1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.11 导数在研究函数中的应用 (二 ) 重点保分 两级优选练 A 级 一、选择题 1 (2017 安庆二模 )若函数 y aex 3x 在 R 上有小于零的极值点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( 3， ) B ( ， 3) C.? ? 13， D.? ? ， 13 答案 B 解析 y aex 3x，求导， y aex 3， 由若函数 y aex 3x 在 R 上有小于零的极值点， 则 y aex 3 0 有负根，则 a0 ， 则 ex 3a在 y 轴的左侧有交点， 00，且 f( 3) 0，则不等式 f xg x 0， ? ?f xg x f x
2、 g x f x g xg2 x 0， 当 x0 时， f xg x 也是增函数 . 函数 f xg x 的单调性的示意图，如图所示： =【 ;精品教育资源文库 】 = f( 3) 0， f(3) 0， 由不等式 f xg x 1， f(0) 2018，则不等式 exf(x)ex 2017(其中 e为自然对数的底数 )的解集为 ( ) A ( ， 0) (0， ) B (0， ) C (2017， ) D ( ， 0) (2017， ) 答案 B 解析 设 g(x) exf(x) ex，则 g( x) exf(x) exf( x) ex exf(x) f( x) 1， f(x) f( x)1，
3、 ex0， g( x) exf(x) f( x) 10， g(x)是 R 上的增函数 又 g(0) f(0) 1 2017， g(x)2017 的解集为 (0， ) ， 即不等式 exf(x)ex 2017 的解集为 (0， ) 故选 B. 6 (2017 金华模拟 )设函数 f(x) x(ln x ax)(a R)在区间 (0,2)上有两个极值点，则 a 的取值范围是 ( ) A.? ? 12， 0 B.? ?0， ln 2 14 C.? ?12， 1 D.? ?ln 2 14 ， 12 答案 D 解析 f(x) x(ln x ax)，求导 f( x) ln x 2ax 1， 由题意，关于
4、x 的方程 2ax ln x 1 在区间 (0,2)有两个不相等的实根，则 y 2ax 与 y ln x 1 有两个交点， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 y ln x 1，求导 y 1x， 设切点 (x0， y0)， ln x0 1x0 1x0，解得 x0 1， 切线的斜率 k 1，则 2a 1， a 12， 则当 x 2，则直线斜率 k ln 2 12 ， 则 a ln 2 14 ， a 的取值范围为 ? ?ln 2 14 ， 12 ，故选 D. 7 (2017 江西模拟 )若函数 f(x) a(x 2)ex ln x 1x存在唯一的极值点，且此极值大于 0，则 ( ) A 0 a0
5、， f( x) a(x 1)ex 1x 1x2 (x 1)? ?aex 1x2 ， 由 f( x) 0 得到 x 1 或 aex 1x2 0(*) 由于 f(x)仅有一个极值点， 关于 x 的方程 (*)必无解， 当 a 0 时， (*)无解，符合 题意， 当 a0 时，由 (*)得， a 1exx2， a0， 由于这两种情况都有，当 01 时， f( x)0，于是 f(x)为增函数， x 1 为 f(x)的极值点， f(1) ae 10， a 1， g( x)0，函数是增函数， 函数的最小值为 g( 1) 1 1e，则 a 1 1e， 即 a0，即 29 2a0，解得 a 19，所以 a 的
6、取值范围是 ? ? 19， . 12 (2017 信 阳模拟 )已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示，则不等式 (x2 2x3)f( x)0 的解集为 _ 答案 ( ， 1) ( 1,1) (3， ) 解析 由函数图象可知 f( x)0 的解集为 ( ， 1) (1， ) ， f( x)0，得 ? x2 2x 30，f x ， 或? x2 2x 33； 解 得 10 的解集为 ( ， 1) ( 1,1) (3， ) 故答案为 ( ， 1) ( 1,1) (3， ) 13 (2017 七里河模拟 )定义在 R 上的奇函数 y f(x)满足 f(3) 0，且当 x0 时，不等式 f(x)
7、xf( x)恒成立，则函数 g(x) xf(x) lg |x 1|的零点的个数是 _ 答案 3 解析 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足： f(0) 0 f(3) f( 3)， 且 f( x) f(x)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 x0 时， f(x) xf( x)，即 f(x) xf( x)0， xf(x)0 ，函数 h(x) xf(x)在 x0 时是增函数又 h( x) xf( x) xf(x)， h(x) xf(x)是偶函数； x2； a 0， b 2； a 1， b 2. 答案 解析 令 f(x) x3 ax b，则 f( x) 3x2 a. 对于 ，由 a b 3，得
8、f(x) x3 3x 3， f( x) 3(x 1)(x 1)， f(x)极大值 f(1) 10， f(x)极小值 f(1) 0，函数 f(x)的图象与 x 轴有两个交点，故 x3 ax b 0 有两个实根； 对于 ，由 a 3， b2，得 f(x) x3 3x b， f( x) 3(x 1)(x 1)， f(x)极大值 f(1) 2 b0， f(x)极小值 f(1) b 20，函数 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点，故 x3 axb 0 仅 有一个实根； 对于 ，由 a 0， b 2，得 f(x) x3 2， f( x) 3x20 ， f(x)在 R 上单调递增，函数 f(x)的图象与
9、x 轴只有一个交点，故 x3 ax b 0 仅有一个实根； 对于 ，由 a 1， b 2，得 f(x) x3 x 2， f( x) 3x2 10， f(x)在 R 上单调递增，函数 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点，故 x3 ax b 0 仅有一个实根 B 级 三、解答题 15 (2017 西城区期末 )已知函数 f(x) (x a)ex，其中 e 是自然对数的底数， a R. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a0， 所以对于任意 x R， F(x)0， 因此方程 ex a x 无实数解 所以当 x0 时，函数 g(x)不存在零点 综上，函数
10、 g(x)有且仅有一个零点 16设函数 f(x) 13x3 x2 (a2 1)x，其中 a0. (1)若函数 y f(x)在 x 1 处取得极值，求 a 的值； (2)已知函数 f(x)有 3 个不同的零点，分别为 0， x1， x2，且 x1f(1)恒成立，求 a 的取值范围 解 (1)f( x) x2 2x (a2 1)， 因为 y f(x)在 x 1 处取得极值， 所以 f( 1) 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 ( 1)2 2( 1) (a2 1) 0. 解得 a 2 ，经检验得 a 2. (2)由题意得 f(x) x? ? 13x2 x a2 1 13x( x x1)(x x2)， 所以方程 13x2 x a2 1 0 有两个相异的实根 x1， x2.故 1 43(a2 1)0， 解得 a12，且 x1 x2 3， 又因为 x1x1 x2 3，故 x2321. 若 x11f(1)恒成立的充要条件为 f(1) a2 130，解得 33a 33 . 综上得 12a 33 ，即 a 的取值范围为 ? ?12， 33 .
