1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 1 函数及其表示 知识梳理 1函数与映射 2函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y f(x)， x A 中，其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 y f(x)的 定义域 ；将所有 y 组成的集合叫做函数 y f(x)的 值域 (2)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 和 值域 (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义
2、 域的 并集 ，其值域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 4必记结论 函数与映射的相关结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等 (2)映射的个数 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到集合 B 的映射共有 nm个 (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点 诊断自测 1概念思辨 (1)函数 y f(x)的图象与直线 x a 最多有 2 个交点 ( ) (2)函数 f(x) x2 2x 与 g(t) t2 2t 是同一函数 ( ) (3)若 A R， B
3、x|x0， f： x y |x|，其对应是从 A 到 B 的映射 ( ) (4)f( x 1) x，则 f(x) (x 1)2(x 1) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A1P23T2)下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的图象是 ( ) 答案 C 解析 由函数定义知，定义域内的每一个 x 都有唯一函数值与之对应， A， B， D 选项中的图象都符合； C 项中对于大于零 的 x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义故选 C. (2)(必修 A1P18例 2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是 ( ) A f(x) |x|， g(x) x
4、2 B f(x) x2， g(x) ( x)2 C f(x) x2 1x 1， g(x) x 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = D f(x) x 1 x 1， g(x) x2 1 答案 A 解析 A 项，函数 g(x) x2 |x|，两个函 数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B 项，函数 f(x) x2 |x|， g(x) x(x0) ，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数； C 项，函数 f(x) x2 1x 1的定义域为 x|x1 ， g(x) x 1 的定义域为 R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数； D 项，由? x 10 ，x 10 ， 解得 x1 ，即函数 f
5、(x)的定义域为 x|x1 由 x2 10 ，解得 x1 或 x 1，即 g(x)的定义域为 x|x1 或 x 1，两个函数的定义域不相同，不是相等函数故选 A. 3小题热身 (1)(2018 广东深圳模拟 )函数 y x2 x 2ln x 的定义域为 ( ) A ( 2,1) B 2,1 C (0,1) D (0,1 答案 C 解析 由题意得? x2 x 20 ，x0，ln x0 ，解得 00， 则 ff(1)的值为 ( ) A 10 B 10 C 2 D 2 答案 C 解析 因为 f(1) 2，所以 f( 2) 2.故选 C. 题型 1 函数的概念 典例 1 集合 A x|0 x4 ， B
6、 y|0 y2 ，下列不表示从 A 到 B 的函数的是( ) A f： x y 12x B f： x y 13x C f： x y 23x D f： x y x 用定义法 答案 C 解析 依据函数概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，选=【 ;精品教育资源文库 】 = 项 C 不符合故选 C. 典例 2 (2018 秦都区月考 )判断下列各组中的两个函数是同一函数的是 ( ) y1 ?x 3?x 5?x 3 ， y2 x 5； f(x) x， g(x) x2； f(x) x， g(x) 3 x3； f1(x) ( 2x 5)2， f2(x) 2x 5. A B C
7、 D 用定义法 答案 C 解析 对于 ， y1 ?x 3?x 5?x 3 x 5(x 3)， 与 y2 x 5(x R)的定义域不同，不是同一函数； 对于 ， f(x) x，与 g(x) x2 |x|的对应关系不同，不是同一函数； 对于 ， f(x) x(x R)，与 g(x) 3 x3 x(x R)的定义域相同，对应关系也相同 ，是同一函数； 对于 ， f1(x) ( 2x 5)2 2x 5? ?x 52 ， 与 f2(x) 2x 5(x R)的定义域不同，不是同一函数 综上，以上是同一函数的是 .故选 C. 方法技巧 与函数概念有关问题的解题策略 1判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个
