1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 11 导数在研究函数中的应用 (一 ) 知识梳理 1函数的单调性与导数 2函数的极值与导数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点，即 f( x0) 0 是可导函数 f(x)在 x x0处取得极值的必要不充分条件例如，函数 y x3在 x 0 处有 y 0，但 x 0 不是极值点此外，函数的不可导点也可能是函数的极值点 3函数的最值 (1)在闭区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值 (2)
2、若函数 f(x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在 a， b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值 4极值与最值 (1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点； (2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 诊断自测 1概念思辨 (1)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越 “ 平缓 ” ( ) (2)若函数 f(x)在 (a， b)内恒有 f( x)0，那么 f(x)在 (a， b)上单调递增；反之，若函数 f(
3、x)在 (a， b)内单调递增，那么一定有 f( x)0.( ) (3)对可导函数 f(x)， f( x0) 0 是 x0点为极值点的充要条件 ( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 B2 2P35T1)已知函数 f(x) x2 ln |x|，则函数 y f(x)的大致图象是 ( ) 答案 A 解析 f( x) ( x)2 ln | x| x2 ln |x| f(x)， f(x)是偶函数，图象关于 y轴对称，排除 D； 当 x0 时， f(x) x2 ln x， f( x) 2x 1x 2x
4、2 1x ， 当 0 22 时， f( x)0， f(x)在 ? ?0， 22 上单调递减，在 ? ?22 ， 上单调递增，排除 C； 当 x 22 时， f(x)取得最小值 f? ?22 12 ln 22 0，排除 B.故选 A. (2)(选修 A2 2P32B 组 T1)已知 a0，函数 f(x) x3 ax 在 1， ) 上是单调增函数，则 a 的最大值是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析 由题意得 f( x) 3x2 a， 函数 f(x) x3 ax 在 1， ) 上是单调增函数， 在 1， ) 上， f( x)0 恒成立， 即 a3 x2在 1， ) 上恒成立，
5、 a3. 故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3小题热身 (1)(2013 全国卷 )已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，下列结论中错误的是 ( ) A ? x0 R， f(x0) 0 B函数 y f(x)的图象是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间 ( ， x0)上单调递减 D若 x0是 f(x)的极值点，则 f( x0) 0 答案 C 解析 若 x0是 f(x)的极小值点，则 y f(x)的图象大致如 下 图所示，则在 ( ， x0)上不单调，故 C 不正确故选 C. (2)(2018 武汉模拟 )若函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(
6、2) 2， f( x)1，则不等式 f(x) x0 的解集为 _ 答案 (2， ) 解析 令 g(x) f(x) x， g( x) f( x) 1. 由题意知 g( x)0， g(x)为增函数 g(2) f(2) 2 0， g(x)0 的解集为 (2， ) 题型 1 利用导数研究函 数的单调性 角度 1 判断或证明函数的单调性 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 角度 2 已知函数单调性求参数的取值范围 (多维探究 ) 典例已知函数 f(x) x3 ax 1. (1)讨论 f(x)的单调性； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围 用分
7、类讨论思想方法、分离系数法 解 (1)f( x) 3x2 a. 当 a0 时， f( x)0 ， 所以 f(x)在 ( ， ) 上为增函数 当 a0 时，令 3x2 a 0 得 x 3a3 ； 当 x 3a3 或 x0； 当 3a3 0 时， f(x)在 ? ? ， 3a3 ，?3a3 ， 上为增函数，在 ? 3a3 ，3a3 上为减函数 (2)因为 f(x)在 ( ， ) 上是增函数， 所以 f( x) 3x2 a0 在 ( ， ) 上恒成立， 即 a3 x2对 x R 恒成立 因为 3x20 ，所以只需 a0. 又因为 a 0 时， f( x) 3x20 ， f(x) x3 1 在 R 上
8、是增函数，所以 a0 ，即实数 a的取值范围为 ( ， 0 条件探究 1 函数 f(x)不变，若 f(x)在区间 (1， ) 上为增函数，求 a 的取值范围 解 因为 f( x) 3x2 a，且 f(x)在区间 (1， ) 上为增函数，所以 f( x)0 在 (1， ) 上恒成立，即 3x2 a0 在 (1， ) 上恒成 立，所以 a3 x2在 (1， ) 上恒成立，所以 a3 ，即 a 的取值范围为 ( ， 3 条件探究 2 函数 f(x)不变，若 f(x)在区间 ( 1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围 解 由 f( x) 3x2 a0 在 ( 1,1)上恒成立，得 a3 x2在 (
9、1,1)上恒成立因为10 时为增函数， f( x)0 或 f( x)0或 f( x)0 或 f( x)0，即 f( x)0，故 f(x)为增函数； 当 xx2时， g(x)0 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 (0， ) 上存在极值点，且极值大于 ln 4 2，求 a 的取值范围 本题用构造函数法 解 (1)f(x)的定义域为 ( ， 0) (0， ) ， 而 f( x) ex ax2，当 a0 时， f( x)0， 故 f(x)的单调递增区间为 ( ， 0)， (0， ) ，无单调递减区间 (2)当 a0 时，由 (1)知 f (x)0， f(x)无极值点； 当 a0 对 x (0， ) 恒成立， =【 ;精品教育资源文库 】 = =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法技巧 1利用导数研究函数极值问题的一般流程 2已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 冲关针对训练 (2017 郑州质检 )已知函数 f(x) xln x x， g(x) a2x2 ax(a R) (1)若 f(x)和 g(x)在 (0， ) 有相同的单调区间，求 a 的取值范围；
