1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7 4 直线、平面平行的判定与性质 知识梳理 1直线与平面平行的判定定理和性质定理 2平面与平面平行的判定定理和性质定理 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3必记结论 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等 (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例 (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行 诊断自测 1概念思辨 (1)若一条直线和平面内一 条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 ( ) (2)若直线 a
2、平面 ， P ，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条 ( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A2P61T1(2)如果直线 a 平行于平面 ，直线 b a，则 b 与 的位置关系是 ( ) A b 与 相交 B b 或 b? C b? D b 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与已知平面相交，所以由直线b a，可知若 b 与 相交，则 a 与 也
3、相交，而由题目已知，直线 a 平行于平面 ，所以 b 与 不可能相交，所以 b 或 b? .故选 B. (2)(必修 A2P58T3)已知 m， n 表示两条不同的直线， ， ， 表示三个不重合的平面，下列命题中正确的个数是 ( ) 若 m， n，且 m n，则 ； 若 m， n 相交且都在 ， 外， m ， m ， n ， n ，则 ； 若 m ， m ，则 ； 若 m ， n ，且 m n，则 . A 1 B 2 C 3 D 4 答案 A 解析 仅满足 m? ， n? ， m n，不能得出 ，此命题不正确； 设 m， n确定平面为 ，则有 ， ，从而 ，此命题正确； 均不满足两个平面平行的
4、条件，故 均不正确故选 A. 3小题热身 (1)如图，已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形， PA 平面 ABC， PA 2AB，则下列结论正确的是 ( ) A PB AD B平面 PAB 平面 PBC C直线 BC 平面 PAE D直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45 答案 D 解析 选项 A， B， C 显然错误 PA 平面 ABC， PDA 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角 ABCDEF 是正六边形， AD 2AB. tan PDA PAAD 2AB2AB 1， 直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45. 故选 D. (2)已知 a， b， c 为三条不重合的
5、直线， ， ， 为三个不重合的平面，现给出六个命题： a c b c ?a b； a b ?a b； c c ? ； ? ； c a c ?a ； a ?a . =【 ;精品教育资源文库 】 = 其中正确的命题是 _ (填序号 ) 答案 解析 由三线平行公理， 知 正确；两条直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面，故 错误；两个平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，故 错误；面面平行具有传递性，故 正确；一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内，故 错误；一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可能平行也可能直线在平面内，故 错误 题型 1
6、平行关系命题的真假判定 典例 (2018 豫西五校联考 )已知 m， n， l1， l2 表示不同直线， ， 表示不同平面，若 m? ， n? ， l1? ， l2? ， l1 l2 M，则 的一个充分条件是 ( ) A m 且 l1 B m 且 n C m 且 n l2 D m l1且 n l2 排除法 答案 D 解析 对于选项 A，当 m 且 l1 时， ， 可能平行也可能相交，故 A 不是 的充分条件；对于选项 B，当 m 且 n 时，若 m n，则 ， 可能平行也可能相交，故 B 不是 的充分条件；对于选项 C，当 m 且 n l2时， ， 可能平行也可能相交，故 C 不是 的充分条件
7、；对于选项 D，当 m l1， n l2时 ，由线面平行的判定定理可得 l1 ， l2 ，又 l1 l2 M，由面面平行的判定定理可以得到 ，但 时， m l1且 n l2不一定成立，故 D 是 的一个充分条件故选 D. 方法技巧 解决平行关系命题真假判断的一般思路 1判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项 2 (1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否 有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是
8、否正确 3结合实物进行空间想象，比较判断 冲关针对训练 (2017 山西长治二模 )已知 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( ) A若 ， ，则 B若 m n， m? ， n? ，则 C若 m n， m ， n ，则 D若 m n， m ， n ，则 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 对于 A，墙角的三个墙面 ， ， 满足条伴，但 与 相交，故 A 错误；m? ， n? ，且 m， n 平行于 ， 的交线时符合 B 中条 件，但 与 相交，故 B 错误；由 m n， m 可推出 n ，结合 n 可推出 ，故 C 正确；由 D 中的条
9、件得 与 可能平行也可能相交，故 D 错误所以选 C. 题型 2 直线与平面平行的判定与性质 角度 1 直线与平面平行的判定与性质 典例 (2017 保定期中 )如图， P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 是 PD 的中点 (1)求证： PB 平面 EAC； (2)若 M 是 CD 上异于 C、 D 的点，连接 PM 交 CE 于 G，连接 BM 交 AC 于 H，求证： GH PB. 利用中 位线证线线平行从而证线面平行，利用线面平行证线线平行 证明 (1)连接 BD，交 AC 于 O，连接 EO，则 O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点， PB EO. PB?平面
10、EAC， EO?平面 EAC， PB 平面 EAC. (2)由 (1)知 PB 平面 EAC， 又平面 PBM 平面 EAC GH， 根据线面平行的性质定理得 GH PB. =【 ;精品教育资源文库 】 = 角度 2 直线与平面平行的探索性问题 典例 (2018 包河月考 )在底面是菱形的四棱锥 P ABCD 中， ABC 60 ， PA AC a， PB PD 2a，点 E 在 PD 上，且 PE ED 2 1，平面 PAB 平面 PCD l. (1)证明： l CD； (2)在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF 平面 AEC？证明你的结论 通过证明面面平行来证明线面平行 证明 (1)
11、菱形 ABCD， AB CD，又 AB?平面 PCD， CD?平面 PCD， AB 平面 PCD，又 AB?平面 PAB，平面 PAB 平面 PCD l， AB l， AB CD， l CD. (2)当 F 是棱 PC 的中点时， BF 平面 AEC. 证明如下，如图取 PE 的 中点 M，连接 FM，由于 M 为 PE 中点， F 为 PC 中点，所以 FMCE. 由 M 为 PE 中点，得 EM 12PE ED，知 E 是 MD 的中点， 连接 BM， BD，设 BD AC O，因为四边形 ABCD 是菱形，则 O 为 BD 的中点， 由于 E 是 MD 的中点， O 是 BD 的中点，
12、所以 BM OE. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 FM CE BM OE 知，平面 BFM 平面 AEC， 又 BF?平面 BFM， 所以 BF 平面 AEC. 方法技巧 线面平行问题的证明策略 1证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特 征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行注意说明已知的直线不在平面内 2判断或证明线面平行的方法： 线面平行的定义 (反证法 )； 线面平行的判定定理； 面面平行的性质定理 3线面平行的探究性问题 解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的
13、充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾 )，则不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明 冲关针对训练 (2017 济南一模 )如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是菱形， AB 2， DAB 60 ，EF AC， EF 3.求证： FC 平面 BDE. 证明 设 AC BD O，连接 EO. 底面 ABCD 是菱形， DAB 60 ， OC 3. EF AC， EF OC 3， EFCO 为平行四边形， FC EO， =【 ;精品教育资源文库 】 = FC?平面 BDE， EO?平面 BDE， FC 平面 BDE. 题型 3 平面与平面平行的判定与性质 典例 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点，求证： (1)B， C， H， G 四点共面； (2)平面 EFA1 平面 BCHG. 证明 (1) G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点， GH 是 A1B1C1的中位线，则 GH B1C1. 又 B1C1 BC， GH BC， B， C， H， G 四点共面 (2) E， F
