1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 5 椭圆 知识梳理 1椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1， F2的距离的 和 等于 常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹 (或集合 )叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 焦距 (2)集合语言： P M|MF1| |MF2| 2a，且 2a|F1F2|， |F1F2| 2c，其中 ac0，且 a，c 为常数 注：当 2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a |F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2ab0) y2a2x2b2 1(ab0) 图形 续表 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3直线与椭圆位置关系的判断 直线与椭圆方程联
2、立方程组，消掉 y，得到 Ax2 Bx C 0 的形式 (这里的系数 A 一定不为 0)，设其判别式为 ： (1) 0?直线与椭圆 相交 ； (2) 0?直线与椭圆 相切 ； (3) b0)上任意一点 P(x， y)，则当 x 0 时， |OP|有最小值 b， P 点在短轴端点处；当 x a 时， |OP|有最大值 a， P 点在长轴端点处 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)已知过焦点 F1的弦 AB，则 ABF2的周长为 4a. 诊断自测 1概念思辨 (1)平面内与两个定点 F1、 F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( ) (2)方程 mx2 ny2 1(m0， n0 且 m n
3、)表示的曲线是椭圆 ( ) (3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2构成 PF1F2的周长为 2a 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距 ) ( ) (4)x2a2y2b2 1(ab0)与y2a2x2b2 1(ab0)的焦距相同 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A1 1P35例 3)已知椭圆的方程是 x2a2y225 1(a5)，它的两个焦点分别为 F1， F2，且 F1F2 8，弦 AB 过点 F1，则 ABF2的周长为 ( ) A 10 B 20 C 2 41 D 4 41 答案 D 解析 因为 a5，所以椭圆的焦点在 x 轴上
4、，所以 a2 25 42，解得 a 41.由椭圆的定义知 ABF2的周长为 4a 4 41.故选 D. (2)(选修 A1 1P42A 组 T6)已知点 P 是椭圆 x25y24 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1， F2为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为 _ 答案 ? ?152 ， 1 或 ? ?152 ， 1 解析 设 P(x， y)，由题意知 c2 a2 b2 5 4 1， 所以 c 1，则 F1( 1,0)， F2(1,0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y 1 ，把 y 1 代入 x25y24 1，得 x 152 ，又 x0，所以 x1
5、52 ， P 点坐标为 ? ?152 ， 1 或 ? ?152 ， 1 . 3小题热身 (1)(2014 大纲卷 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点为 F1， F2，离心率为33 ，过 F2的直线 l 交 C 于 A， B 两点若 AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 ( ) A.x23y22 1 B.x23 y2 1 C.x212y28 1 D.x212y24 1 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意及椭圆的定义知 4a 4 3，则 a 3，又 ca c3 33 ， c 1， b2 2， C 的方程为 x23y22 1，故选 A. (2)
6、椭圆 ： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，焦距为 2c.若直线 y 3(x c)与椭圆 的一个交点 M 满足 MF1F2 2 MF2F1，则该椭圆的离心率等于 _ 答 案 3 1 解析 由已知得直线 y 3(x c)过 M， F1两点，所以直线 MF1的斜率为 3，所以 MF1F2 60 ，则 MF2F1 30 ， F1MF2 90 ，则 MF1 c， MF2 3c，由点 M 在椭圆 上知：c 3c 2a，故 e ca 3 1. 题型 1 椭圆的定义及应用 典例 1 已知椭圆x225y216 1 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1的距离为 3，则 P 到另一个焦点
7、 F2的距离为 ( ) A 2 B 3 C 5 D 7 应用椭圆的定义 答案 D 解析 根据椭圆的定义 |PF1| |PF2| 2a 10，得 |PF2| 7，故选 D. 条件探究 若将典例中的条件改为 “ F1， F2分别为左、右焦点， M 是 PF1的中点，且 |OM| 3” ，求点 P 到椭圆左焦点的距离？ 解 由 M 为 PF1中点， O 为 F1F2中点，易得 |PF2| 6，再利用椭圆定义易知 |PF1| 4. 典例 2 (2018 漳浦县校级月考 )椭圆x24 y2 1 上的一点 P 与两焦点 F1， F2所构成的三角形称为焦点三角形 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求
