1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.8 函数与方程 知识梳理 1函数的零点 (1)定义：对于函数 y f(x)(x D)，把使 f(x) 0 的实数 x 叫做函数 y f(x)(x D)的零点 (2)三个等价关系 (3)存在性定理 2一元二次方程根的分布情况 设 x1， x2是一元二次方程 ax2 bx c 0(a， b， c R，且 a0)的两实数根，则 x1， x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表： (m， n， p 为常数，且 m0， 函数 f(x) ex 4x 3 在 ( ， ) 上为增函数，且 f(0) e0 3 20， f? ?12 f? ?14 0， f(3) 3
2、0. 可得 f(1) f(2)0， f(b) (b c)(b a)0， 由函数零点存在判定定理可知：在区间 (a， b)， (b， c)内分别存在一个零点； 又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点， 因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间 (a， b)， (b， c)内故选 A. (2)已知函数 f(x) 6x log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A (0,1) B (1,2) C (2,4) D (4， ) 答案 C 解析 易知 f(x)是单调递减函数 f(1) 6 log21 60， f(2) 3 log22 20， f(3
3、) 2 log230， f(4) 64 log24 32 20. 故 f(x)的零点 x0 (2,3)故选 C. 解法二：由 f(x) 0 得 ln x ? ?12 x 2. 作 h(x) ln x， g(x) ? ?12 x 2的图象，如图 由图象可知 x0 (2,3)故选 C. 方法技巧 判断函数零点所在区间的三种方法 1解方程法：当对应方程 f(x) 0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上 2定义法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是否连续，再看是否有 f(a) f(b)0. 所以根据函数零点存在性定理可知在区间 (1,2)内
4、函数存在零点故选 B. 2 (2018 福州质检 )已知 f(x)? 2x， x2 ，?x 1?3， x0， 1x， x0， 则函数 h(x) f(x) g(x)在区间 5,5内的零点的个数为 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 答案 C 解析 因为函数 y f(x)(x R)满足 f(x 1) f(x 1)，所以函数 y f(x)(x R)是周期为 2 的周期函数又 x 1,1时， f(x) 1 x2，所以作出函数 y f(x)(x R)与 y g(x)的图象 由图知，函数 h(x) f(x) g(x)在区间 5,5内的零点的个数为 8.故选 C. 题型 3 函数零点的应用 角度 1 已知函数零点所在区间求参数的取值范围 典例已知函数 f(x)? 1x 1 3， x ? 1， 0，x， x ?0， 1，且 g(x) f(x) mx m 在 (1， 1内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ( ) A.? ? 94， 2 ? ?0， 12 B.? ? 114 ， 2 ? ?0， 12 C.? ? 94， 2 ? ?0， 23 D.? ? 114 ， 2 ? ?0， 23 用数形结合法 (或用分离系数法 ) 答案 A 解析 由题意画出 f(x)的图象，如图所示令 g(x) f(x) mx m 0，得 f(x) m(x 1)，
