1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3.7 解三角形应用举例 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1.如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40 ，灯塔 B 在观察站南偏东 60 ，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( ) A北偏东 10 B 北偏西 10 C南偏东 80 D 南偏西 80 答案 D 解析 由条件及题图可知， A B 40 ，又 BCD 60 ，所以 CBD 30 ，所以 DBA 10 ，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80. 故选 D. 2 (2017 武汉模拟 )海面上有 A， B， C 三个灯塔， AB 10 n mile，从 A 望
2、 C 和 B 成 60视角，从 B 望 C 和 A 成 75 视角，则 BC ( ) A 10 3 n mile B.10 63 n mile C 5 2 n mile D 5 6 n mile 答案 D 解析 由题意可知， CAB 60 ， CBA 75 ，所以 C 45 ，由正弦定理得 10sin45 BCsin60 ，所以 BC 5 6.故选 D. 3 (2018 宜宾模拟 )一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东
3、 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 ( ) A 10 2 海里 B 10 3 海里 C 20 3 海里 D 20 2 海里 答案 A 解析 如图所示，易知，在 ABC 中， AB 20 海里， CAB 30 ， ACB 45 ，根据正弦定理，得 =【 ;精品教育资源文库 】 = BCsin30 ABsin45 ， 解得 BC 10 2(海里 )故选 A. 4 (2017 黄梅期中 )如图，一栋建筑物 AB 的高为 (30 10 3) m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD，在它们之间的地面上点 M(B， M， D 三点共线 )处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15 和 60 ，
4、在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30 ，则通信塔 CD 的高为 ( ) A 30 m B 60 m C 30 3 m D 40 3 m 答案 B 解析 设 AE CD，垂足为 E，则 在 AMC 中， AM ABsin15 20 6， AMC 105 ， ACM 30 ， ACsin105 20 6sin30 ， AC 60 20 3， CE 30 10 3， CD 30 10 3 30 10 3 60，故选 B. 5如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d 0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶 往河对岸的码头 B.已知 AB 1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶
5、到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 8 km/h B 6 2 km/h C 2 34 km/h D 10 km/h 答案 B 解析 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知， sin 0.61 35，从而 cos 45， 客船从码头 A 到 B 所用的最短时间为 6 min， 客船实际航行速度为 1 110 10 km/h. 在 ABE 中，由余弦定理设： AE2 AB2 EB2 2AB EBcos ， 即 v2 102 22 2102 45 72， 解得 v 6 2(km/h)故选
6、 B. 6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿点 A 向北偏东 30 前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是 ( ) A 50 m B 100 m C 120 m D 150 m 答案 A 解析 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中， A 60 ， AC h， AB 100，BC 3h，根据余弦定理得， ( 3h)2 h2 1002 2 h100cos60 ，即 h2 50h 5000 0，即 (h 50)(h 100) 0，即 h 5
7、0，故水柱的高度是 50 m故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 7 (2017 临沂质检 )在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 30 、60 ，则塔高为 ( ) A.4003 m B.400 33 m C.200 33 m D.2003 m 答案 A 解析 如图，由已知可得 BAC 30 ， CAD 30 ， BCA 60 ， ACD 30 ， ADC 120 ，又 AB 200， AC 4003 3. 在 ACD 中，由正弦定理，得 ACsin120 DCsin30 ，即 DC ACsin30sin120 4003 (m)故选A. 8.(2017 广州调研
8、)如图所示长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上，另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为 ，则坡度值 tan 等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. 2315 B.516 C. 23116 D.115 答案 A 解析 由题意，可得在 ABC 中， AB 3.5 m， AC 1.4 m， BC 2.8 m，且 ACB . 由余弦定理， 可得 AB2 AC2 BC2 2AC BCcos ACB， 即 3.52 1.42 2.82 21.42.8cos( )， 解得 cos 516，所以 sin
9、23116 ， 所以 tan sincos 2315 .故选 A. 9 (2018 长春模拟 )某观察站 B 在 A 城的南偏西 20 的方向，由 A 出发的一条公路的走向是南偏东 25 .现在 B 处测得此公路上距 B 处 30 km 的 C 处有一人正沿此公路骑摩托车以 40 km/h 的速度向 A 城驶去，行驶了 15 min 后到达 D 处，此时测得 B 与 D 之间的距离为8 10 km，则此人到达 A 城还需要 ( ) A 40 min B 42 min C 48 min D 60 min 答案 C 解析 由题意可知， CD 40 1560 10， BAD 45 ， cos BDC
10、 102 10 2 3022108 10 1010 ， cos ADB cos( BDC) 1010 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = sin ABD sin ( ADB BAD) 2 55 . 在 ABD 中，由正弦定理得 ADsin ABD BDsin BAD， AD2 55 8 1022， AD 32， 所需时间 t 3240 0.8 h， 此人还需要 0.8 h 即 48 min 到达 A 城故选 C. 10 (2014 浙江高考 )如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为
11、了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A观察点 P 的仰角 的大小 (仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角 )若AB 15 m， AC 25 m， BCM 30 ，则 tan 的最大值是 ( ) A. 305 B. 3010 C.4 39 D.5 39 答案 D 解析 由题意，在 Rt ABC 中， sin ACB ABAC 1525 35， 则 cos ACB 45.作 PH BC，垂足为 H，连接 AH，如 下 图所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 PH x，则 CH 3x， 在 ACH 中，由余弦定理，得 AH AC2 CH2 2AC CHcos ACB 625 3x2 40
12、3x， tan PAH PHAH 1625x2 40 3x 3?1x0 ， 故当 1x 4 3125时， tan 取得最大值，最大值为 5 39 . 故选 D. 二、填空题 11某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S在电动车的北偏东 30 方向上， 15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上，则点 B 与电视塔的距离是 _km. 答案 3 2 解析 如题图，由题意知 AB 24 1560 6，在 ABS 中， BAS 30 ， AB 6， ABS180 75 105 ， ASB 45 ，由正弦定理知 BSsin3
13、0 ABsin45 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = BS ABsin30sin45 3 2. 12 (2017 潍坊模拟 )校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡 度为 15 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60 和30 ，第一排和最后一排的距离为 10 6 m(如图所示 )，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为 50 s，升旗手应以 _m/s 的速度匀速升旗 答案 0.6 解析 依题意可知 AEC 45 ， ACE 180 60 15 105 ， EAC 180 45 105 30. 由正弦定理可知 CEsin EAC ACsin
14、 CEA， AC CEsin EACsin CEA 20 3 m. 在 Rt ABC 中， AB ACsin ACB 20 3 32 30 m 国歌时长为 50 s， 升旗速度为 3050 0.6 m/s. 13 (2018 浙江适应性考试 )如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A， B， C 三点进行测量，已知 AB 50 m， BC 120 m，于 A 处测得水深 AD 80 m，于 B处测得水深 BE 200 m， 于 C 处测得水深 CF 110 m， DEF 的余弦值为 _ 答案 1665 解析 作 DM AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M. DF MF2 DM2 302 1702 10 298， =【 ;精品教育资源文库 】 = DE DN2 EN2 502 1202 130， EF BE FC 2 BC2 902 1202 150. 在 DEF 中，由余弦定理，得 cos DEF DE2 EF2 DF22DE EF 1302 1502 1022982130150 1665. 14 (2017 尖山区期中 )设甲、乙两楼相距 10 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 ，从甲楼顶望乙楼顶的仰角为 30 ，则甲、乙两楼的高分别是 _ 答案 10 3 m， 403 3 m 解析 设甲，乙两楼为 AB， CD，由题意可知 BC 10， A
