1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11.3 合情推理与演绎推理 知识梳理 1推理 (1)定义：根据一个或几个 已知的判断 来确定一个新的判断的 思维过程 就是推理 (2)分类：推理一般分为 合情推理 与 演绎推理 2合情推理 (1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 归纳类比 ，然后提出 猜想 的推理叫做合情推理 (2)分类：数学中常用的合情推理有 归纳推理 和 类比推理 (3)归纳和类比推理的定义、特征 3演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之 ，演绎推理是由一般到 特殊 的推理 (2)“ 三段论 ” 是演
2、绎推理的一般模式，包括： =【 ;精品教育资源文库 】 = 大前提 已知的一般原理； 小前提 所研究的特殊情况； 结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 诊断自测 1概念思辨 (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确 ( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理 ( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 ( ) (4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定 正确 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A2 2P75例题 )观察下列各式： a b 1， a
3、2 b2 3， a3 b3 4， a4 b4 7， a5 b5 11， ? ，则 a10 b10为 ( ) A 28 B 76 C 123 D 199 答案 C 解析 记 an bn f(n)，则 f(3) f(1) f(2) 1 3 4； f(4) f(2) f(3) 3 4 7；f(5) f(3) f(4) 11.通过观察不难发现 f(n) f(n 1) f(n 2)(n N*， n3) ，则 f(6) f(4) f(5) 18； f(7) f(5) f(6) 29； f(8) f(6) f(7) 47； f(9) f(7) f(8) 76； f(10) f(8) f(9) 123.所以
4、a10 b10 123.故选 C. (2)(选修 A2 2P84A 组 T5)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，则 S4， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列 bn的前 n 项积为 Tn，则 T4， _，_， T16T12成等比数列 答案 T8T4T12T8解析 设等比数列 bn的公比为 q，首项为 b1， 则 T4 b41q6， T8 b81q1 2 ? 7 b81q28， T12 b121 q1 2 ? 11 b121 q66， T8T4 b41q22， T12T8 b41q38， 即 ? ?T8T42 T12T8 T4，故 T4，T8T
5、4，T12T8成等比数列 故答案为 T8T4， T12T8. 3小题热身 (1)(2018 厦门模拟 )已知圆： x2 y2 r2 上任意一点 (x0， y0)处的切线方程为 x0x y0y r2.类比以上结论，有双曲线 x2a2y2b2 1 上任意一点 (x0， y0)处的切线方程为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 x0xa2 y0yb2 1 解析 设圆上任一点为 (x0， y0)，把圆的方程中的 x2， y2替换为 x0x， y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线 x2a2y2b2 1 上任一点为 (x0， y0)，则切线方程为x0xa2 y0yb2 1(这个结论是
6、正确的，证明略 ) (2)(2015 陕西高考 )观察下列等式 1 12 12 1 12 13 14 13 14 1 12 13 14 15 16 14 15 16 ? 据此规律，第 n 个等式可为 _ 答案 1 12 13 14 ? 12n 1 12n 1n 1 1n 2 ? 12n 解析 观察已知等式可知，第 n 个等式左边共有 2n 项，其中奇数项为 12n 1，偶数项为 12n，等式右边共有 n 项，为等式左边后 n 项的绝对值之和，所以第 n 个等式为 1 12 1314 ? 12n 112n1n 11n 2 ? 12n. 题型 1 类比推理 典例 已知 P(x0， y0)是抛物线
7、y2 2px(p0)上的一点，过点 P 的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在 y2 2px 两边同时对 x 求导，得 2yy 2p，则 y py，所以过点 P的切线的斜率 k py0.类比上述方法求出双曲线 x2 y22 1 在 P( 2， 2)处的切线方程为_ 注 意题意要求，类比上述方法求切线 答案 2x y 2 0 解析 将双曲线方程化为 y2 2(x2 1)，类比上述方法两边同时对 x 求导得 2yy 4x，则 y 2xy ，即过点 P 的切线的斜率 k 2x0y0，由于 P( 2， 2)，故切线斜率 k 2 22 2，因此切线方程为 y 2 2(x 2)，整理得 2x y 2 0.
