1、第二章 圆锥曲线与方程 本章概述本章概述课程目标 1知识、技能、过程、方法目标 (1)掌握椭圆的定义，椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 (2)能够根据条件确定椭圆的标准方程，会运用待定系数法求椭圆的标准方程 (3)掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b、c、e的几何意义，以及a、b、c、e之间的相互关系 (4)了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程 (5)会用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、c，能根据条件确定双曲线的标准方程 (6)使学生了解双曲线的几何性质，能够运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能够确定双曲线的形状特征 (7)了解抛物
2、线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程，能根据条件确定抛物线的标准方程 (8)了解抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程推导出它的几何性质，同时掌握抛物线的简单画法 (9)通过抛物线四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析归纳能力 (10)通过根据圆锥曲线的标准方程研究其几何性质的讨论，加深曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题和解决问题的能力，培养学生的数形结合、方程思想及等价转化思想 (11)能够利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有关的简单实际应用问题 2情感、态度、价值观目标 通过对椭圆、双曲线、抛物线概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力，通过画圆锥曲线的几何图形，让学生感知
3、几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣，通过圆锥曲线的统一性的研究，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育 重点难点 本章重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质，在生产和科学技术中有着广泛的应用，也是今后进一步学习数学的基础椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质，以及坐标法是这一章的重点 本章难点：坐标法是借助坐标系，以代数中数与式的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法因此，学习这一章时需要一定的代数知识作为基础特别是对数式变形和解方程组的能力要求较高例如，在求椭圆和双曲线的标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，在解某些题目时，还会遇到由两个
4、二元二次方程组成的方程组的问题等等，这都是本章难点 学法探究 1解析几何是数形结合的典范，通过学习本章要在必修 2的基础上进一步体会坐标法在解决几何问题和实际问题中的作用，体会“数形结合”思想，养成自觉运用数形结合方法解决问题的习惯 2圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的出发点，要明确基本量a、b、c、e的相互关系、几何意义及一些概念的联系 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义”是一种重要的解题策略如在求轨迹中，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形 (即焦点三角形)问题时，常用定义
5、结合解三角形的知识来解决；在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决 3求轨迹方程是解析几何的基本题型，通过学习要加深对“直译法”、“坐标代入法”、“定义法”、“交轨法”、“参数法”、“点差法”等基本方法的理解和运用有些轨迹问题中， 含有隐含条件， 也就是曲线上的点的坐标的取值范围，要认真审题， 充分挖掘隐含条件，找出动点所满足的几何关系 4圆锥曲线中最值求法有两种： (1)几何法：若题目中条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决 (2)代数法： 若题目的条件和结论能体现明确的函数关系，则可建立目标函数，再求这个函
6、数的最值 5直线与圆锥曲线的位置关系：有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，应注意数形结合；有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理；有关垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，简化运算直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题，体现了方程的思想 6定点与定值问题的处理方法： (1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算过程消去变量，从而得到定点 (定值) 21 椭圆 第二章 第二章 第1课时 椭圆及其标准方程 学习要点点拨课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业课堂巩固练习课堂巩固练习课程目标解读课程目标解读1掌握椭圆的定
7、义，会推导椭圆的标准方程 2会用待定系数法求椭圆的标准方程 重点难点展示重点难点展示本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 本节难点：椭圆标准方程的建立和推导 学习要点点拨学习要点点拨1对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点应满足的条件，即椭圆上的点满足 |PF1|PF2|2a，可以对比圆的定义来理解，还要抓住常数 2a|F1F2|，这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时无轨迹” 这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质但学习椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义理解的准确性 2推导椭圆的标准
8、方程是本节学习的一个关键环节应重点理解下述方面： 一是如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单 求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择怎样选择坐标系，要根据具体情况来确定在一般情况下，应注意要使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程 二是为何设椭圆的焦距为 2c. 在求方程时，设椭圆的焦距为 2c(c0)， 椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为 2a(a0)，这是