8、对应关系是否满足函数定义中 “ 定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值 ” 这个核心点见典例 1. 2两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是 否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数见典例 2. 冲关针对训练 1下列图象可以表示以 M x|0 x1 为定义域，以 N x|0 x1 为值域的函数的是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 A 选项中的值域不对， B 选项中的定义域错误， D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项 C 正确故选 C. 2下列函数中一定是同一函数的是 _ 答案 解析 y x 与 y aloga
9、x 定义域不同； y 2x 1 2x 2x(2 1) 2x相同； f(u)与 f(v)的定义 域及对应法则均相同； 对应法则不相同 . 题型 2 函数的定义域 典例 1 (2015 湖北高考 )函数 f(x) 4 |x| lg x2 5x 6x 3 的定义域为 ( ) A (2,3) B (2,4 C (2,3) (3,4 D ( 1,3) (3,6 列不等式组求解 答案 C 解析 依题意，知? 4 |x|0 ，x2 5x 6x 3 0，即? |x|4 ，?x 3?x 2?x 3 0，解之得 21，得 x 2t 1，所以 f(t) lg 2t 1，即 f(x) lg 2x 1(x1) 典例 3
10、 已知 f(x)是二次函数，且 f(0) 0， f(x 1) f(x) x 1，求 f(x) 待定系数法 解 设 f(x) ax2 bx c，由 f(0) 0，得 c 0，由 f(x 1) f(x) x 1，得 a(x1)2 b(x 1) ax2 bx x 1，得 a b 12. 所以 f(x) 12x2 12x(x R) 典例 4 已知函数 f(x)的定义域为 (0， ) ，且 f(x) 2f?1x x 1，求 f(x) 方程组法 解 由 f(x) 2f? ?1x x 1，得 f? ?1x 2f(x) 1x 1，消掉 f? ?1x ， 可得 f(x) 23 x 13. 方法技巧 函数解析式的
11、常见求法 1配凑法已知 fh(x) g(x)，求 f(x)的问题，往往把右边的 g(x)整理成或配凑成只含 h(x)的式子，然后用 x 将 h(x)代换见典例 1. 2待定系数法已知函数的类型 (如一次函数、二次函数 )可用待定系数法，见典例 3. 3换元法已知 fh(x) g(x)，求 f(x)时，往往可设 h(x) t，从中解出 x，代入g(x)进行换元应用换元法时要注意新元的取值范围见典例 2. 4方程组法 已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还有其他未知量，如 f? ?1x ， f( x)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)见典
12、例 4. 冲关针对训练 1 (2018 衢州期末 )已知 f(x)是 (0， ) 上的增函数，若 ff(x) ln x 1，则 f(e) ( ) A 2 B 1 C 0 D e 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 根据题意， f(x)是 (0， ) 上的增函数，且 ff(x) ln x 1，则 f(x) ln x为定值 设 f(x) ln x t， t 为常数，则 f(x) ln x t 且 f(t) 1，即有 ln t t 1，解得t 1，则 f(x) ln x 1， 则 f(e) ln e 1 2.故选 A. 2已知二次函数 f(2x 1) 4x2 6x 5，求 f(x) 解
13、 解法一： (换元法 )令 2x 1 t(t R)，则 x t 12 ，所以 f(t) 4? ?t 12 2 6 t 12 5 t2 5t 9(t R)， 所以 f(x) x2 5x 9(x R) 解法二： (配凑法 )因为 f(2x 1) 4x2 6x 5 (2x 1)2 10x 4 (2x 1)2 5(2x1) 9， 所以 f(x) x2 5x 9(x R) 解法三： (待定系数法 )因为 f(x)是二次函数，所以设 f(x) ax2 bx c(a0) ，则 f(2x 1) a(2x 1)2 b(2x 1) c 4ax2 (4a 2b)x a b c. 因为 f(2x 1) 4x2 6x
14、5， 所以? 4a 4，4a 2b 6，a b c 5，解得? a 1，b 5，c 9，所以 f(x) x2 5x 9(x R) 3已知 f(x)满足 2f(x) f? ?1x 3x 1，求 f(x) 解 (消元法 )已知 2f(x) f? ?1x 3x 1， 以 1x代 替 式中的 x(x0) ， 得 2f? ?1x f(x) 3x 1， 2 得 3f(x) 6x 3x 1， 故 f(x) 2x 1x 13(x0). =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型 4 求函数的值域 角度 1 分式型 典例 求 f(x)5x 14x 2， x 3， 1的值域 分离常数法 解 由 y 5x 14x 2可
15、得 y 54 74?2x 1?. 3 x 1， 720 74?2x 1? 74， 85 y3 ，即 y ? ?85， 3 . 角度 2 根式型 典例 求函数的值域 (1)y 2x 1 2x； (2)y x 4 9 x2. (1)用换元法，配方法； (2)用三角换元法 解 (1)令 t 1 2x，则 x 1 t22 . y t2 t 1 ? ?t 12 2 54(t0) 当 t 12，即 x 38时， y 取最大值， ymax 54，且 y 无最小值， 函数的值域为 ? ? ， 54 . (2)令 x 3cos ， 0， ，则 y 3cos 4 3sin 3 2sin? ? 4 4. 0 ， 4 4
