1、 3解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题测量和几何计算有关的实际问题2.提高应用数学知识解决实际问题的能力提高应用数学知识解决实际问题的能力1.对解三角形实际应用的考查是本节的热点对解三角形实际应用的考查是本节的热点2.本节内容多与实际问题中测量距离、高度、角度、面积本节内容多与实际问题中测量距离、高度、角度、面积等问题结合考查等问题结合考查3.各种题型均可出现，以中低档题为主各种题型均可出现，以中低档题为主.1通过前面的学习，我们已经知道，在三角形的三条边和
2、通过前面的学习，我们已经知道，在三角形的三条边和三个角共六个元素中，要知道三个三个角共六个元素中，要知道三个(其中至少有一个边其中至少有一个边)才能解才能解该三角形，按已知条件可分为四种情况：该三角形，按已知条件可分为四种情况：已知已知条件条件应用定应用定理理一般解法一般解法一边一边和两角和两角(如如a，B，C)正弦定正弦定理理由由 ，求角，求角A；由；由 求出求出b与与c，在有，在有解时只有一解解时只有一解ABC180正弦定理已知条件已知条件应用定应用定理理一般解法一般解法两边和夹两边和夹角角(如如a，b，C)余弦定余弦定理理正弦定正弦定理理由由 求第三边求第三边c；由；由 求出一边所对的角
3、；再由求出一边所对的角；再由 求出另一角，在有解时只有一解求出另一角，在有解时只有一解三边三边(a，b，c)余弦定余弦定理理由由 求出求出A、B；再利用再利用 求出角求出角C，在有解，在有解时只有一解时只有一解两边和其两边和其中一边的对中一边的对角角(如如a，b，A)正弦定正弦定理理余弦定余弦定理理由由 求出求出B；由；由 求出角求出角C；再利用；再利用 求求c，可有两解、一解或无解，可有两解、一解或无解余弦定理ABC180余弦定理ABC180正弦定理ABC180正弦定理或余弦定理1基线基线(1)定义：在测量上，根据定义：在测量上，根据 需要适当确定的线段叫做基需要适当确定的线段叫做基线线(2
4、)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的 ，使测量具有较高的，使测量具有较高的一般来说，一般来说，基线越长，测量的精确度越基线越长，测量的精确度越测量基线长度精确度高2对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图坡角：坡向与水平方向的夹角，如图(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图(3)方位角：指从正北方向顺时针转
5、到目标方向线所成的方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中角，如图中B点的方位角为点的方位角为.3正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广，主要学习正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广，主要学习它们在测量它们在测量 、 等问题中的一些应用等问题中的一些应用距离高度角度1以下图示是表示北偏西以下图示是表示北偏西135的是的是()答案：C2甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的高的旗杆，甲观测的仰角为旗杆，甲观测的仰角为50，乙观测的仰角为，乙观测的仰角为40，用，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有分别表示甲、乙两人
6、离旗杆的距离，那么有()Ad1d2 Bd1d2Cd120 m Dd220 m答案：B 3如下图所示，已知两座灯塔如下图所示，已知两座灯塔A和和B与海洋观察站与海洋观察站C的距的距离都等于离都等于a km，灯塔，灯塔A在观察站在观察站C的北偏东的北偏东20，灯塔，灯塔B在观在观察站察站C的南偏东的南偏东40，则灯塔，则灯塔A与灯塔与灯塔B的距离为的距离为_4.如图，海上有如图，海上有A、B、C三个小岛，其中三个小岛，其中A、B两个小岛两个小岛相距相距10 n mile从从A岛望岛望C岛和岛和B岛成岛成45的视角，从的视角，从B岛望岛望C岛和岛和A岛成岛成75的视角，则的视角，则BC的距离为的距离
7、为_n mile.一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号正在该海域执行护航任务的海军求救信号正在该海域执行护航任务的海军“黄山黄山”舰在舰在A处处获悉后，即测出该商船在方位角为获悉后，即测出该商船在方位角为45距离距离10海里的海里的C处，并处，并沿方位角为沿方位角为105的方向，以的方向，以9海里海里/时的速度航行时的速度航行“黄山黄山”舰立即以舰立即以21海里海里/时的速度前去营救求时的速度前去营救求“黄山黄山”舰靠近商船舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程所需要的最少时间及所经过的路程解题过程解题过程题后感悟题后感悟(
8、1)将追及问题转化为三角形问题，即可把实将追及问题转化为三角形问题，即可把实际问题转化为数学问题这样借助于正弦定理或余弦定理，际问题转化为数学问题这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了最后要把数学问题还原到实际问题中去就容易解决问题了最后要把数学问题还原到实际问题中去(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决从而运用正弦定理去解决(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距测量两个不可到达的点
9、之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决测量问题，然后运用正弦定理解决如图所示，如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距是水平面上的两个点，相距800 m，在，在A点测得山顶点测得山顶C的仰角为的仰角为45，BAD120，又在，又在B点测点测得得ABD45，其中，其中D点是点点是点C到水平面的垂足，求山高到水平面的垂足，求山高CD.题后感悟题后感悟解决测量高度问题的一般步骤是
10、：解决测量高度问题的一般步骤是：2.在某一山顶观测山下两村庄在某一山顶观测山下两村庄A、B，测得，测得A的俯角为的俯角为30，B的俯角为的俯角为40，观测，观测A、B两村庄的视角为两村庄的视角为50，已知，已知A、B在同一海平面上且相距在同一海平面上且相距1 000米，求山的高度米，求山的高度(精确到精确到1米，米，sin 400.643)答：山高约为643 m. 画出示意图，在三角形中利用正、余弦定理求有关角度进而解决问题解题过程解题过程603090180， D位于位于A的正北方向，的正北方向，又又ADC45， 台风移动的方向为北偏西台风移动的方向为北偏西45方向方向答：答：台风向北偏西台风
11、向北偏西45方向移动方向移动题后感悟题后感悟在充分理解题意的基础上画出大致图形，由在充分理解题意的基础上画出大致图形，由问题中的有关量提炼出三角形中的元素用余弦定理、勾股问题中的有关量提炼出三角形中的元素用余弦定理、勾股定理解三角形定理解三角形(2)解三角形应用题的步骤解三角形应用题的步骤准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；的有关名词和术语；画出示意图，并将已知条件在图形中标出；画出示意图，并将已知条件在图形中标出；分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用
12、正弦定理和余弦定理正确求解，并作答理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答注意注意在解题时要注意公式的选择，使解题过程尽可能在解题时要注意公式的选择，使解题过程尽可能简化，尽量避免讨论简化，尽量避免讨论为了测量某城市电视塔的高度，在一条直线上选择了为了测量某城市电视塔的高度，在一条直线上选择了A，B，C三点，使三点，使ABBC60 m在在A，B，C三点观察塔的三点观察塔的最高点最高点D，测得仰角分别为，测得仰角分别为45，54.2，60，若测量者的，若测量者的身高为身高为1.5 m，试求电视塔的高度，试求电视塔的高度(结果保留结果保留1位小数位小数)【错因【错因】本题所画图形应为立体图形，用平面图形去本题所画图形应为立体图形，用平面图形去解答是错误的，并且在解答过程中考虑不全面，均导致错误解答是错误的，并且在解答过程中考虑不全面，均导致错误
