1、2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设2（z+z）+3(z-z)=4+6i，则z=( ).A.1-2i B.1+2iC.1+i D.1-i2.已知集合S=s|s=2n+1,nZ，T=t|t=4n+
2、1,nZ，则ST=( )A. B.S C.T D.Z3.已知命题p：xR，sinx1；命题q：xR，e|x|1，则下列命题中为真命题的是（ ）A.pq B.pqC.pq D.(pVq)4.设函数f(x)=1x1+x，则下列函数中为奇函数的是（ ）A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）A.2 B. 3C. 4 D. 66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同
3、的分配方案共有（ ）A.60种 B.120种C.240种 D.480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数y=sin(x-4)的图像，则f(x)=（ ）A.sin(x2712) B. sin(x2+12)C. sin(2x712) D. sin(2x+12)8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ）A. 74 B. 2332 C. 932 D. 299.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个
4、垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.A：表高表距表目距的差+表高 B：表高表距表目距的差表高C：表高表距表目距的差+表距 D：表高表距表目距的差表距10.设a0，若x=a为函数fx=axa2xb的极大值点，则（ ）.A：ab B：abC：aba2 D：aba211.设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足PB2b，则C的离心率的取值范围是（ ）.A：22,1 B：12,1C：0,22 D：0,1212.设a=2ln1.01，b=ln1.0
5、2，c=1.041，则（ ）.A：abc B：bcaC：bac D：cab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知双曲线C：x2my2=1（m0）的一条渐近线为3x+my=0，则C的焦距为 .14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-b）b，则= 。15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60，a2+c2=3ac，则b= .16.以图为正视图和俯视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6、第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和s22（1） 求x，y， s12，s22；（2） 判断新设备生产产品的该项
7、指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-x2s12+s222，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PBAM，（1） 求BC；（2） 求二面角A-PM-B的正弦值。19.（12分）记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项和，已知2Sn+1bn=2.（1） 证明：数列bn是等差数列；（2） 求an的通项公式.20.（12分）设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。（1） 求a；（2） 设函数g（x）=x+f
8、（x）xf（x），证明：g（x）1.21.（12 分）己知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB的最大值.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4一4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，C的圆心为C（2，1），半径为1.（1）写出C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点F（4,1）作C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线
9、的极坐标方程.23.选修4一5：不等式选讲（10分）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）当a=1时，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x） a ,求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（理）一、选择题1.设，则( ）A.B.C.D.答案：C解析：设，则，所以，所以.2.已知集合，则( )A.B.C.D.答案：C解析：，；当，时，；当，时，.所以，.故选C.3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A.B.C.D.答案：A解析：根据正弦函数的值域，故，为真命题，而函数为偶函数，且时，故，恒成立.，则也为真命题，所以为真，选A.4.设函数，
10、则下列函数中为奇函数的是（ ）A.B.C.D.答案：B解析：，向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数.5.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）A.B.C.D.答案：D解析：如图，为直线与所成角的平面角.易知为正三角形，又为中点，所以.6.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A.种B.种C.种D.种答案：C解析：所求分配方案数为.7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）A.B.C.D.答案：B解
11、析：逆向：.故选B.8.在区间与中各随机取个数，则两数之和大于的概率为（ ）A.B.C.D.答案：B解析：由题意记，题目即求的概率，绘图如下所示.故.9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”，则海岛的高（ ）A.B.C.D.答案：A解析：连接交于，则.记，则.而，.所以.故，所以高.10.设，若为函数的极大值点，则A.B.C.D.答案：D解析：若，其图像如图（1），此时，；若，时图像如图（2），此时，.综上，.11.设是椭
12、圆：的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）A.B.C.D.答案：C解析：由题意，点，设，则，故，.由题意，当时，最大，则，.12.设，则（ ）A.B.C.D.答案：B解析:设，则，易得.当时，故.所以在上单调递减，所以，故.再设，则，易得.当时，所以在上.故在上单调递增，所以，故.综上，.二、填空题13.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为 .答案：解析：易知双曲线渐近线方程为，由题意得，且一条渐近线方程为，则有（舍去），故焦距为.14.已知向量，若，则 .答案：解析：由题意得，即，解得.15.记的内角，的对边分别为，面积为， ，则 .答案：解析：，所以，由余弦定理，所
13、以.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.答案：或解析：由高度可知，侧视图只能为或.侧视图为，如图（1），平面平面，俯视图为.俯视图为，如图（2），平面，俯视图为.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到产品该项指标数据如下： 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和， 样本方差分别己为和.（1）求，：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果，则认为
14、新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否则不认为有显著提高 ) 。答案：见解析解析：（1）各项所求值如下所示.，.（2）由（1）中数据得.显然.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，,为的中点，且.（1）求；（2）求二面角的正弦值.答案：见解析解析：（1）因为平面，且矩形中，.所以以，分别为，轴正方向，为原点建立空间直角坐标系.设，所以，因为，所以所以，所以.(2)设平面的一个法向量为，由于，则.令，的.设平面的一个法向量为，则.令，的.所以，所以二面角的正弦值为.19.记为数列的前项和，为数列的前项积，已知.（1）证
15、明：数列是等差数列；（2）求的通项公式.答案：见解析解析：（1）由已知，则，故是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知，则，时，时，故.20.设函数，已知是函数的极值点.（1）求；（2）设函数，证明：.答案：见解析解析：（1）令则.是函数的极值点.解得：；（2） 由（1）可知： ，要证，即证（且）.当时，.当时，.只需证明令，且易知.则（i）当时，易得，则在上单调递减，得证.（ii）当时，易得，则在上单调递增.，得证.综上证得.21.已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为.（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值.答案：见解析解析：（1）焦点到的最短距离
16、为，所以.（2）抛物线，设，得：，：，且，都过点，则，故：，即，联立，得，所以，所以.而，故当时，达到最大，最大值为.22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为.（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）的参数方程为（为参数）（2）的方程为当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为，此时圆心到直线的距离为，化简得，两边平方有，所以.代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为或.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.答案：见解析解析：当时，当时，不等式，解得；当时，不等式，解得；当时，不等式，解得.综上，原不等式的解集为.（2）若，即，因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，即或，解得.
