1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 4 1 平面向量的概念及线性运算 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2018 武汉调研 )如图所示的方格纸中有定点 O， P， Q， E， F， G， H，则 OP OQ ( ) A.OHB.OGC.EOD.FO答案 D 解析 在方格纸上作出 OP OQ，如图所示，则容易看出 OP OQ FO.故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2已知 A， B， C 三点不共线，且点 O 满足 OA OB OC 0，则下列结论正确的是 ( ) A.OA 13AB 23BCB.OA 23AB 13BCC.OA 13AB 23BCD.OA 23AB 13BC答案
2、 D 解析 OA OB OC 0， O 为 ABC 的重心， OA 23 12(AB AC) 13(AB AC) 13(AB AB BC) 13(2AB BC) 23AB 13BC.故选 D. 3 (2017 衡水中学三调 )在 ABC 中， AN 14NC， P 是直线 BN 上的一点，且满足 AP mAB 25AC，则实数 m 的值为 ( ) A 4 B 1 C 1 D 4 答案 B 解析 根据题意设 BP nBN(n R)，则 AP AB BP AB nBN AB n(AN AB) ABn?15AC AB (1 n)AB n5AC，又 AP mAB 25AC， ? 1 n m，n525，
3、解得? n 2，m 1. 故选 B. 4 (2018 石家庄一模 )A， B， C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D(点 O与点 D 不重合 )，若 OC OA OB( ， R)，则 的取值范围是 ( ) A (0,1) B (1， ) C (1， 2 D ( 1,0) 答案 B 解析 设 OC mOD，则 m1，因为 OC OA OB， 所以 mOD OA OB，即 OD mOA mOB，又知 A， B， D 三点共线，所以 m m 1，即 m，所以 1.故选 B. 5 (2018 广东模拟 )已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且
4、OP=【 ;精品教育资源文库 】 = 3OA OB2 ，则 ( ) A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C点 P 在线段 AB 的延长线上 D点 P 不在直线 AB 上 答案 B 解析 OP 3OA OB2 32OA 12OB OA 12(OA OB) OA 12BA，即 OP OA AP 12BA，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上故选 B. 6 (2017 广东七校联考 )已知向量 i， j 不共线，且 AB i mj， AD ni j， m1 ，若A， B， D 三点共线，则实数 m， n 应满足的条件是 ( ) A m n 1 B m n 1 C
5、mn 1 D mn 1 答案 C 解析 因为 A， B， D 三点共线，所以 AB AD，存在非零实数 ，使得 AB AD，即 imj (ni j)，所以 (1 n )i (m )j 0，又因为 i 与 j 不共线，所以? 1 n 0，m 0，则 mn 1.故选 C. 7下列命题中是真命题的是 ( ) 对任意两向量 a， b，均有： |a| |b|a| |b|； 对任意两向量 a， b， a b 与 b a 是相反向量； 在 ABC 中， AB BC AC 0； 在四边形 ABCD 中， (AB BC) (CD DA) 0； AB AC BC. A B C D 答案 D 解析 假命题 当 b
6、0 时， |a| |b| |a| |b|. 不成立 真命题 (a b) (b a) a ( b) b ( a) a ( a) b ( b) (a a)(b b) 0， a b 与 b a 是相反向量 成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 真命题 AB BC AC AC AC 0， 成立 假命题 AB BC AC， CD DA CA， (AB BC) (CD DA) AC CA AC AC0. 该命题不成立 假命题 AB AC AB CA CB BC， 该命题不成立故选 D. 8 (2018 泉州模拟 )已知 D， E， F 分别为 ABC 的边 BC， CA， AB 的中点，且 BC a，
7、CA b，给出下列命题： AD 12a b； BE a 12b； CF 12a 12b； AD BE CF 0.其中正确的是 ( ) A B C D 答案 D 解析 由 BC a， CA b，则 AD 12CB AC 12a b.BE BC 12CA a 12b， CF 12(CB CA) 12( a b) 12a 12b. 所以 AD BE CF b 12a a 12b 12b 12a 0，所以命题 正确故选 D. 9 (2018 兰州模拟 )若点 M 是 ABC 所在平面内的一点，且满足 5AM AB 3AC，则 ABM与 ABC 的面积比为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45
