1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 12.2 参数方程 知识梳理 1曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x， y 都是某个变数 t 的函数? x f?t?，y g?t? ，并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x， y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x， y 的变数 t 叫做参变数，简称参数 2常见曲线的参数方程和普通方程 提醒：直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时， t 才有几何意义且几何 意义为： |t|是直线上任一点 M(x， y)到 M0(x0， y0)的距离 诊断自测 1概念思辨
2、(1)直线? x 2 tcos30 ，y 1 tsin150 (t 为参数 )的倾斜角 为 30.( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)过 M0(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l的参数方程为? x x0 tcos ，y y0 tsin (t为参数 )参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0为起点，任一点 M(x， y)为终点的有向线段 M0M的数量 ( ) (3)方程? x 2cos ，y 1 2sin 表示以点 (0,1)为圆心，以 2 为半径的圆 ( ) (4)已知椭圆的参数方程? x 2cost，y 4sint (t 为参数 )，点 M 在椭圆上，对应参数 t3
3、，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A4 4P39T1)直线? x 2t 1，y t 1 (t 为参数 )被圆 x2 y2 9 截得的弦长等于( ) A.125 B.12 55 C.9 25 D.9 105 答案 B 解析 直线的普通方程为 x 2y 3 0. 圆的圆心为 (0,0)，半径 r 3. 圆心到直线的距离 d 35 3 55 . 弦长为 2 r2 d2 12 55 .故选 B. (2)(选修 A4 4P24例 2)已知点 (x， y)满足曲线方程 ? x 4 2cos ，y 6 2sin( 为参数 )
4、，则 yx的最小值是 ( ) A. 32 B.32 C. 3 D 1 答 案 D 解析 曲线方程 ? x 4 2cos ，y 6 2sin( 为参数 )化为普通方程得 (x 4)2 (y 6)2 2， 曲线是以 C(4,6)为圆心，以 2为半径的圆， yx是原点和圆上的点的连线的斜率， =【 ;精品教育资源文库 】 = 如图，当原点和圆上的点的连线是切线 OA 时， yx取最小值，设过原点的切线方程为 ykx， 则圆心 C(4,6)到切线 y kx 的距离： d |4k 6|k2 1 2，即 7k2 24k 17 0， 解得 k 1 或 k 177 ， yx的最小值是 1.故选 D. 3小题热
5、身 (1)(2014 安徽高考 )以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是? x t 1，y t 3 (t 为参数 )，圆 C 的极坐标方程是 4cos ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( ) A. 14 B 2 14 C. 2 D 2 2 答案 D 解析 由? x t 1，y t 3 消去 t，得 x y 4 0， 由 4cos ? 2 4 cos ， C： x2 y2 4x，即 (x 2)2 y2 4， C(2,0)， r2. 点 C 到直线 l 的距离 d |2 0 4|2 2， 所求弦长 2 r2
6、d2 2 2.故选 D. (2)(2015 湖北高考 )在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为 (sin 3cos ) 0，曲线 C 的参数方程为=【 ;精品教育资源文库 】 = ? x t 1t，y t 1t(t 为参数 )， l 与 C 相交于 A， B 两点，则 |AB| _. 答案 2 5 解析 直线 l 的直角坐标方程为 y 3x 0，曲线 C 的普通方程为 y2 x2 4. 由? y 3x，y2 x2 4， 得 x2 12，即 x 22 ， 则 |AB| 1 k2AB|xA xB| 1 32 2 2 5. 题型 1
7、参数方程与普通方程的互化 典例 (2014 全国卷 )已知曲线 C：x24y29 1，直线 l： ? x 2 t，y 2 2t (t 为参数 ) (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 (1)用公式法，代入消参法； (2)过 P 作 PH l，垂足为 H，当 |PH|最大时， |PA|取最大值 解 (1)曲线 C 的参数方程为? x 2cos ，y 3sin ( 为参数 ) 直线 l 的普通方程为 2x y 6 0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ， 3
8、sin )到 l 的距离为 =【 ;精品教育资源文库 】 = d 55 |4cos 3sin 6|，则 |PA| dsin30 2 55 |5sin( ) 6|， 其中 为锐角，且 tan 43. 当 sin( ) 1 时， |PA|取得最大值，最大值为 22 55 . 当 sin( ) 1 时， |PA|取得最小值，最小值为 2 55 . 方法技 巧 将参数方程化为普通方程的方法 1将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2 cos2 1 等
