1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3 1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理 1任意角的概念 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)角的分类 (3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S | k360 ， k Z (4)相关结论 象限角 =【 ;精品教育资源文库 】 = 轴线角 2弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. (2)公式 3任意角的三角函数 =【 ;精品教育资源文库 】 =
2、诊断自测 1概念思辨 (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角 ( ) (2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 ( ) (3) ? ?0， 2 ，则 tan sin .( ) (4) 为第一象限角，则 sin cos 1.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A4P9T5)直径为 4 的圆中， 36 的圆心角所 对的弧长是 ( ) A.45 B.25 C. 3 D. 2 答案 B 解析 36 36 180 rad 5 rad， 36 的圆心角所对的弧长为 l 5 2 25 .故选 B. (2)(必修 A4P21T9)设
3、 是第三象限角，且 ? ?cos 2 cos 2 ，则 2 是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案 B 解析 由 在第三象限，所以 2k 0， tan 0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ ” 解 扇形周长 C 2R l 2R R ， R C2 ， S 扇 12 R2 12 ? ?C2 2 C22 14 4 2C2214 4 C216. 当且仅当 2 4，即 2 时，扇形面积有最 大值 C216. 方法技巧 应用弧度制解决问题的方法 1利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度见典例 (1) 2求扇形面积最
4、大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决见典例 (3) 3在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 提醒：弧度制下 l | | r， S 12lr，此时 为弧度在角度制下，弧长 l n r180 ，扇形面积 S n r2360 ，此时 n 为角度 ，它们之间有着必然的联系 冲关针对训练 (2018 大连模拟 )一个半径为 R 的扇形，它的周长为 4R，则这个扇形所含弓形的面积是 ( ) A.R22 B.12R2sin1cos1 C.12R2(2 sin1cos1) D R2(1 sin1cos1) 答案 D 解析 设圆心角为 ，由题知 2R R
5、4R，得 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 S 弓 S 扇 S 三角形 122 R R 12R2sin2 R2 12R2sin2 R2 ? ?1 12sin2 R2(1 sin1cos1) 故选 D. 题型 3 任意角三角函数的定义及应用 角度 1 利用三角函数定义求值 典例 已知角 的顶点在原点，始边为 x轴的非负半轴若角 终边经过点 P( 3，y)，且 sin 34 y(y0) ，则判断角 所在的象限，并求 cos 和 tan 的值 定义 法 解 依题意， P 到原点 O 的距离为 |PO| ? 3?2 y2， sin yr y3 y2 34 y. y0 ， 9 3y2 16，
6、 y2 73， y 213 . 点 P 在第二或第三象限 当 P 在第二象限时， y 213 ， cos xr 34， tan 73 . 当 P 在第三象限时， y 213 ， cos xr 34， tan 73 . 角度 2 利用三角函数线比较大小，解不等式 典例 sin1， cos1， tan1 的大小关系是 ( ) A sin1cos1tan1 B sin1tan1cos1 C tan1sin1cos1 D tan1cos1sin1 单位圆法 答案 C 解析 作单位圆， 作出锐角 1 弧度的正弦线 BP，余弦线 OB，正切线 AT，可得tan1sin1cos1，故选 C. =【 ;精品教
7、育资源文库 】 = 方法技巧 三角函数定义问题的常见类型及解题策略 1已知角 终边上一点 P 的坐标，可求角 的三角函数值先求 P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解 2利用单位圆解三角不等式的步骤 (1)确定区域的边界 (注意边界的虚实 )； (2)确定区域； (3)写出解集 3三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值 (sin ， cos ， tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集 即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况 提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况 (点所在象限不同 ) 冲关针对训练 1
8、设 20)，且 cos 36 x，求 sin 1tan 的值 解 角 的终边经过点 P(x， 2)(x0)， r x2 2， cos xr 36 x，可得 x 10.则 r 2 3. sin yr 22 3 66 ， tan yx 210 55 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 那么 sin 1tan 66 5 6 6 56 . 1 (2017 商丘期末 )已知点 P( 3， y)为角 的终边上的一点，且 sin 1313 ，则 y 的值为 ( ) A 12 B.12 C 12 D 2 答案 B 解析 由题意可得： |OP| y2 3，所以 sin yy2 3 1313 ，所以 y 12，
9、又因为sin 1313 ，所以 y0，所以 y 12.故选 B. 2 (2018 东莞月考 )角 的终边上有一点 P( m， m)，其中 m0 ，则 sin cos的值为 ( ) A. 2 B 2 C 0 D. 2或 2 答案 C 解析 角 的终边上有一点 P( m， m)，其中 m0 ， r |OP| 2|m|， 当 m0 时， cos m2|m| 22 ， sin m2|m| 22 ， sin cos 0； 当 m0 时， cos m2|m| 22 ， sin m2|m| 22 ， sin cos 0. 综上， sin cos 的值为 0.故选 C. 3 (2017 连云港质检 )已知角 的终边上一点的坐标为 ? ?sin23 ， cos23 ，则角 的最小正值为 ( ) A.56 B.23 C.54 D.116 答案 D 解析 ? ?sin23 ， cos23 ? ?32 ， 12 ， 角 为第四象限角，且 sin 12， cos 32 . 角 的最小正值为 116 .故选 D. 4 (2017 河南八市联考 )已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴非负半 轴重合，点 P(