8、 答案 C 解析 如图，连接 AM， BM，延长 AC 到 D 使 AD 3AC，延长 AM 到 E 使 AE 5AM，因为 5AM AB 3AC，所以 AB 5AM 3AC AE AD DE. =【 ;精品教育资源文库 】 = 连接 BE，则四 边形 ABED 是平行四边形 (向量 AB 和向量 DE 平行且模相等 ) 由于 AD 3AC， 所以 S ABC 13S ABD. 因为 AM 15AE，所以 S AMB 15S ABE，在平行四边形 ABED 中， S ABD S ABE 12S?ABED， 故 S ABMS ABC15S ABE13S ABD 35.故选 C. 10若 O 为
9、ABC 所在平面内一点，且 OA 2OB 3OC 0，则 S OBC S AOC S ABO ( ) A 3 2 1 B 2 1 3 C 1 3 2 D 1 2 3 答案 D 解析 如图所示，延长 OB 到 D，使得 BD OB，延长 OC 到 E，使得 CE 2OC.连接 AD， DE，AE. OA 2OB 3OC 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 点 O 为 ADE 的重心 S OBC 16S ODE 16 13S ADE 118S ADE； S AOC 13S OAE 13 13S ADE 19S ADE； S ABO 12S OAD 12 13S ADE 16S ADE. S O
10、BC S AOC S ABO 118 19 16 1 2 3. 故选 D. 二、填空题 11 (2018 广西模拟 )如图所示，在 ABC 中， AN 13AC， P 是 BN 上的一点，若 AP mAB211AC，则实数 m 的值为 _ 答案 511 解析 注意到 N， P， B 三点共线，因此有 AP mAB 211AC mAB 611AN，从而 m 611 1?m 511. 12 (2017 泉州四校联考 )设 e1， e2是不共线的向量，若 AB e1 e2， CB 2e1 e2， CD 3e1 e2，且 A， B， D 三点共线，则 的值为 _ 答案 2 解析 CB 2e1 e2，
11、CD 3e1 e2， BD CD CB (3e1 e2) (2e1 e2) e1 2e2，又 A， B， D 三点共线，则 AB与 BD共线，存在 R 使得 AB BD，即 e1 e2 (e1 2e2)，由 e1， e2 是不共线的向量，得=【 ;精品教育资源文库 】 = ? 1 ， 2 ， 解得 2. 13 (2018 河北衡水中学三调 )如图，已知平面内有三个向量 OA， OB， OC，其中 OA与 OB的夹角为 120 ， OA与 OC的夹角为 30 ，且 |OA| |OB| 1， |OC| 2 3.若 OC OA OB( ， R)，则 的值为 _ 答案 6 解析 如图，作平行四边形 O
12、B1CA1，则 OC OB1 OA1，因为 OA与 OB的夹角为 120 ， OA与OC的夹角为 30 ，所以 B1OC 90. 在 Rt OB1C 中， OCB1 30 ， |OC| 2 3， 所以 |OB1| 2， |B1C| 4， 所以 |OA1| |B1C| 4，所以 OC 4OA 2OB，所以 4， 2，所以 6. 14 (2018 沈阳模拟 )如图所示，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点， 过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N，若 AB mAM， AC nAN，则 m n 的值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 2 解析 连接 AO，
13、O 是 BC 的中 点， AO 12(AB AC) 又 AB mAM， AC nAN， AO m2AM n2AN. M， O， N 三点共线， m2 n2 1. m n 2. 三、解答题 15设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1)若 AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b)求证： A， B， D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb 共线 解 (1)证明： AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b)， BD BC CD 2a 8b 3(a b) 2a 8b 3a 3b 5(a b) 5AB. AB， BD共线 又它们有公共点 B， A， B
14、， D 三 点共线 (2) ka b 与 a kb 共线， 存在实数 ，使 ka b (a kb)， 即 ka b a k b. (k )a (k 1)b. a， b 是不共线的两个非零向量， k k 1 0， k2 1 0， k 1. 16如图所示，在 ABO 中， OC 14OA， OD 12OB， AD 与 BC 相交 于点 M，设 OA a， OBb.试用 a 和 b 表示向量 OM. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 设 OM ma nb， 则 AM OM OA ma nb a (m 1)a nb. AD OD OA 12OB OA a 12b. 又 A、 M、 D 三点共线， AM与 AD共线 存在实数 t，使得 AM tAD， 即 (m