9、为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单令a2c2b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆 三是在方程的推导过程中无理方程的化简，这类方程的化简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧， 并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方 3椭圆的两种标准方程中，总是ab0，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大 a、b、c始终满足c2a2b2，焦点总是在长轴上如果焦点在x轴上，焦点坐标是(c,0)，(c,0)；如果焦点在
10、y轴上，焦点坐标是(0，c)，(0，c) 4用待定系数法求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行定“量”，即求a、b的大小，a、b、c满足的关系有：a2b2c2；ab0；ac0. 若不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为mx2ny21(m0，n0)的形式 5对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点的问题时，要结合图形看能否运用定义 课前自主预习课前自主预习1我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为_也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形那么平面内到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？ 2平面内与两个定点F1，F2的距离的_等于常数
11、(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的_，_间的距离叫做椭圆的焦距 连结这两点的线段的垂直平分线 和 焦点 两焦点 3焦点在x轴上的椭圆标准方程为_ (ab0)； 焦点在y轴上的椭圆标准方程为_ (ab0)； 其中a，b，c的关系为_. x2a2y2b21 y2a2x2b21 a2b2c2 4求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于 8； (2)两个焦点的坐标分别为 (0，4)，(0,4)，并且椭圆经过点( 3， 5) 分析 (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在x轴上，且可知c的值，由P到两
12、焦点距离和可求出a，进而可求出b2. (2)由两焦点坐标可知c值及焦点在y轴上，结合a2b2c2可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点 ( 3， 5)，可确定a、b的值 解析 (1)椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0) 由已知，得 2a8，得a4. 又因为c3，所以b2a2c242327. 因此，所求椭圆的标准方程为x216y271. (2)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0) 由已知，得c4. 因为c2a2b2，所以a2b216. 因为点( 3， 5)在椭圆上， 所以? 5?2a2?3?2b21，即5a23b21. 将式代入，得5b2
13、163b21， 解得b24(b212 舍去) 由得a241620. 因此，所求椭圆的标准方程为y220 x241. 点评 (1)要注意焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同，从方程看哪个分母大，焦点就在哪个轴上 (2)解题(2)时，也可以根据椭圆的定义，由点 ( 3， 5)与焦点F1，F2的距离的和等于 2a，求出a的值；然后由b2a2c2，确定b2的值 课堂典例讲练课堂典例讲练思路方法技巧例1 (1)(20122013学年度宁夏宁大附中高二期末测试 )平面内一动点M到两定点F1、F2的距离之和为常数 2a，则点M的轨迹为( ) A椭圆 B圆 C无轨迹 D椭圆或线段或无轨迹 命题方向命题方
14、向 椭圆的定义及其应用 (2)(20122013 学年度辽宁大连 24 中高二期末测试)椭圆x225y2161 上一点M到一个焦点的距离为 4， 则M到另一个点的距离为( ) A4 B6 C8 D2 分析 (1)中，根据 2a与两定点F1、F2距离的大小关系进行分类讨论 (2)中，根据椭圆方程求出a，利用椭圆定义求点M到另一个焦点的距离 解析 (1)当 2a|F1F2|时，点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆； 当 2a|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2； 当 2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为 2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行
15、相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解 (20122013 学年度海南澄迈中学高二期中测试 )椭圆x225y291 的两点为F1、F2，一直线过F2交椭圆于P、Q两点，则PQF1的周长为_ 答案 20 解析 如图， 由椭圆的定义，得|PF1|PF2|QF1|QF2|2a10， PQF1的周长等于|PF1|PQ|QF1| |PF1|PF2|QF1|QF2| 4a20. 命题方向命题方向 求椭圆的标准方程 例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦
16、点的距离的和等于 10； (2)焦点分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3 2)； (3)经过两点(2， 2)，(1，142) 分析 (1)由已知可得a、c的值，由b2a2c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程 (2)利用两点间的距离公式求出 2a， 再写方程；也可用待定系数法 (3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置也可利用椭圆的一般方程Ax2By21(A0，B0，AB)直接求A，B得方程 解析 (1)由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c4,2a10， a5，b2a2c225169. 椭圆的标准方程为x225y291. (2)解法一：椭圆的焦点在y轴上， 可设它的标准方程为x2a2y
17、2b21(ab0) 由 椭 圆 的 定 义 知2a?40?2?3 22?2?40?2?3 22?212， 所以a6. 又c2，所以b2a2c232. 椭圆的标准方程为y236x2321. 解法二：椭圆的焦点在y轴上， 可设其标准方程为y2a2x2b21(ab0) 由题意得? 18a216b21a2b24， 解得? a236b232. 椭圆的标准方程为y236x2321. (3)解法一：若椭圆的焦点在x轴上， 设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0) 由已知条件得? 4a22b211a2144b21， 解得? a28b24. 所求椭圆的标准方程为x28y241. 同理可得：焦点在y轴上的椭