8、PF1 PF2 的最大值与最小值； (2)设 F1PF2 ，求证： S F1PF2 tan 2. (1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值； (2)利用余弦定理、面积公式证明 解 (1)设 P(x， y)， F1( 3， 0)， F2( 3， 0)， 则 PF1 PF2 ( 3 x， y)( 3 x， y) x2 y2 3 34x2 2， x2 0,4， 34x2 2 2,1 PF1 PF2 的最大值为 1，最小值为 2. (2)证明：由椭圆的定义可知 |PF1| |PF2| 2a， |F1F2| 2c，设 F1PF2 ， 在 F1PF2中，由余弦定理可得： |F1F2|2 |PF
9、1|2 |PF2|2 2|PF1| PF2|cos (|PF1| |PF2|)2 2|PF1| PF2|(1 cos )， 可得 4c2 4a2 2|PF1| PF2|(1 cos )?|PF1| PF2| 2b21 cos ， 即有 F1PF2的面积 S 12|PF1| PF2|sin F1PF2 b2 sin1 cos b2tan 2 tan 2. 方法技巧 椭圆定义的应用技巧 1椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等 2通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题见典例
10、2. 冲关针对训练 1已知 A? ? 12， 0 ， B 是圆 ? ?x 12 2 y2 4(F 为圆心 )上一动点，线段 AB 的垂直平分线=【 ;精品教育资源文库 】 = 交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为 _ 答案 x2 43y2 1 解析 如图，由题意知 |PA| |PB|， |PF| |BP| 2.所以 |PA| |PF| 2 且 |PA|PF|AF|，即动点 P 的轨迹是以 A， F 为焦点的椭圆， a 1， c 12， b2 34.所以动点 P 的轨迹方程为 x2 43y2 1. 2已知 ABC 的顶点 A( 4,0)和 C(4,0)顶点 B 在椭圆 x225y29 1
11、 上，则sinA sinCsinB _. 答案 54 解析 由题意知， A， C 为椭圆的两焦点，由正弦定理，得 sinA sinCsinB |BC| |AB|AC| 2a2c ac 54. 题型 2 椭圆的标准方程及应用 典 例 1 (2018 湖南岳阳模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为坐标原点，F1、 F2为它的两个焦点，离心率为 22 ，过 F1的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，且 ABF2的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为 _ 在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论 答案 x216y28 1 或x28y216 1 解析 由椭圆的定义及 ABF2的周长
12、知 4a 16，则 a 4，又 ca 22 ，所以 c 22 a 2 2，所以 b2 a2 c2 16 8 8.当焦点在 x 轴上时，椭圆 C 的方程为 x216y28 1；当焦点在 y 轴上时，椭圆 C 的方程为 y216x28 1.综上可知，椭圆 C 的方程为x216y28 1 或x28y216 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 2 (2017 江西模拟 )椭圆x2a2y2b2 1(ab0)， F1， F2为椭圆的左、右焦点，且焦距为 2 3， O 为坐标原点，点 P 为椭圆上一点， |OP| 24 a，且 |PF1|， |F1F2|， |PF2|成等比数列，求椭圆的方程 用待
13、定系数法，根据已知列出方程组 解 设 P(x， y)，则 |OP|2 x2 y2 a28， 由椭圆定义， |PF1| |PF2| 2a， |PF1|2 2|PF1| PF2| |PF2|2 4a2， 又 |PF1|， |F1F2|， |PF2|成等比数列， |PF1| PF2| |F1F2|2 4c2， |PF1|2 |PF2|2 8c2 4a2， (x c)2 y2 (x c)2 y2 8c2 4a2，整理得 x2 y2 5c2 2a2， 即 a28 5c2 2a2，整理得 c2a238， 又 2c 2 3， c 3， a2 8， b2 5. 所求椭圆的方程 为 x28y25 1. 方法技巧
14、 求椭圆标准方程的步骤 1判断椭圆焦点位置 2设出椭圆方程 3根据已知条件，建立方程 (组 )求待定系数，注意 a2 b2 c2的应用 4根据焦点写出椭圆方程见典例 1,2. 提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为 x2my2n 1(m0， n0， m n)，也可设为 Ax2By2 1(A0， B0，且 A B)可简记为 “ 先定型，再定量 ” 冲关针对训练 已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2.P 为椭圆上的一点， PF1与 y 轴相交于 M? ?0， 14 ，且 M 为 PF1的中点， S PF1F2 32 .求椭圆的方程 解 设 P(x0， y0) M
15、为 PF1的中点， O 为 F1F2的中点 x0 c， y0 12. PF2 y 轴， PF1F2是 PF2F1 90 的直角三角形，由题意得， =【 ;精品教育资源文库 】 = ? c2a214b2 1，122 c1232 ，a2 b2 c2，解得? a2 4，b2 1. 所求椭圆的方程为 x24 y2 1. 题型 3 椭圆的几何性质 典例 1 (2016 全国卷 )已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C：x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点， A， B 分别为 C 的左、右顶点 P 为 C 上一点，且 PF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.34 用方程思想 A， M， E 三点共线， B， N， M 三点共线 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意知过点 A 的直线 l 的斜率存在且不为 0，故可设直线 l 的方程
