=x之间的两段弧. (2015辽宁大连高三双基测试,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 4-4:坐标系与参数 方程 已知曲线 C:+y2=1,直线 l:(t为参数). (1)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求出直线 l的极坐标方程和曲线 C 的参数 方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P作与 l夹角为 30的直线,
18、交 l于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 解:(1)直线 l的极坐标方程为 sin=1, 曲线 C的参数方程为(为参数). (2)曲线 C的点 P(2cos,sin)到直线 l:x+y-2=0 的距离 d=, 则|PA|=|sin(+)-2|,tan=2. 当 sin(+)=-1时,|PA|max=+2; 当 sin(+)=时,|PA|min=0. 14.3 不等式选讲不等式选讲 专题 1 含绝对值不等式的解 法 (2015东北三省四市教研联合体高三模拟一,含绝对值不等式的解法,解答题,理 24)选修 4-5:不等式 选讲 设函数 f(x)=|x+2|+|2x-4|,g(x)=a+x. 8
19、 (1)当 a=3时,解不等式 f(x)g(x); (2)画出函数 y=f(x)的图象,根据图象求使 f(x)g(x)恒成立的实数 a的取值范围. 解:f(x)= (1)a=3,f(x)g(x)x0; (2)若 f(x)+3|x-4|m 对一切实数 x 均成立,求实数 m的取值范围. 解:(1)当 x4时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+50, 解得 x-5,所以 x4 成立; 当-x0, 解得 x1,所以 10,解得 x0,解得 x0,即 x-30,解得 x3,又 x,x3. 综上所述,不等式 f(x)0 的解集为(3,+). (2)f(x)=|2x-1|-|x+2|= f(x)min=f=-. x0R,使得 f(x0)+2m2f(x)min=-. 整理得 4m2-8m-59x2y2. 证明:因为 x,y 是正实数, 所以(x2y+x+y2)3=3xy, 当且仅当 x2y=x=y2,即 x=y=1 时,等号成立; 同理,xy2+y+x23=3xy, 当且仅当 xy2=y=x2,即 x=y=1 时,等号成立. 所以(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)9x2y2, 当且仅当 x=y=1时,等号成立. 因为 xy,所以(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)9x2y2.