18、圆不存在. 综上，所求椭圆的标准方程为x28y241. 解法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB) 将两点(2， 2)，(1，142)代入， 得? 4A2B1A144B1，解得? A18B14. 所以所求椭圆的标准方程为x28y241. 点评 (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤可总结如下：由焦点坐标确定方程是x2a2y2b21(ab0)，还是y2a2x2b21(ab0)；运用定义、平方关系等求出a，b. (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax2By21(A0，B0，且AB)，这样可以避免讨论 根据下列条件，求椭圆的标准方程 (1)经过两点A(0,2)，B?12， 3 ；
19、(2)经过点(2，3)且与椭圆 9x24y236 有共同的焦点 解析 (1)设所求椭圆的方程为x2my2n1(m0，n0)， 椭圆过A(0,2)，B?12， 3 . ? 0m4n114m3n1，解得? m1n4， 即所求椭圆方程为x2y241. (2)椭圆 9x24y236 的焦点为(0， 5)，则可设所求椭圆方程为x2my2m51(m0)， 又椭圆经过点(2，3)，则有4m9m51， 解得m10 或m2(舍去)， 即所求椭圆的方程为x210y2151. 命题方向命题方向 与椭圆有关的轨迹问题 例 3 已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于 18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程
20、分析 由ABC的周长等于 18，|BC|8，可知点A到B、C两个定点的距离之和是 10，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，但点A与点B、C不能在同一直线上适当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程 建模应用引路解析 以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示 由|BC|8，可知点B(4,0)，C(4，0)，c4. 由|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 2a10，但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为x22
21、5y291(y0) 点评 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数 (定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验 已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程 解析 如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r. 由题意得动圆M和内切于圆C1， |MC1|13r. 圆M外切于圆C2， |MC2|3r. |MC1|MC2|16|C1C2|8， 动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为
22、焦点的椭圆， 且 2a16,2c8， b2a2c2641648， 故所求椭圆方程为x264y2481. 探索延拓创新例 4 如图所示，已知点P是椭圆y25x241 上的点，F1和F2是焦点，且F1PF230 ，求F1PF2的面积 命题方向命题方向 焦点三角形问题 解析 在椭圆y25x241 中，a 5，b2，ca2b21， 又点P在椭圆上，|PF1|PF2|2a2 5 由余弦定理知 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos30 |F1F2|2(2c)24 式两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20 得(2 3)|PF1|PF2|16， |PF1|PF2|16(2 3
23、)， SPF1F212|PF1|PF2|sin30 84 3. 点评 椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成的三角形PF1F2我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用到椭圆定义，又能用到正、余弦定理上述解答过程中还运用了整体思想直接求出|PF1|PF2|，没有单独求|PF1|、|PF2|，以减少运算量 已知P是椭圆x24y21 上的一点，F1，F2是椭圆上的两个焦点 (1)当F1PF260 时，求F1PF2的面积； (2)当F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围 解析 (1)由椭圆的定义， 得|PF1|PF2|4， 且F1( 3，0)，F2( 3，0) 在F1PF2中，由余弦定理得，
24、 |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60 . 由，得：|PF1|PF2|43. SPF1F212|PF1|PF2|sinF1PF233. (2)设点P(x，y)，由已知F1PF2为钝角，得PF1PF20，即 (x 3，y)(x 3，y)0，又y21x24， 34x22，解得2 63x2 63， 点P横坐标的范围是：2 63x2 63. 名师辨误做答名师辨误做答例 5 方程x2m2y2?m1?21 表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围 错解 1 方程x2m2y2?m1?21 表示焦点在y轴上的椭圆，则m2(m1)2，解得mb0，所以m1m0，即10，这是不可能
25、的，即所求的m的值不存在 辨析 解法1只注意了焦点在y轴上， 而没有考虑到m20且(m1)20，这是经常出现的一种错误，一定要避免 解法 2 中，由a2(m1)2及b2m2，应得a|m1|及b|m|，m1 与m不一定是正值，上述解法误认为m1 与m是正值而导致错误 正解 方程x2m2y2?m1?21 表示焦点在y轴上的椭圆，则? m20，?m1?20，?m1?2m2，解得? m0，m1，m12. 所以m12且m0， 所以所求m的取值范围为(，0)?0，12. 课堂巩固练习课堂巩固练习一、选择题 1椭圆x225y21691 的焦点坐标是( ) A( 5,0) B(0， 5) C(0， 12) D
26、( 12,0) 答案 C 解析 椭圆方程为x225y21691， 椭圆焦点在y轴上， 又a13，b5，c12， 椭圆焦点坐标为 (0， 12) 2 (20122013 学年度陕西西安市第一中学高二期末测试 )如果方程x24my2m31 表示焦点在x轴上的椭圆， 则m的取值范围为( ) A3m72 C3m72 D.72mm30， 3mb0)，由题意得， |PF1|PF2|?522294?522294 2 102a， a 10， 又c2，b26，椭圆的方程为x210y261. 二、填空题 4椭圆x2my241 的焦距是 2，则m的值为_ 答案 5 或 3 解析 由题意得 2c2，c1，当焦点在x轴上时，a2m，b24，c2m41，m5， 当焦点在y轴上时，a24，b2m，c24m1， m3. 5如果方程x2ky22 表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是_ 答案 0k2k0，解得 0k0，B0)， 将A( 3，2)和B(2 3，1)的坐标代入方程得， ? 3A4B112AB1，解得? A115B15. 所求椭圆的标准方程为：x215y251.