9、 2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形 冲关针对训练 已知直线 l 的方程为 y x 4，圆 C 的参数方程为? x 2cos ，y 2 2sin ( 为参数 )，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 (1)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标； (2)若 P 为圆 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离 d 的最大值 解 (1)由题知直线 l： y x 4，圆 C： x2 (y 2)2 4， 联立? y x 4，x2 ?y 2?2 4， 解得? x 2，y 2 或 ? x 0，y
10、4， 其对应的极坐标分别为 ? ?2 2， 34 ， ? ?4， 2 . (2)解法一：设 P(2cos ， 2 2sin )， 则 d |2cos 2sin 2|2 ? ?2cos? ? 4 2 ， 当 cos? ? 4 1 时， d 取得最大值 2 2. 解法二：圆心 C(0,2)到直线 l 的距离为 |2|2 2，圆的半径为 2，所以点 P 到直线 l 的距离 d 的最大值为 2 2. 题型 2 参数方程的应用 典例 (2017 全国卷 )在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 ? x 3cos ，y sin=【 ;精品教育资源文库 】 = ( 为参数 )，直线 l 的参数方程为?
11、 x a 4t，y 1 t (t 为参数 ) (1)若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. (1)方程组法； (2)代入点到直线的距离公式，采用分类讨论思想求解 解 (1)曲线 C 的普通方程为 x29 y2 1. 当 a 1 时，直线 l 的普通方程为 x 4y 3 0. 由? x 4y 3 0，x29 y2 1， 解得? x 3，y 0 或 ? x 2125，y 2425.从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0)， ? ? 2125， 2425 . (2)直线 l 的普通方 程为 x 4y a 4 0，故 C 上的点 (3co
12、s ， sin )到 l 的距离为 d |3cos 4sin a 4|17 . 当 a 4 时， d 的最大值为 a 917. 由题设得 a 917 17，所以 a 8； 当 a 4 时， d 的最大值为 a 117 . 由题设得 a 117 17， 所以 a 16. 综上， a 8 或 a 16. 方法技巧 直线的参数 方程在交点问题中的应用 1若 M1， M2是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1， t2，则 |M0M1|M0M2| |t1t2|，|M1M2| |t2 t1| ?t2 t1?2 4t1t2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2若线段 M1M2的中点为 M3，点 M
13、1， M2， M3对应的参数分别为 t1， t2， t3，则 t3 t1 t22 . 3若直线 l 上的线段 M1M2的中点为 M0(x0， y0)，则 t1 t2 0， t1t20)在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 4cos . (1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 0 2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a. 解 (1)消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2 (y 1)2 a2，故 C1是以 (0,1)为圆心， a 为半径的圆 将 x cos ， y sin
14、 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 2 2 sin=【 ;精品教育资源文库 】 = 1 a2 0. (2)曲线 C1， C2的公共点的极坐 标满足方程组 ? 2 2 sin 1 a2 0， 4cos . 若 0 ，由方程组得 16cos2 8sin cos 1 a2 0，由已知 tan 2，可得16cos2 8sin cos 0，从而 1 a2 0，解得 a 1(舍去 )或 a 1. a 1 时，极点也为 C1， C2的公共点，在 C3上， 所以 a 1. 2 (2017 河南洛阳一模 )在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为? x 2cos ，y 2 2sin (为参数
15、)，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆 C 的普通方程； (2)直线 l 的极坐标方程是 2 sin? ? 6 5 3，射线 OM： 6 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 解 (1)因为圆 C 的参数方程为? x 2cos ，y 2 2sin ( 为参数 )，所以圆心 C 的坐标为(0,2)，半径为 2，圆 C 的普通方程为 x2 (y 2)2 4. (2)将 x cos ， y sin 代入 x2 (y 2)2 4， 得圆 C 的极坐标方程为 4sin . 设 P( 1， 1)，则由? 1 4sin 1， 1 6 ， 解得 1 2， 16. 设 Q( 2， 2)， 则由? 2 2sin? ? 2 6 5 3， 2 6 ，解得 2