8、 =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法技巧 1类比推 理的四个角度和四个原则 (1)四个角度 类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比： 类比定义：如等差、等比数列的定义； 类比性质：如椭圆、双曲线的性质； 类比方法：如基本不等式与柯西不等式； 类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球 (2)四个原则 长度类比面积； 面积类比体积； 平面类比空间； 和类比积，差类比商见典例 2类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性 (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 (猜想 ) 3常见类 比推理题型的求解策略 在进行类比推理时，不仅要注意形式的
9、类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； (2)找对应元素的对应关系，如两条边 (直线 )垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 冲关针对训练 (2017 山东日照一模 )36 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 36 223 2，所以36 的所有正约数之和为 (1 3 32) (2 23 23 2) (22 223 223 2) (1 222)(1 3 32) 91，参照上述方法，可求得 200 的所有正约数之和为 _ 答案 465 解析 类比求 36 的所有正约数之和的方法， 200 的所有正约数之
10、和可按如下方法求得，因为 200 235 2，所以 200 的所有正约数之和为 (1 2 22 23)(1 5 52) 465. 题型 2 归纳推理 角度 1 与数字有关的归纳推理 典例 (2018 石家庄模拟 )如图所示的数阵中，用 A(m， n)表示第 m 行的第 n 个数，则依此规律 A(15,2)为 ( ) 13 =【 ;精品教育资源文库 】 = 16 16 110 13 110 115 1330 1330 115 121 12 1315 12 121 ? A.2942 B.710 C.1724 D.73102 答案 C 解析 观察题中所给的数阵，可以看出从第三行开始，每行第二个数等于
11、它肩上的两个数的和， 所以 A(15,2) 16 16 110 115 121 ? 1120 16 2 ( 112 120 130 142 ? 1240 ) 16 2 ? ?134 145 156 167 ? 11516 16 2 ? ?13 14 14 15 15 16 ? 115 116 16 2 ? ?13 116 1724.故选 C. 角度 2 与式子有关的归纳推理 典例 (2016 山东高考 )观察下列等式： ?sin3 2?sin23 2 4312 ； ?sin5 2?sin25 2?sin35 2?sin45 2 4323 ； ?sin7 2?sin27 2?sin37 2 ?
12、?sin67 2 4334 ； ?sin9 2?sin29 2?sin39 2 ? ?sin89 2 4345 ； ? 照此规律， ?sin 2n 1 2?sin 22n 1 2?sin 32n 1 2 ? ?sin2n2n 1 2 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 分析等式右边的结构规律 答案 4n?n 1?3 解析 观察前 4 个等式，由归纳推理可知 ?sin 2n 1 2?sin 22n 1 2 ? ?sin2n2n 1 2 43 n( n 1) 4n?n 1?3 . 角度 3 与图形有关的归纳推理 典例 如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第 1 个图形用了 3根火
13、柴，第 2 个图形用了 9 根火柴，第 3 个图形用了 18 个火柴， ? ，则第 2018 个图形用的火柴根数为 ( ) A 20162019 B 20172018 C 20172019 D 30272019 答案 D 解析 由题意，第 1 个图形需要火柴的根数为 31 ； 第 2 个图形需要火柴的根数为 3(1 2)； 第 3 个图形需要火柴的根数为 3(1 2 3)； ? 由此，可以推出，第 n 个图形需要火柴的根数为 3(1 2 3 ? n) 所以第 2018 个图形所需火柴的根数为 3(1 2 3 ? 2018) 3 2018 ?1 2018?2 30272019 ，故选 D. 方法
14、技巧 归纳推理问题的常见类型及解题策略 1与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解见角度 1 典例 2与式子有关的归纳推理 (1)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解 (2)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可见角度 2 典例 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性见角度 3 典例 冲关针对训练 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两两夹角为 120 ；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120 ， ? ，依此规律得到 n 级分形图， n 级分形图中共有 _条线段 答案 32 n 3 解析 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段
